$f: A \to B$ fonksiyonu, $A$ kümesinin her $x$ elemanına $B$ kümesinden tam olarak bir $f(x)$ elemanını eşleyen bir kuraldır. $A$ kümesine tanım kümesi, $B$ kümesine değer kümesi, gerçekten alınan değerlerin kümesi olan $\{f(x) : x \in A\}$ kümesine ise görüntü kümesi denir. YÖS sorularında $f: A \to B$, $f(x) = \ldots$ gösterimi standarttır: bir formülden en geniş tanım kümesini bulmayı ve tanım kümesi verildiğinde görüntü kümesini bulmayı bilmelisiniz. Soru $f: A \to B$ fonksiyonunun örten olduğunu söylüyorsa, $B$ görüntü kümesine eşittir; yani $B$ kümesini bulmak, $x \in A$ için $f(x)$ değerlerinin kümesini bulmak demektir.
En geniş tanım kümesini bulurken iki temel kısıtlama vardır: (1) çift dereceli kök $\sqrt[2n]{g(x)}$ için $g(x) \ge 0$ olmalıdır; (2) kesirlerde payda sıfırdan farklı olmalıdır. Kök içinde mutlak değer varsa şu standart denkliği kullanın: $$|x - a| \le c \iff a - c \le x \le a + c \quad (c \ge 0).$$ Birçok YÖS sorusunda tanım kümesindeki tam sayı $x$ değerlerinin sayısı sorulur: uçları tam sayı olan $[a, b]$ aralığında tam olarak $b - a + 1$ tam sayı vardır.
Logaritma $\log_a g(x)$ için argüman kesinlikle pozitif olmalıdır: $g(x) > 0$ (taban için de $a > 0$, $a \ne 1$). Tek dereceli kök tamamen farklı bir durumdur: $\sqrt[3]{t}$ (ve genel olarak $\sqrt[2n+1]{t}$) negatifler dahil her gerçek $t$ için tanımlıdır. Bu yüzden $$f(x) = \sqrt[3]{\frac{x+2}{x-1}}$$ için $\frac{x+2}{x-1} \ge 0$ işaret koşulu YAZILMAZ — tek kısıtlama kesrin kendisinden gelir: $x - 1 \ne 0$, yani tanım kümesi $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ olur. Tek dereceli kökü çift dereceli kökle karıştırmak bu alt konunun en sık tuzaklarından biridir.
$m > 0$ olduğunda $f(x) = mx + b$ doğrusal fonksiyonu artandır ve bir aralığı aynı türden bir aralığa götürür: $$f\big((a, c]\big) = \big(f(a),\ f(c)\big].$$ $m < 0$ ise fonksiyon azalandır: uç noktalar yer değiştirir ve parantez türleri de onlarla birlikte değişir: $f\big((a, c]\big) = \big[f(c),\ f(a)\big)$. Örnek: $f: (-1, 2] \to A$ örten olsun ve $f(x) = 4x - 2$. $m = 4 > 0$ olduğundan: $f(-1) = -6$ (alınmaz, açık uç) ve $f(2) = 6$ (alınır, kapalı uç), dolayısıyla $A = (-6, 6]$.
$f$ ile $g$ fonksiyonlarının bileşkesi $$(g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big)$$ ile tanımlanır: önce içteki $f$ uygulanır, sonra sonuca $g$ uygulanır. $(g \circ f)(2)$ değerini bulmak için önce $f(2)$ hesaplanır, sonra bu sayı $g$ fonksiyonuna yerleştirilir. Bileşke işlemi değişmeli değildir: genel olarak $(g \circ f)(x) \ne (f \circ g)(x)$. YÖS sorularında içteki fonksiyon sıklıkla faktöriyel veya toplam içerir; $n! = 1 \cdot 2 \cdots n$ ve $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ formüllerini hatırlayın ve dıştaki fonksiyona geçmeden önce bunları tamamen hesaplayın.
