Dizi, doğal sayılar üzerinde tanımlı bir fonksiyondur: her $n = 1, 2, 3, \dots$ indisine bir $a_n$ terimi karşılık gelir. $a_n$ için verilen formüle genel terim denir. YÖS'te iki temel beceri sorulur:
1) Yerine koyma. Belirli bir terimi bulmak için indisi formülde yerine yazın. $(a_n) = (3n+7)$ ise $a_{n+1} = 3(n+1) + 7 = 3n + 10$ olur. Dikkat: $n$ yerine her yerde $n+1$ yazılır.
2) İndisi bulma. Bir terimin değeri biliniyorsa, genel terimi bu değere eşitleyip indisi çözün. $(a_n) = \left(\frac{2n+1}{3n+4}\right)$ ve $a_k = \frac{1}{2}$ ise $\frac{2k+1}{3k+4} = \frac{1}{2}$, yani $2(2k+1) = 3k+4$, $4k+2 = 3k+4$, dolayısıyla $k = 2$. Cevabın doğal sayı olduğunu her zaman kontrol edin.
$\sum_{k=m}^{n} a_k$ ifadesi $a_m + a_{m+1} + \dots + a_n$ toplamını gösterir: $k$ indisi alt sınır $m$ ile üst sınır $n$ arasındaki tüm tam sayı değerlerini alır ve terimler toplanır.
Terim sayısı: $n - m + 1$. Örneğin $\sum_{k=7}^{20} a_k$ toplamında $20 - 7 + 1 = 14$ terim vardır.
İndis için kullanılan harf önemli değildir: $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{i=1}^{n} a_i$. Alt sınıra dikkat edin — toplamlar sıkça $k = 1$ yerine $k = 0$'dan başlar. Örneğin $\sum_{k=0}^{8} 2^k$ toplamında $9$ terim vardır: $2^0 + 2^1 + \dots + 2^8$.
Sabit: $c$ sabiti $n - m + 1$ kez toplanır:
$$\sum_{k=m}^{n} c = c \cdot (n - m + 1)$$
Örnek: $\sum_{k=1}^{5} 2 = 2 \cdot 5 = 10$.
Doğrusallık:
$$\sum_{k=m}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=m}^{n} a_k + \sum_{k=m}^{n} b_k, \qquad \sum_{k=m}^{n} c \, a_k = c \sum_{k=m}^{n} a_k$$
Aralığı bölme: $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{m} a_k + \sum_{k=m+1}^{n} a_k$. Böylece bir toplamın parçası hesaplanır: $\sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{m-1} a_k$.
Alt sınır $k = 0$: $k = 0$ terimini ayırın. Örnek: $\sum_{k=0}^{8}(k^2 - 1) = (0 - 1) + \sum_{k=1}^{8}(k^2 - 1)$.
Şu üç formülü ezberleyin:
$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \qquad \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$
Doğrusallıkla birlikte bu formüller sınav sorularının çoğunu çözer. Örnek: $\sum_{k=1}^{20}(2k+7) = 2 \cdot \frac{20 \cdot 21}{2} + 7 \cdot 20 = 420 + 140 = 560$.
Toplamın bir parçası iki tam toplamın farkıdır. Örnek:
$$4^2 + 5^2 + \dots + 20^2 = \sum_{k=1}^{20} k^2 - \sum_{k=1}^{3} k^2 = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} - \frac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6} = 2870 - 14 = 2856$$
Aritmetik dizide her terim bir öncekinden sabit bir $d$ (ortak fark) kadar farklıdır:
$$a_n = a_1 + (n-1)d, \qquad S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$$
$a_1$'den $a_n$'ye $d$ adımıyla terim sayısı: $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$.
Örnek: $1 + 4 + 7 + \dots + 130$. Burada $a_1 = 1$, $d = 3$, dolayısıyla $n = \frac{130 - 1}{3} + 1 = 44$ ve $S = \frac{(1 + 130) \cdot 44}{2} = 131 \cdot 22 = 2882$.
