Bir fonksiyonun limiti, $x$ bir $a$ noktasına istenildiği kadar yaklaşırken $f(x)$ değerinin yaklaştığı sayıyı ifade eder. $\lim_{x\to a} f(x)=L$ yazarız ve $x$, $a$ noktasına yaklaşırken $f(x)$ değerinin $L$ sayısına yaklaştığını söyleriz. Önemli bir nokta: fonksiyonun $a$ noktasında tanımlı olması gerekmez; yalnızca $a$ civarındaki davranışı önemlidir. Örneğin $\frac{x-1}{x^2-6x+5}$ ifadesi $x=1$ için tanımsızdır, ancak $x\to 1$ için limiti vardır. YÖS sorularında limitler birkaç standart biçimde karşımıza çıkar: doğrudan yerine koyma, $\frac{0}{0}$ gibi belirsizlikler, sonsuzdaki limitler, özel (dikkat çekici) limitler ve parametreli süreklilik koşulları. Soldan limit $\lim_{x\to a^-} f(x)$, $x$ değişkeni $a$ noktasına $a$ dan küçük değerlerle yaklaşırken fonksiyonun yaklaştığı değerdir; sağdan limit $\lim_{x\to a^+} f(x)$ ise $a$ dan büyük değerlerle yaklaşırken elde edilir. İki yönlü limitin var olması için gerek ve yeter koşul, her iki tek yönlü limitin var ve birbirine eşit olmasıdır: $$\lim_{x\to a} f(x)=L \iff \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=L.$$ Tek yönlü limitler, mutlak değerli ve parçalı tanımlı fonksiyonlarda vazgeçilmezdir. Klasik örnek: $\lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=1$ ve $\lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=-1$ olduğundan $\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}$ limiti yoktur.
$\lim_{x\to a} f(x)=A$ ve $\lim_{x\to a} g(x)=B$ ise: $$\lim_{x\to a}\bigl(f(x)\pm g(x)\bigr)=A\pm B,\qquad \lim_{x\to a} f(x)\cdot g(x)=A\cdot B,$$ $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\ (B\neq 0),\qquad \lim_{x\to a}\bigl(f(x)\bigr)^n=A^n.$$ Polinomlar ve tüm temel fonksiyonlar tanım kümelerinde sürekli olduğundan limitleri doğrudan yerine koyma ile bulunur. Örnek: $\lim_{x\to 2}(x^3-5x+1)=2^3-5\cdot 2+1=8-10+1=-1$. Her zaman önce yerine koymayı deneyin; yalnızca $\frac{0}{0}$ veya $\frac{\infty}{\infty}$ gibi bir belirsizlik çıkarsa özel yöntemlere ihtiyaç vardır.
$x=a$ yerine koyulduğunda $\frac{0}{0}$ elde ediliyorsa, $(x-a)$ hem payın hem paydanın ortak çarpanıdır. Her ikisini çarpanlarına ayırın, $(x-a)$ çarpanını sadeleştirin ve tekrar yerine koyun. Yararlı özdeşlikler: $x^2-b^2=(x-b)(x+b)$, kökler yardımıyla $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$ ve ortak çarpan parantezine alma. Örnek: $\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-6x+5}=\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{(x-1)(x-5)}=\lim_{x\to 1}\frac{1}{x-5}=-\frac{1}{4}$. Benzer şekilde $3x^2-27=3(x-3)(x+3)$ ayrışımı, $\frac{3x^2-27}{\sin(x-3)}$ kesrini $t=x-3$ ile $\frac{\sin t}{t}\to 1$ özel limitine hazırlar.
Mutlak değeri, $x$ değişkeninin noktaya hangi yönden yaklaştığına göre açın: $x>a$ için $|x-a|=x-a$, $x<a$ için $|x-a|=-(x-a)$. Sonra tek yönlü limiti her zamanki gibi hesaplayın. Örnek: $\lim_{x\to 3^+}\frac{|x-3|+3x-9}{x^2-3x-4}$ limitinde $x>3$ olduğundan $|x-3|=x-3$ olur; pay $(x-3)+3(x-3)=4(x-3)\to 0$ iken payda $9-9-4=-4\neq 0$ değerine yaklaşır; dolayısıyla limit $\frac{0}{-4}=0$ olur. Soru mutlak değerli iki yönlü limit soruyorsa soldan ve sağdan sonuçları karşılaştırın: farklıysa ($0$ noktasında $\frac{|x|}{x}$ örneğindeki gibi) limit yoktur.
