Bir $f$ fonksiyonunun $x=a$ noktasındaki türevi, fark oranının limitidir:$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$Eşdeğer biçim: $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
Geometrik anlamı: $f'(a)$, $y=f(x)$ grafiğine $(a,\,f(a))$ noktasında çizilen teğetin eğimidir. Fiziksel anlamı: $f$ fonksiyonunun $x=a$ noktasındaki anlık değişim hızıdır.
YÖS sınavında, içinde türev "gizlenmiş" limitleri tanımanız gerekir. Yararlı kalıplar:$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a),\qquad \lim_{h\to 0}\frac{f(a+kh)-f(a)}{h}=k\,f'(a),$$$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}=f'(a).$$Soruda böyle bir limit verilmişse, aşağıdaki kurallarla $f'(x)$ türevini bulun ve $x=a$ değerini yerine koyun — limiti doğrudan hesaplamayın.
Kuvvet ve sabit:$$(c)'=0,\qquad (x^n)'=nx^{n-1},\qquad (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad \left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}$$Üstel ve logaritmik:$$(e^x)'=e^x,\qquad (a^x)'=a^x\ln a,\qquad (\ln x)'=\frac{1}{x},\qquad (\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$$Trigonometrik:$$(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x,\qquad (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x,\qquad (\cot x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}$$Ters trigonometrik:$$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$$Bu tabloyu ezberleyin: türev kuralları uygulandıktan sonra her sınav sorusu bu tabloya indirgenir.
Doğrusallık:$$(c\,f)'=c\,f',\qquad (f\pm g)'=f'\pm g'$$Çarpım kuralı:$$(f\cdot g)'=f'g+fg'$$Bölüm kuralı:$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\qquad g(x)\neq 0$$Çarpım kuralının sınavdaki tipik kullanımı: $f(x)=(x^2-1)\,g(x)$ ise$$f'(x)=2x\,g(x)+(x^2-1)\,g'(x).$$$f'(2)$ değerini bulmak için soruda verilen $g(2)$ ve $g'(2)$ değerleri yeterlidir: $f'(2)=4g(2)+3g'(2)$.
Bileşke fonksiyon için:$$\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$Dış fonksiyonun türevini iç fonksiyonu değiştirmeden alın, sonra iç fonksiyonun türeviyle çarpın.
Sınav tarzı örnekler:$$\big((x^2-5x+7)^3\big)'=3(x^2-5x+7)^2\cdot(2x-5)$$$$\big(\sin(4x+3)\big)'=4\cos(4x+3),\qquad (\tan 5x)'=\frac{5}{\cos^2 5x}$$$$\big(\arccos(x^3)\big)'=-\frac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}},\qquad \big(\arcsin\sqrt{x}\big)'=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}$$Zincir kuralı "örtük bileşke" sorularında da kullanılır: $f(g(x))=h(x)$ ise her iki tarafın türevini alın: $f'(g(x))\cdot g'(x)=h'(x)$, sonra uygun bir $x$ değeri seçin.
Tabloyu zincir kuralıyla birleştirelim ($u=u(x)$):$$\big(a^{u}\big)'=a^{u}\ln a\cdot u',\qquad \big(e^{u}\big)'=e^{u}\cdot u',\qquad \big(\ln u\big)'=\frac{u'}{u}$$Örnekler:$$\big(3^{\cos x}\big)'=3^{\cos x}\ln 3\cdot(-\sin x)=-3^{\cos x}\sin x\ln 3$$$$\big(\ln(\sin x)\big)'=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x$$Mutlak değer: $u(x)\neq 0$ için$$\big(|u|\big)'=\frac{u}{|u|}\cdot u'$$Pratikte: verilen noktanın yakınında $u$ fonksiyonunun işaretini belirleyin ve mutlak değeri kaldırın. $f(x)=|x^3-8|$ için $x=-2$ yakınında $x^3-8<0$ olduğundan $f(x)=8-x^3$ ve $f'(x)=-3x^2$, dolayısıyla $f'(-2)=-12$. $u=0$ ve $u'\neq 0$ olan noktada $|u|$ fonksiyonu türevlenebilir değildir (köşe noktası).
$x=a$ noktasındaki tek yanlı türevler:$$f'(a^-)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\qquad f'(a^+)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$Bir fonksiyon $a$ noktasında ancak ve ancak $a$ noktasında sürekli olup $f'(a^-)=f'(a^+)$ sağlanıyorsa türevlenebilirdir.