Bir fonksiyonun tersi $f^{-1}$ ancak fonksiyon bire bir olduğunda (her değer en fazla bir kez alındığında) vardır; görüntü kümesi üzerinde ters fonksiyon $$f^{-1}(b) = a \iff f(a) = b$$ koşulunu sağlar. $f^{-1}$ bulma algoritması: (1) $y = f(x)$ yazın; (2) bu denklemden $x$ değerini çözün; (3) harfleri yer değiştirin: elde edilen ifade $f^{-1}(x)$ olur. Yararlı kısayol: $f^{-1}(1)$ gibi tek bir değer için formülün tamamına gerek yoktur — sadece $f(x) = 1$ denklemini çözmek yeterlidir. Ayrıca $f^{-1}(f(x)) = x$, $f(f^{-1}(x)) = x$ doğrulamalarını ve $f$ ile $f^{-1}$ grafiklerinin $y = x$ doğrusuna göre simetrik olduğunu unutmayın.
Aynı tabanlı logaritma ve üstel fonksiyon birbirinin tersidir: $$f(x) = \log_a x \implies f^{-1}(x) = a^x, \qquad f(x) = a^x \implies f^{-1}(x) = \log_a x.$$ Örneğin $f(x) = \log_5 x$ için $f^{-1}(x) = 5^x$ olur. Kaydırılmış logaritma için algoritmayı uygulayın: $f(x) = c + \log_a(x - d)$ ise $y - c = \log_a(x - d)$ eşitliğinden $x = d + a^{y - c}$ bulunur, yani $$f^{-1}(x) = d + a^{x - c}.$$ Özel olarak $f(x) = 1 + \log_3(x - 2)$ için $f^{-1}(x) = 2 + 3^{x - 1}$ olur. Tersini almadan önce sadeleştirme için $\ln e^{u} = u$ ve $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ özdeşlikleri de yararlıdır.
Parçalı fonksiyon, tanım kümesinin farklı bölümlerinde farklı formüllerle verilir; örneğin $$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 2 \\ x^2, & x \ge 2 \end{cases}$$ Bir noktadaki değeri bulmak için önce girdinin hangi koşulu sağladığına bakın ve yalnızca o dalı kullanın: burada $f(1) = 2$ ama $f(2) = 4$ olur. İki parçalı fonksiyonun bileşkesinde içten dışa çalışın: önce içteki değeri tamamen hesaplayın, sonra dıştaki fonksiyonun dalını bu değere göre (başlangıçtaki $x$ değerine göre değil) seçin. Sınır noktalarına özellikle dikkat edin: eşitsizliğin kesin olup olmadığını her zaman kontrol edin.
Tanım gereği $a \ge 0$ için $|a| = a$, $a < 0$ için $|a| = -a$ olur. Temel özdeşlik: $$\sqrt{a^2} = |a|.$$ Örnek: $\sqrt{9x^2 - 30x + 25} = \sqrt{(3x-5)^2} = |3x - 5| = |5 - 3x|$ (mutlak değer, argümanın işaretinden bağımsızdır). Mutlak değer toplamını parantezsiz yazmak için sayı doğrusunu, içteki ifadelerin sıfır olduğu kritik noktalarda bölün. $f(x) = |x| + |x - 1|$ için kritik noktalar $0$ ve $1$ olur: $$f(x) = \begin{cases} 1 - 2x, & x < 0 \\ 1, & 0 \le x < 1 \\ 2x - 1, & x \ge 1 \end{cases}$$ $|2x - \pi| - |x - e|$ gibi bir ifadeyi belirli bir noktada hesaplamak için her iç ifadenin işaretini $\pi \approx 3{,}14$ ve $e \approx 2{,}72$ değerleriyle belirleyin: örneğin $x = 1$ için $|2 - \pi| - |1 - e| = (\pi - 2) - (e - 1) = \pi - e - 1$ bulunur.
İşaret fonksiyonu şöyle tanımlanır: $$\text{sgn}(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$$ Onu mutlak değere bağlayan temel özdeşlik $$x \cdot \text{sgn}(x) = |x|$$ olup $\text{sgn}$ içeren denklemleri $|x|$ içeren denklemlere dönüştürür. YÖS'te sık görülen bir başka kalıp, indeksin tek-çift olmasına göre ayrılan ardışık tanımdır: $$f(n+1) = \begin{cases} 2f(n), & n \text{ tek} \\ f(n) + 3, & n \text{ çift} \end{cases}$$ Adım adım hesaplayın ve her seferinde mevcut $n$ değerinin ($n+1$ değil) tek mi çift mi olduğuna bakın: $f(1) = 2$ için $f(2) = 2f(1) = 4$ ($n = 1$ tek), $f(3) = f(2) + 3 = 7$ ($n = 2$ çift), $f(4) = 2f(3) = 14$ bulunur.
