YÖS sınavında tipik bir soru size $$\frac{2x-1}{x^2-3x-4}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+1}$$ gibi bir özdeşlik verir ve $A+B$, $A-2B$, $A\cdot B$ gibi bir değeri sorar. Bu tekniğe basit kesirlere ayırma denir: karmaşık bir rasyonel kesir, paydaları asıl paydanın çarpanları olan basit kesirlerin toplamı olarak yazılır. Bu, ortak paydalı kesirleri toplama işleminin tersidir. Böyle soruları çözmek için iki beceri gerekir: (1) paydayı doğrusal çarpanlara ayırmak ve (2) bilinmeyen $A$ ve $B$ sabitlerini bulmak. Aşağıda her ikisi de adım adım anlatılmıştır.
$x_1$ ve $x_2$, $ax^2+bx+c=0$ denkleminin kökleri ise $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$ olur. Kökler diskriminant ile bulunur: $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, ya da ($a=1$ için) Vieta teoremi ile: $$x_1+x_2=-b,\qquad x_1\cdot x_2=c.$$ Örnek: $x^2-3x-4$ için toplamı $3$, çarpımı $-4$ olan iki sayı ararız; bunlar $4$ ve $-1$ olduğundan $x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$. Ezberlenmesi gereken özel durum iki kare farkı formülüdür: $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ örneğin $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
Tanım. Payda *farklı* doğrusal çarpanlara ayrılıyorsa, kesir her çarpan için bir tane olmak üzere, payında bilinmeyen sabit bulunan basit kesirlerin toplamı olarak yazılır: $$\frac{px+q}{(x-x_1)(x-x_2)}=\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}.$$ Bu bir özdeşliktir: uygun *her* $x$ değeri için sağlanmalıdır — $A$ ve $B$ sabitlerini bulmamızı sağlayan da budur. Her iki tarafı payda ile çarparsak temel çalışma denklemini elde ederiz: $$px+q=A(x-x_2)+B(x-x_1).$$ $A$ ve $B$ bulma yöntemlerinin hepsi bu denklemden başlar.
$px+q=A(x-x_2)+B(x-x_1)$ denklemi her $x$ için doğru olduğundan, *en uygun* değerleri — paydanın köklerini — yerine koyabiliriz. $x=x_1$ konulduğunda $B$ içeren terim sıfırlanır (çünkü $x_1-x_1=0$) ve $A$ tek adımda bulunur; $x=x_2$ konulduğunda ise $B$ hemen çıkar. Bu en hızlı yöntemdir — sınavda önce bunu deneyin. Buna kapatma yöntemi (cover-up) de denir: $A$ değerini bulmak için asıl kesirde $(x-x_1)$ çarpanını kapatın ve kalan ifadeyi $x=x_1$ noktasında hesaplayın: $$A=\frac{px_1+q}{x_1-x_2},\qquad B=\frac{px_2+q}{x_2-x_1}.$$ Denklem sistemine gerek yoktur.
$px+q=A(x-x_2)+B(x-x_1)$ eşitliğinin sağ tarafını açıp $x$ kuvvetlerine göre düzenleyelim: $$px+q=(A+B)\,x-(Ax_2+Bx_1).$$ İki polinom ancak aynı dereceli terimlerin katsayıları eşitse özdeş olarak eşittir. Böylece bir sistem elde ederiz: $$A+B=p,\qquad -(Ax_2+Bx_1)=q.$$ Bu sistemi $A$ ve $B$ için çözeriz. Bu yöntem yerine koymadan biraz daha uzundur, ancak evrenseldir ve soru doğrudan $A+B$ gibi bir *kombinasyonu* soruyorsa özellikle kullanışlıdır — çoğu zaman sistemin ilk denklemi cevabı zaten içerir! İpucu: Yöntem 1 ile bulunan değerleri hızlıca doğrulamak için katsayı karşılaştırmasını kullanın.
Tanım. Payda *katlı* bir doğrusal çarpan içeriyorsa, ayrışıma bu çarpanın birinci kuvvetten kat sayısına kadar her kuvveti dahil edilmelidir: $$\frac{px+q}{(x+a)^2}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{(x+a)^2}.$$ Sık yapılan hata yalnızca $\frac{B}{(x+a)^2}$ yazmaktır — bu yeterli değildir! $(x+a)^2$ ile çarpınca $$px+q=A(x+a)+B$$ elde ederiz. Sabitler şöyle bulunur: kök olan $x=-a$ yerine konursa $B=q-pa$ hemen çıkar; sonra $x$ katsayıları karşılaştırılırsa $A=p$ bulunur. Yani katlı kökte iki yöntem doğal olarak *birlikte* kullanılır: yerine koyma $B$ değerini, katsayı karşılaştırma $A$ değerini verir.
Payda örneğin $2x^2-x-1$ ise önce çarpanlara ayırın. Kökler $x=1$ ve $x=-\frac{1}{2}$ olduğundan $2x^2-x-1=2(x-1)\left(x+\frac{1}{2}\right)=(x-1)(2x+1)$ olur. YÖS sorularında ayrışım genellikle çarpan bu haliyle verilir: $$\frac{2x+3}{2x^2-x-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+1}.$$ Teknik değişmez: $(x-1)(2x+1)$ ile çarpıp $2x+3=A(2x+1)+B(x-1)$ elde ederiz, sonra $x=1$ ve $x=-\frac{1}{2}$ köklerini yerine koyarız. İki uyarı: (1) $2x+1$ çarpanının kökü $-1$ değil, $x=-\frac{1}{2}$ değeridir; (2) $A+B=p$ kısayolu artık geçerli değildir, çünkü $x$ katsayılarının karşılaştırılması artık $2A+B=p$ verir.