Parçalı fonksiyonlarda her parçanın türevi ayrı ayrı alınır: $f'(a^-)$ sol parçanın $a$ noktasındaki türevi, $f'(a^+)$ ise sağ parçanın $a$ noktasındaki türevidir ($f$ fonksiyonunun $a$ noktasında sürekli olması koşuluyla).
Mini örnek. $x\le 1$ için $f(x)=x^2+1$ ve $x>1$ için $f(x)=3x-1$ olsun ($x=1$ noktasında sürekli, iki parça da $2$ verir). O halde$$f'(1^-)=2x\big|_{x=1}=2,\qquad f'(1^+)=3,\qquad f'(1^-)+f'(1^+)=5.$$$2\neq 3$ olduğundan $f$, $x=1$ noktasında türevlenebilir değildir; ancak tek yanlı türevlerin toplamı yine de tanımlıdır — sınavda sık sorulan bir sorudur.
İkinci türev, türevin türevidir:$$f''(x)=\big(f'(x)\big)'$$Hesaplamak için iki kez türev alın. Polinomlarda genellikle önce parantezleri açmak daha kolaydır.
Parametreli sınav kalıbı. $f(x)=(x+m)^2(x-1)$ ve $f''(1)=16$ olsun. Açalım:$$f(x)=x^3+(2m-1)x^2+(m^2-2m)x-m^2$$$$f'(x)=3x^2+2(2m-1)x+m^2-2m,\qquad f''(x)=6x+2(2m-1)$$O halde $f''(1)=6+4m-2=4m+4=16$, buradan $m=3$.
İkinci türev aynı zamanda çukurluğu (konkavlığı) belirler: $f''>0$ ise grafik yukarı doğru çukurdur (dışbükey), $f''<0$ ise aşağı doğru çukurdur; $f''$ işaret değiştirdiği noktalar büküm (dönüm) noktalarıdır.
$y=f(x)$ grafiğine $x=a$ noktasında çizilen teğet:$$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$Burada $f'(a)$ teğetin eğimidir; teğet, $x$ ekseninin pozitif yönüyle $\alpha$ açısı yapıyorsa $f'(a)=\tan\alpha$ olur.
Aynı noktadaki normal doğrusu (teğete dik, $f'(a)\neq 0$):$$y=f(a)-\frac{1}{f'(a)}(x-a)$$Tipik sınav soruları: verilen noktadaki teğeti bulmak; teğetin verilen bir doğruya paralel olduğu noktayı bulmak ($f'(a)$ o doğrunun eğimine eşittir); teğetin yatay olduğu noktayı bulmak ($f'(a)=0$).
$f'(x)>0$ olan aralıkta fonksiyon artar; $f'(x)<0$ olan aralıkta azalır.
Kritik noktalar, $f'(x)=0$ olan veya $f'$ türevinin var olmadığı noktalardır. Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremumları yalnızca kritik noktalarda olabilir.
Birinci türev testi: kritik nokta $x_0$ civarında $f'$ işareti $+$ dan $-$ ye değişiyorsa $x_0$ yerel maksimumdur; $-$ den $+$ ya değişiyorsa yerel minimumdur; işaret değişmiyorsa ekstremum yoktur.
İkinci türev testi: $f'(x_0)=0$ ve $f''(x_0)>0$ ise $x_0$ yerel minimumdur; $f''(x_0)<0$ ise yerel maksimumdur.
$[a,b]$ kapalı aralığında en büyük ve en küçük değerleri bulmak için, aralık içindeki kritik noktalarda ve uç noktalardaki $f$ değerleri karşılaştırılır.
Bazı YÖS sorularında $f$ ile $f'$ arasında bir bağıntı verilir, örneğin$$f(x)-f'(x)=4x^2+6x+7.$$Yöntem: türev alma işlemi dereceyi bir düşürdüğünden, sağ taraf $f$ fonksiyonunun aynı dereceden bir polinom olmasını gerektirir. $f(x)=ax^2+bx+c$ alalım; o zaman $f'(x)=2ax+b$ ve$$f(x)-f'(x)=ax^2+(b-2a)x+(c-b)=4x^2+6x+7.$$Katsayıları eşitleyelim: $a=4$; $b-2a=6$ ise $b=14$; $c-b=7$ ise $c=21$. Böylece$$f(x)=4x^2+14x+21$$bulunur ve istenen her değer hemen hesaplanır: örneğin $f(0)=21$, $f(1)=39$.