(a) $f(x) = \sqrt{5 - |x + 2|}$ fonksiyonunun tanım kümesinde kaç tam sayı $x$ değeri vardır? Adım 1: çift dereceli kökün içi negatif olamaz: $5 - |x + 2| \ge 0$, yani $|x + 2| \le 5$. Adım 2: mutlak değeri açalım: $-5 \le x + 2 \le 5$, buradan $-7 \le x \le 3$. Adım 3: tam sayıları sayalım: $3 - (-7) + 1 = 11$. Cevap: $11$. (b) $f(x) = \sqrt[3]{\dfrac{x+2}{x-1}}$ fonksiyonunun tanım kümesini bulun. Küp kök tüm gerçek sayılar için tanımlıdır, bu yüzden işaret koşulu gerekmez; tek kısıtlama $x - 1 \ne 0$ olur. Cevap: $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.
(a) $f(x) = x! + (1 + 2 + \cdots + x)$ ve $g(x) = x^2 - 1$ olsun. $(g \circ f)(2)$ değerini bulun. Adım 1: içteki değer: $f(2) = 2! + (1 + 2) = 2 + 3 = 5$. Adım 2: dıştaki fonksiyona yerleştirelim: $g(5) = 25 - 1 = 24$. Cevap: $24$. (b) İki parçalı fonksiyonun bileşkesi: $$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 2 \\ x^2, & x \ge 2 \end{cases} \qquad g(x) = \begin{cases} 2x, & x \le 3 \\ x - 1, & x > 3 \end{cases}$$ $(g \circ f)(3)$ değerini bulun. Adım 1: $3 \ge 2$ olduğundan $f$ fonksiyonunun ikinci dalını kullanırız: $f(3) = 9$. Adım 2: $g$ fonksiyonunun dalını $9$ değerine göre seçeriz: $9 > 3$ olduğundan $g(9) = 9 - 1 = 8$. Cevap: $8$.
$f(x) = \ln 4 + \ln e^{2x - 1}$ olsun. $f^{-1}(1)$ değerini bulun. Adım 1: $\ln e^{u} = u$ özdeşliğiyle sadeleştirelim: $$f(x) = \ln 4 + 2x - 1.$$ Adım 2: $f^{-1}(1) = a \iff f(a) = 1$ kısayolunu kullanalım, yani $\ln 4 + 2x - 1 = 1$ denklemini çözelim. Adım 3: $2x = 2 - \ln 4 = 2 - 2\ln 2$, buradan $x = 1 - \ln 2$. Cevap: $f^{-1}(1) = 1 - \ln 2$. Kontrol: $f(1 - \ln 2) = \ln 4 + 2(1 - \ln 2) - 1 = \ln 4 - 2\ln 2 + 1 = 1$. Bunun, tam formül $f^{-1}(x) = \frac{x + 1 - \ln 4}{2}$ türetmekten ne kadar hızlı olduğuna dikkat edin — formül de aynı değeri verir.
(a) $x^2 - 2 = x \, \text{sgn}(x)$ denklemini çözün. Adım 1: $x \, \text{sgn}(x) = |x|$ özdeşliğini uygulayalım: denklem $x^2 - 2 = |x|$ halini alır. Adım 2: $t = |x| \ge 0$ diyelim ve $x^2 = |x|^2 = t^2$ kullanalım: $t^2 - t - 2 = 0$, yani $(t - 2)(t + 1) = 0$, buradan $t = 2$ ($t = -1$ kökü $t \ge 0$ olduğundan atılır). Adım 3: $|x| = 2$ ise $x = \pm 2$; $x = 0$ durumu $-2 \ne 0$ olduğundan sağlanmaz. Cevap: $x \in \{-2, 2\}$. (b) $f(x) = \dfrac{x}{x + 1}$ olsun. $\prod_{k=1}^{4} f(k)$ değerini bulun. Çarpanları yazalım: $$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}.$$ Çarpım teleskopik olarak sadeleşir: her pay bir önceki paydayla sadeleşir ve geriye $\frac{1}{5}$ kalır. Cevap: $\frac{1}{5}$.
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.