$x\to 0$ için temel özel limitler: $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2},$$ $$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1,\qquad \lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a.$$ Ölçekleme kuralı: $\frac{\sin kx}{x}=k\cdot\frac{\sin kx}{kx}$ olduğundan $\lim_{x\to 0}\frac{\sin kx}{x}=k$ ve $\lim_{x\to 0}\frac{\tan kx}{x}=k$ olur. Kuvvetler de aynı şekilde çalışır: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin^3 2x}{x^3}=\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}\right)^3=2^3=8$. $x\to\infty$ için $2x\sin\frac{3}{4x}$ gibi ifadelerde $t=\frac{3}{4x}\to 0$ dönüşümü yapın: $2x\sin\frac{3}{4x}=\frac{3}{2}\cdot\frac{\sin t}{t}\to\frac{3}{2}$.
İkinci özel limit: $$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e,\qquad \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^x=e^k,\qquad \lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t}=e.$$ Bu limit $1^{\infty}$ belirsizliğini çözer. Tabanı $1$ sayısına yaklaşan $\lim\left(\frac{P(x)}{Q(x)}\right)^{g(x)}$ için yöntem: tabanı $\alpha(x)\to 0$ olacak şekilde $1+\alpha(x)$ biçiminde yazın; limit $L=\lim \alpha(x)\cdot g(x)$ olmak üzere $e^{L}$ değerine eşittir. Örnek: $\frac{4x+3}{4x+5}=1+\frac{-2}{4x+5}$ olduğundan $$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{4x+3}{4x+5}\right)^{12x+3}=e^{\lim \frac{-2(12x+3)}{4x+5}}=e^{-6}.$$
$x\to\pm\infty$ iken yalnızca payın ve paydanın en yüksek dereceli (baş) terimleri önemlidir. $\frac{a_n x^n+\dots}{b_m x^m+\dots}$ için: $n<m$ ise limit $0$; $n=m$ ise limit $\frac{a_n}{b_m}$; $n>m$ ise limit sonsuzdur. Parametreli sorular bu kurala dayanır. Örnek: $\lim_{x\to-\infty}\frac{(a-2)x^2+x+1}{-3x+1}=-\frac{1}{3}$ olacak şekilde $a$ değerini bulun. Sonlu ve sıfırdan farklı bir limit için dereceler eşit olmalıdır, dolayısıyla $x^2$ terimi yok olmalıdır: $a-2=0$, yani $a=2$. Bu durumda ifade $\frac{x+1}{-3x+1}$ olur ve limiti $\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$ çıkar, istenen de budur.
Karekök içeren $\infty-\infty$ belirsizliği, eşlenikle çarpıp bölerek çözülür: $\sqrt{A}-\sqrt{B}=\frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$. Örnek: $$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+2x-5}-\sqrt{4x^2+5x+2}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{(4x^2+2x-5)-(4x^2+5x+2)}{\sqrt{4x^2+2x-5}+\sqrt{4x^2+5x+2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{-3x-7}{2x+2x}=-\frac{3}{4},$$ çünkü büyük $x>0$ için her karekök yaklaşık $2x$ gibi davranır. $x\to+\infty$ için pratik formül: $$\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+b_1x+c_1}\to\frac{b-b_1}{2\sqrt{a}}.$$ Burada $\frac{2-5}{2\cdot 2}=-\frac{3}{4}$ bulunur.
Temel gerçekler: $a>1$ için $x\to+\infty$ iken $a^x\to\infty$ ve $x\to-\infty$ iken $a^x\to 0$ olur; ayrıca $\frac{a}{b}>1$ ise $x\to-\infty$ iken $\left(\frac{a}{b}\right)^x\to 0$ olur. Strateji: pay ve paydayı sıfıra gitmeyen terime bölün, sonra $q^x\to 0$ özelliğini kullanın. Örnek: $\lim_{x\to-\infty}\frac{5^x-3^{x+2}}{5^x+3^{x-2}}$. Önce $3^{x+2}=9\cdot 3^x$ ve $3^{x-2}=\frac{1}{9}\cdot 3^x$ yazıp $3^x$ ile bölelim: $$\lim_{x\to-\infty}\frac{\left(\frac{5}{3}\right)^x-9}{\left(\frac{5}{3}\right)^x+\frac{1}{9}}=\frac{0-9}{0+\frac{1}{9}}=-81,$$ çünkü $x\to-\infty$ iken $\left(\frac{5}{3}\right)^x\to 0$ olur. $x\to+\infty$ durumunda ise tam tersine en büyük tabanlı terim olan $5^x$ ile bölmek gerekir.
