Merkezi orijinde olan birim çemberi (yarıçapı $1$) ele alalım. Pozitif yatay eksenden saat yönünün tersine ölçülen bir $x$ açısı için, açının bitiş kenarı çemberi $P=(\cos x,\ \sin x)$ noktasında keser. Böylece $\cos x$ noktanın yatay koordinatı, $\sin x$ ise dikey koordinatıdır. Diğer fonksiyonlar oranlardır: $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ ve $\csc x=\frac{1}{\sin x}$. $P$ çember üzerinde olduğundan $-1\le\sin x\le 1$ ve $-1\le\cos x\le 1$ olur. İşaretler $P$ noktasının bulunduğu bölgeye bağlıdır: I. bölgede tüm fonksiyonlar pozitiftir; II. bölgede yalnızca $\sin$ ve $\csc$; III. bölgede yalnızca $\tan$ ve $\cot$; IV. bölgede yalnızca $\cos$ ve $\sec$.
Bir açı derece veya radyan cinsinden ölçülebilir. Tam bir tur $360^\circ$ ya da $2\pi$ radyandır, dolayısıyla $180^\circ=\pi$ radyandır. Dönüşümlerde $1^\circ=\frac{\pi}{180}$ rad ve $1\text{ rad}=\frac{180^\circ}{\pi}$ kullanılır. Çevirmek için çarpılır: dereceyi radyana çevirmek için $\frac{\pi}{180}$, radyanı dereceye çevirmek için $\frac{180}{\pi}$ ile. Dereceler ayrıca dakika ve saniyeye bölünür (DMS): $1^\circ=60'$ ve $1'=60''$, yani $1^\circ=3600''$. $12.35^\circ$ gibi ondalık bir dereceyi DMS'ye çevirmek için: tam kısım derece olarak kalır, ondalık kısım $60$ ile çarpılarak dakika bulunur, kalan ondalık dakika kısmı da $60$ ile çarpılarak saniye elde edilir.
Pisagor özdeşliği her açı için geçerlidir: $$\sin^2 x+\cos^2 x=1.$$ Bunu $\cos^2 x$ veya $\sin^2 x$ ile bölmek $1+\tan^2 x=\sec^2 x$ ve $1+\cot^2 x=\csc^2 x$ eşitliklerini verir. Ters ve bölüm bağıntıları altı fonksiyonu birbirine bağlar: $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}$, $\sec x=\frac{1}{\cos x}$, $\csc x=\frac{1}{\sin x}$. Simetri: $\cos$ ve $\sec$ çift, $\sin(-x)=-\sin x$, $\tan(-x)=-\tan x$, $\cot(-x)=-\cot x$, $\csc(-x)=-\csc x$. Bu özdeşlikler, bölgeye göre belirlenen bir işaret dışında, herhangi bir fonksiyonu bir diğeri cinsinden ifade etmeye olanak tanır.
Herhangi $a$ ve $b$ açıları için: $$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b,$$ $$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b,$$ $$\tan(a\pm b)=\frac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}.$$ İşaret düzenine dikkat: $\cos$ için sağdaki işaret soldakinin tersidir, $\sin$ için ise aynıdır. Bu formüller $75^\circ=45^\circ+30^\circ$ veya $15^\circ=45^\circ-30^\circ$ gibi açıları bilinen özel değerlerden hesaplamayı sağlar ve aşağıdaki iki kat açı ile çarpım formüllerinin kaynağıdır.
Toplam formüllerinde $b=a$ alınırsa iki kat açı formülleri elde edilir: $$\sin 2x=2\sin x\cos x,\qquad \tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x},$$ $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x.$$ Son üç ifade $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ ile birbirine eşdeğerdir. Bunları karelere göre çözünce derece indirgeme (yarım açı) formülleri çıkar: $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2},\qquad \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},$$ ve $x\to\frac{x}{2}$ ile $\ \tan\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$.
Aynı türden fonksiyonların toplamları çarpıma ayrılır: $$\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2},$$ $$\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2},$$ $$\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2},$$ $$\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}.$$ Ters formüller çarpımları toplama çevirir: $$\sin a\cos b=\tfrac{1}{2}\big[\sin(a+b)+\sin(a-b)\big],$$ $$\cos a\cos b=\tfrac{1}{2}\big[\cos(a+b)+\cos(a-b)\big],$$ $$\sin a\sin b=\tfrac{1}{2}\big[\cos(a-b)-\cos(a+b)\big].$$ Örneğin $\cos 7x+\cos 5x=2\cos 6x\cos x$.
Özel (temel) açıları ezberlemekte fayda vardır. $\sin$ için: $\sin 0^\circ=0$, $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 90^\circ=1$. $\cos$ için değerler ters sırayla gider: $\cos 0^\circ=1$, $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$, $\cos 90^\circ=0$. Buradan $\tan=\frac{\sin}{\cos}$ ile $\tan 0^\circ=0$, $\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\tan 45^\circ=1$, $\tan 60^\circ=\sqrt{3}$ elde edilir; $\tan 90^\circ$ tanımsızdır. Radyan cinsinden bunlar $0,\ \frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{2}$ açılarıdır. Örneğin $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ ve $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$.
Trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir: $\sin$ ve $\cos$ periyodu $360^\circ$ ($2\pi$), $\tan$ ve $\cot$ periyodu ise $180^\circ$ ($\pi$). Bu yüzden her tam sayı $k$ için $\sin(x+360^\circ k)=\sin x$; tam tur farkıyla ayrılan açılar eş sonludur ve tüm fonksiyon değerleri aynıdır. Büyük veya negatif bir açıyı hesaplamak için önce onu $360^\circ$ (ya da $\tan$ için $180^\circ$) modülünde $[0^\circ,360^\circ)$ aralığına indirgeriz. İndirgeme formülleri her açıyı dar bir temel açıya bağlar, örneğin $\sin(180^\circ-x)=\sin x$, $\cos(180^\circ-x)=-\cos x$, $\sin(180^\circ+x)=-\sin x$, $\cos(360^\circ-x)=\cos x$ ve tümler kaymaları $\sin(90^\circ-x)=\cos x$, $\cos(90^\circ-x)=\sin x$, $\tan(90^\circ-x)=\cot x$.
Bir trigonometrik fonksiyonu tersine çevirmek için tanım kümesi bire bir olacak şekilde daraltılır. O zaman $\arcsin$ ($\sin^{-1}$ yazılır) tanım kümesi $[-1,1]$ ve değer kümesi $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ olur; $\arccos$ tanım kümesi $[-1,1]$ ve değer kümesi $[0,\pi]$; $\arctan$ tüm gerçek sayıları alır ve değer kümesi $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ olur. Tanıma göre $\arcsin y$, sinüsü $y$ olan ve bu aralıktaki tek açıdır. Örneğin $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{3}$ çünkü $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ve $\frac{\pi}{3}\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$; benzer şekilde $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3}$ ve $\arctan 1=\frac{\pi}{4}$. Her zaman doğru orana sahip herhangi bir açıyı değil, belirtilen aralıktaki değeri seçin.
$\sin 920^\circ$ hesaplayalım. $360^\circ$ modülünde indirgeriz: $920^\circ-2\cdot 360^\circ=920^\circ-720^\circ=200^\circ$, dolayısıyla $\sin 920^\circ=\sin 200^\circ$. $200^\circ$ açısı sinüsün negatif olduğu III. bölgededir ve temel açısı $200^\circ-180^\circ=20^\circ$'dir. $x=20^\circ$ ile $\sin(180^\circ+x)=-\sin x$ kullanılırsa $\sin 200^\circ=-\sin 20^\circ$ olur. Böylece $\sin 920^\circ=-\sin 20^\circ$. İkinci durum: $\sin(-2580^\circ)$; $-2580^\circ+8\cdot 360^\circ=-2580^\circ+2880^\circ=300^\circ$ olduğundan $\sin(-2580^\circ)=\sin 300^\circ=-\sin 60^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\frac{5\pi}{12}$ radyanı derece, dakika ve saniyeye çevirelim. Önce dereceye: $\frac{5\pi}{12}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\frac{5\cdot 180^\circ}{12}=\frac{900^\circ}{12}=75^\circ$, tam bir sayıdır, dolayısıyla $\frac{5\pi}{12}\text{ rad}=75^\circ 0' 0''$. Tam olmayan bir değer için, örneğin $1.2$ radyan: $1.2\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\approx 68.7549^\circ$. Tam kısım $68^\circ$'dir. Ondalık kısım $60$ ile çarpılır: $0.7549\cdot 60\approx 45.29'$, yani $45'$. Kalan $0.29'$ ise $60$ ile çarpılır: yaklaşık $17''$. Böylece $1.2\text{ rad}\approx 68^\circ 45' 17''$.
$\frac{\cos x}{\csc x}+\frac{\sin x}{\sec x}$ ifadesini, ardından $\sec x-\sin x\tan x$ ifadesini sadeleştirelim. Birincide ters fonksiyonları açalım: $\csc x=\frac{1}{\sin x}$ olduğundan $\frac{\cos x}{\csc x}=\cos x\sin x$, ve $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ olduğundan $\frac{\sin x}{\sec x}=\sin x\cos x$. Toplamları $2\sin x\cos x=\sin 2x$'tir. İkincide her şeyi $\cos x$ paydasında yazalım: $\sec x-\sin x\tan x=\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin^2 x}{\cos x}=\frac{1-\sin^2 x}{\cos x}=\frac{\cos^2 x}{\cos x}=\cos x$, burada $1-\sin^2 x=\cos^2 x$ kullanılmıştır.
$\cos 15^\circ$ değerinin tam değerini bulalım. $15^\circ=45^\circ-30^\circ$ yazıp $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ uygulayalım: $$\cos 15^\circ=\cos 45^\circ\cos 30^\circ+\sin 45^\circ\sin 30^\circ.$$ Özel değerleri yerine koyarak $\cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$: $$\cos 15^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$$ Aynı yöntemle $\sin(a-b)$ kullanılarak $\sin 15^\circ=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ bulunur.
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.