Aynı fikir (belirsiz katsayılar yöntemi), sağ tarafı polinom olan $f(x)+f'(x)=\ldots$ veya $f'(x)-2f(x)=\ldots$ türü bağıntılar için de geçerlidir.
Soru. $f(x)=ax^3+bx^2-3x-4$ olsun. $f'(1)=3$ ve $f'(-1)=-3$ ise $a+b$ kaçtır?
Çözüm.Adım 1. Türev alalım: $f'(x)=3ax^2+2bx-3$.Adım 2. $x=1$ yazalım: $f'(1)=3a+2b-3=3$, yani $3a+2b=6$.Adım 3. $x=-1$ yazalım: $f'(-1)=3a-2b-3=-3$, yani $3a-2b=0$.Adım 4. Denklemleri taraf tarafa toplayalım: $6a=6$, buradan $a=1$; sonra $2b=3a=3$, yani $b=\frac{3}{2}$.Adım 5. Böylece$$a+b=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}.$$Cevap: $\frac{5}{2}$.
Soru. Her $x$ için $f(2x^2-3x)=x^4+x^2$ veriliyor. $f'(-1)$ kaçtır?
Çözüm.Adım 1. Zincir kuralıyla her iki tarafın $x$ değişkenine göre türevini alalım:$$f'(2x^2-3x)\cdot(4x-3)=4x^3+2x.$$Adım 2. İçteki ifadenin $-1$ olması gerekir: $2x^2-3x=-1$, yani $2x^2-3x+1=0$ denklemini çözelim; buradan $x=1$ (uygun kök).Adım 3. $x=1$ yerine yazalım:$$f'(-1)\cdot(4\cdot 1-3)=4\cdot 1+2\cdot 1\quad\Rightarrow\quad f'(-1)\cdot 1=6.$$Cevap: $f'(-1)=6$.
Temel fikir: $f$ fonksiyonunun formülünü bulmaya çalışmayın — özdeşliğin türevini alın ve iç fonksiyonu istenen noktaya eşitleyen $x$ değerini seçin.
Soru. $f(x)=|x^3-8|$ olsun. $f'(-2)$ kaçtır?
Çözüm.Adım 1. $x=-2$ yakınında mutlak değer içindeki ifadenin işaretini belirleyelim:$$x^3-8\big|_{x=-2}=(-2)^3-8=-16<0.$$$x<2$ için daima $x^3-8<0$ olduğundan, $x=-2$ noktasının bir komşuluğunda$$f(x)=-(x^3-8)=8-x^3.$$Adım 2. Bu parçanın türevini alalım: $f'(x)=-3x^2$.Adım 3. Yerine koyalım: $f'(-2)=-3\cdot(-2)^2=-12$.Cevap: $f'(-2)=-12$.
Not: $x=2$ noktasında mutlak değer içindeki ifade sıfır olur ve işaret değiştirir, bu yüzden $f$ orada türevlenebilir değildir (köşe). Ancak $x=-2$, işaretin sabit olduğu bölgenin tamamen içindedir, dolayısıyla türev vardır.
Soru. $f(x)=2x^3-6x+9$ fonksiyonunun $[-1,3]$ aralığındaki yerel ekstremumunu bulunuz.
Çözüm.Adım 1. Türev alalım: $f'(x)=6x^2-6=6(x-1)(x+1)$.Adım 2. Kritik noktalar: $f'(x)=0$ denkleminden $x=1$ ve $x=-1$. $(-1,3)$ aralığının içinde yalnızca $x=1$ vardır ($x=-1$ uç noktadır).Adım 3. $f'$ işareti: $(-1,1)$ aralığında $f'<0$ (azalan), $(1,3)$ aralığında $f'>0$ (artan). İşaret $-$ den $+$ ya değişir, dolayısıyla $x=1$ yerel minimumdur.Adım 4. Yerel minimum değeri:$$f(1)=2-6+9=5.$$Cevap: $x=1$ noktasında yerel minimum $5$.
$[-1,3]$ üzerindeki en büyük ve en küçük değerler için uç noktaları da karşılaştırın: $f(-1)=13$, $f(3)=45$; aralıktaki en küçük değer $5$, en büyük değer $45$ olur.
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.