İşareti değişen toplamlar ikili gruplama ile çözülür: $1 - 2 + 3 - 4 + \dots + 43 - 44 = (1-2) + (3-4) + \dots + (43-44) = 22 \cdot (-1) = -22$, çünkü toplam $44/2 = 22$ çift vardır ve her biri $-1$'e eşittir. Son terim çiftsiz kalırsa onu ayrıca ele alın.
Geometrik dizide her terim, bir öncekinin sabit bir $q \ne 1$ oranıyla çarpılmasıyla elde edilir:
$$a_n = a_1 q^{\,n-1}, \qquad S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$$
Sınavda en sık görülen biçim kuvvet toplamıdır:
$$\sum_{k=0}^{n} q^k = 1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{q^{\,n+1} - 1}{q - 1}$$
$q = 2$ için formül çok sadeleşir: $\sum_{k=0}^{n} 2^k = 2^{\,n+1} - 1$. Örnek: $\sum_{k=0}^{8} 2^k = 2^9 - 1 = 511$ (dikkat: $2^0$'dan $2^8$'e kadar $9$ terim).
Teleskopik toplamda her terim $f(k) - f(k+1)$ farkı olarak yazılır; içteki kısımlar sadeleşir, yalnızca ilk ve son kalır.
Anahtar ayrıştırma: $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$, dolayısıyla
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$$
Logaritmik teleskop: $1 + \frac{1}{k} = \frac{k+1}{k}$ olduğundan $\sum_{k=1}^{n} \log_2\left(1 + \frac{1}{k}\right) = \log_2\left(\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdots \frac{n+1}{n}\right) = \log_2(n+1)$.
Teleskopik çarpım: aynı kesir zinciri sadeleşir: $\prod_{n=1}^{m}\left(1 + \frac{1}{n+5}\right) = \frac{7}{6} \cdot \frac{8}{7} \cdots \frac{m+6}{m+5} = \frac{m+6}{6}$.
$\prod_{k=m}^{n} a_k = a_m \cdot a_{m+1} \cdots a_n$ ifadesi bir çarpımı gösterir; çarpan sayısı yine $n - m + 1$'dir. Özellikler: $\prod (a_k b_k) = \prod a_k \cdot \prod b_k$ ve $\prod_{k=m}^{n} c = c^{\,n-m+1}$.
Sıfır çarpanı — önce bunu kontrol edin! Çarpanlardan biri bile $0$ ise tüm çarpım $0$ olur. Örnek: $\prod_{k=1}^{10} (2k^2 - 7k - 4)$. Çarpanlara ayıralım: $2k^2 - 7k - 4 = (2k+1)(k-4)$, bu ifade $k = 4$'te sıfırlanır. $4$ değeri $1 \le k \le 10$ aralığında olduğundan çarpım $0$'dır. Benzer şekilde $k = 24$ veya $k = 25$ aralığa girdiği anda $\prod \left[(k-24)(k-25)\right] = 0$ olur.
$-1$'lerin çarpımının işareti: $\prod_{k=m}^{n} (-1) = (-1)^{\,n-m+1}$. Örnek: $\prod_{k=15}^{41} (-1) = (-1)^{27} = -1$, çünkü $41 - 15 + 1 = 27$ tektir. Genel olarak bir çarpımın işareti, negatif çarpanların sayısının tek mi çift mi olduğuna bağlıdır.
İç içe (çift) ifadelerde içten dışa doğru hesaplayın: önce iç toplamı dış indisin fonksiyonu olarak bulun, sonra dış işlemi yapın.