Sağdaki her iki payda da monik ise ($x$ katsayısı $1$) ve çarpanlar farklıysa, $$\frac{px+q}{(x-x_1)(x-x_2)}=\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}\ \Rightarrow\ A+B=p,$$ yani $A+B$, payın $x$ katsayısına eşittir — hesap yapmadan, anında. Kontrol: $\frac{2x-1}{(x-4)(x+1)}$ için $A+B=2$. Uyarılar: (1) çarpanlardan biri $2x+1$ ise (monik değil), kural $2A+B=p$ olur; (2) katlı kök durumunda $\frac{px+q}{(x+a)^2}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{(x+a)^2}$ için kural $A=p$ şeklindedir ve $A+B$ için $B$ de bulunmalıdır; (3) soru $A-2B$ veya $A\cdot B$ soruyorsa zaten her iki sabiti de bulmanız gerekir. Bu kısayolu zaman kazanmak veya cevabınızı doğrulamak için kullanın.
Soru. $$\frac{2x-1}{x^2-3x-4}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+1}$$ olduğuna göre $A+B$ kaçtır?
Adım 1. Paydayı çarpanlara ayırın. Vieta'ya göre köklerin toplamı $3$, çarpımı $-4$; kökler $4$ ve $-1$ olduğundan $x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$.
Adım 2. Her iki tarafı $(x-4)(x+1)$ ile çarpın: $$2x-1=A(x+1)+B(x-4).$$
Adım 3. Kökleri yerine koyun. $x=4$ için: $\ 8-1=A\cdot 5$, yani $A=\frac{7}{5}$. $x=-1$ için: $\ -2-1=B\cdot(-5)$, yani $B=\frac{3}{5}$.
Adım 4. Cevap. $A+B=\frac{7}{5}+\frac{3}{5}=2$.
Kısayolla kontrol: her iki çarpan da monik olduğundan $A+B$, payın $x$ katsayısına yani $2$ değerine eşit olmalıdır. Uyuşuyor.
Soru. $$\frac{5x-2}{x^2-4}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}$$ olduğuna göre $A-2B$ kaçtır?
Adım 1. Çarpanlara ayırın: iki kare farkı, $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
Adım 2. Çalışma denklemi: $$5x-2=A(x+2)+B(x-2).$$
Adım 3. Katsayıları karşılaştırın. Açalım: $5x-2=(A+B)x+(2A-2B)$. Aynı dereceli terimleri eşitleyince: $$A+B=5,\qquad 2A-2B=-2\ \Rightarrow\ A-B=-1.$$ Denklemleri taraf tarafa toplayınca $2A=4$, yani $A=2$ ve $B=3$.
Adım 4. Cevap. $A-2B=2-6=-4$.
Yerine koyma ile kontrol: $x=2$ için $10-2=4A$, yani $A=2$; $x=-2$ için $-12=-4B$, yani $B=3$. Değerler aynı.
Soru. $$\frac{x+3}{(x+2)^2}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{(x+2)^2}$$ olduğuna göre $A+B$ kaçtır?
Kuruluma dikkat edin: $x=-2$ kökü katlı olduğundan ayrışımda $(x+2)$ çarpanının her iki kuvveti de yer alır.
Adım 1. Her iki tarafı $(x+2)^2$ ile çarpın: $$x+3=A(x+2)+B.$$
Adım 2. Kökü yerine koyun, $x=-2$: $\ -2+3=A\cdot 0+B$, yani $B=1$.
Adım 3. $x$ katsayılarını karşılaştırın: solda katsayı $1$, sağda $A$; dolayısıyla $A=1$. (İsterseniz başka bir değer koyun, örneğin $x=0$: $3=2A+B=2A+1$, yine $A=1$.)
Adım 4. Cevap. $A+B=1+1=2$.
Dikkat: burada payın $x$ katsayısına eşit olan $A+B$ değil, $A$ değeridir — farklı monik çarpanlar için geçerli kısayol katlı köklere taşınmaz.
Soru. $$\frac{2x+3}{2x^2-x-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+1}$$ olduğuna göre $A$ ve $B$ değerlerini bulunuz.
Adım 1. Paydayı çarpanlara ayırın. $2x^2-x-1=0$ denkleminin kökleri: diskriminant $D=1+8=9$, dolayısıyla $x=\frac{1\pm 3}{4}$, yani $x=1$ ve $x=-\frac{1}{2}$. Buradan $2x^2-x-1=(x-1)(2x+1)$ (doğrulamak için açın).
Adım 2. Çalışma denklemi: $$2x+3=A(2x+1)+B(x-1).$$
Adım 3. Kökleri yerine koyun. $x=1$ için: $\ 5=3A$, yani $A=\frac{5}{3}$. $x=-\frac{1}{2}$ için: $\ 2=B\left(-\frac{3}{2}\right)$, yani $B=-\frac{4}{3}$.
Adım 4. Katsayılarla kontrol: $2A+B=\frac{10}{3}-\frac{4}{3}=2$ ($x$ katsayısı) ve $A-B=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}=3$ (sabit terim). İkisi de uyuşuyor. Dikkat: burada $A+B$ değil $2A+B=2$ geçerlidir — monik olmayan çarpan kısayolu değiştirir.
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.