Bir $f$ fonksiyonu, üç koşul sağlanıyorsa $x=a$ noktasında süreklidir: (1) $f(a)$ tanımlıdır; (2) $\lim_{x\to a} f(x)$ vardır, yani $\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)$; (3) $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$. Parçalı tanımlı bir fonksiyonda yalnızca kuralın değiştiği noktalar şüphelidir. Parametreli sorular için $$\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a)$$ eşitliklerini yazın, ortaya çıkan denklem sistemini parametrelere (örneğin $m$ ve $n$) göre çözün ve istenen $m\cdot n$ gibi değeri hesaplayın. Temel fonksiyonlar (polinomlar, $\sin$, $\cos$, $e^x$, tanım kümelerinde kökler) tanımlı oldukları her yerde süreklidir; doğrudan yerine koymanın gerekçesi de budur.
Yerine koyma $c\neq 0$ olmak üzere $\frac{c}{0}$ veriyorsa limit sonlu değildir: fonksiyon nokta yakınında sınırsız büyür ve her iki taraftaki işaret kontrol edilmelidir. Örnek: $\lim_{x\to 0}\frac{x-2}{x^5}$. Pay $-2\neq 0$ değerine yaklaşır; payda $x^5\to 0$ olur ve $0$ noktasında işaret değiştirir. $x\to 0^+$ için $x^5>0$ olduğundan kesir $-\infty$ değerine gider; $x\to 0^-$ için $x^5<0$ olduğundan $+\infty$ değerine gider. Tek yönlü limitler sonsuz ve birbirinden farklı olduğundan limit yoktur (fonksiyon ıraksar). Test cevaplarında bu tür durumlar, iki tarafın uyumuna göre "limit yoktur" veya "sonsuza gider" biçiminde ifade edilir.
Örnek 1. $\lim_{x\to 2}(x^3-5x+1)$. Polinom sürekli olduğundan yerine koyarız: $8-10+1=-1$. Örnek 2. $\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-6x+5}$. Yerine koyma $\frac{0}{0}$ verir. Çarpanlara ayıralım: $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$, $(x-1)$ sadeleşir: $\lim_{x\to 1}\frac{1}{x-5}=\frac{1}{1-5}=-\frac{1}{4}$. Örnek 3. $\lim_{x\to 3}\frac{3x^2-27}{\sin(x-3)}$. Yine $\frac{0}{0}$. Payı çarpanlarına ayırıp $t=x-3\to 0$ diyelim: $$\lim_{x\to 3}\frac{3(x-3)(x+3)}{\sin(x-3)}=\lim_{t\to 0}\frac{t}{\sin t}\cdot 3(x+3)=1\cdot 3\cdot 6=18.$$
Örnek 1. $\lim_{x\to 0}\frac{\tan 6x+\sin 8x}{2x}$. Kesri ayıralım: $\frac{\tan 6x}{2x}+\frac{\sin 8x}{2x}\to\frac{6}{2}+\frac{8}{2}=3+4=7$. Örnek 2. $\lim_{x\to 0}\frac{x\cos x}{e^{2x}-1}$. İfadeyi $\cos x\cdot\frac{2x}{e^{2x}-1}\cdot\frac{1}{2}$ biçiminde yazalım; $\frac{e^{2x}-1}{2x}\to 1$ ve $\cos x\to 1$ olduğundan limit $\frac{1}{2}$ olur. Örnek 3. $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$ — doğrudan standart formülle. Örnek 4. $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{4x+3}{4x+5}\right)^{12x+3}$: taban $=1+\frac{-2}{4x+5}$, üsle çarpım $\frac{-2(12x+3)}{4x+5}\to\frac{-24x}{4x}=-6$, dolayısıyla cevap $e^{-6}$ olur.
$$f(x)=\begin{cases} mx+n, & x<2 \\ 3, & x=2 \\ nx^2-m, & x>2 \end{cases}$$ olsun ve $\lim_{x\to 2} f(x)=f(2)$ verilsin. $m\cdot n$ değerini bulun. Çözüm. $x=2$ noktasında süreklilik için soldan limit, sağdan limit ve fonksiyon değeri eşit olmalıdır: soldan limit $\lim_{x\to 2^-}(mx+n)=2m+n$; sağdan limit $\lim_{x\to 2^+}(nx^2-m)=4n-m$; değer $f(2)=3$. $2m+n=3$ ve $4n-m=3$ sisteminden $n=3-2m$ bulunur; $4(3-2m)-m=3$, yani $12-9m=3$, buradan $m=1$ ve $n=1$ çıkar. Dolayısıyla $m\cdot n=1$ olur. Bu şablon — tek yönlü limitleri fonksiyon değerine eşitleyip sistemi parametrelere göre çözmek — bu tipteki tüm süreklilik sorularında geçerlidir.
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.