Örnek: $\sum_{k=1}^{4} \sum_{m=1}^{k} 2m$. İç toplam: $\sum_{m=1}^{k} 2m = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1) = k^2 + k$. Dış toplam:
$$\sum_{k=1}^{4} (k^2 + k) = 2 + 6 + 12 + 20 = 40$$
Bir çarpım bir toplamı içerdiğinde de aynı strateji geçerlidir, örneğin $\prod_{n=1}^{a} \left(\sum_{k} a_k\right)$: iç toplamı $n$ cinsinden bir formüle indirgeyin, sonra çarpıma bakın — çoğu zaman teleskopiktir veya sıfır çarpanı içerir.
Bir toplam bilinmeyen bir parametre veya bilinmeyen bir üst sınır içeriyorsa, toplamı standart formüllerle açın ve elde edilen denklemi çözün.
Bilinmeyen parametre. $\sum_{n=1}^{20} (2 + na) = 70$. Açalım: $\sum_{n=1}^{20} 2 + a \sum_{n=1}^{20} n = 40 + a \cdot \frac{20 \cdot 21}{2} = 40 + 210a$. O halde $40 + 210a = 70$, buradan $a = \frac{30}{210} = \frac{1}{7}$.
Bilinmeyen üst sınır. $\sum_{k=7}^{n} (k+3) = 46$. Terimler: $10, 11, 12, \dots$ Küçük toplamlar için doğrudan toplayın: $10 + 11 + 12 + 13 = 46$ — dört terim, dolayısıyla $n = 7 + 4 - 1 = 10$. Büyük toplamlar için $S = \frac{(a_1 + a_n) \cdot (n - m + 1)}{2}$ formülünü kullanıp ikinci dereceden denklemi çözün; yalnızca alt sınırdan küçük olmayan doğal sayı kökünü alın.
Soru. $(a_n) = \left(\frac{2n+1}{3n+4}\right)$ dizisi veriliyor. $a_k = \frac{1}{2}$ ise $k$ kaçtır?
Çözüm.
Adım 1. $n = k$ yazıp genel terimi $\frac{1}{2}$'ye eşitleyelim: $\frac{2k+1}{3k+4} = \frac{1}{2}$.
Adım 2. İçler dışlar çarpımı: $2(2k+1) = 3k+4$, yani $4k + 2 = 3k + 4$.
Adım 3. Çözelim: $k = 2$.
Adım 4. Kontrol: $a_2 = \frac{2 \cdot 2 + 1}{3 \cdot 2 + 4} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Cevap: $k = 2$.
Benzer şekilde $(a_n) = (3n+7)$ için bir sonraki terim $n+1$ yazılarak bulunur: $a_{n+1} = 3(n+1) + 7 = 3n + 10$.
Soru. $\sum_{k=0}^{8} (k^2 - 1)$ toplamını hesaplayın.
Adım 1. Terimleri sayalım: $k = 0$'dan $k = 8$'e $8 - 0 + 1 = 9$ terim vardır.
Adım 2. Doğrusallığı kullanalım: $\sum_{k=0}^{8} (k^2 - 1) = \sum_{k=0}^{8} k^2 - \sum_{k=0}^{8} 1 = \sum_{k=0}^{8} k^2 - 9$.
Adım 3. Kare toplamında $k = 0$ terimi $0$ katkı verir, dolayısıyla $\sum_{k=0}^{8} k^2 = \sum_{k=1}^{8} k^2 = \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = 204$.
Adım 4. Sonuç: $204 - 9 = 195$. Cevap: $195$.
Aynı yöntemle: $\sum_{k=1}^{20}(2k+7) = 2 \cdot \frac{20 \cdot 21}{2} + 7 \cdot 20 = 560$.
Soru A. $\sum_{k=1}^{15} \log_2\left(1 + \frac{1}{k}\right)$ toplamını hesaplayın.
Adım 1. Dönüştürelim: $1 + \frac{1}{k} = \frac{k+1}{k}$; logaritmaların toplamı, çarpımın logaritmasıdır.
Adım 2. Çarpım teleskopiktir: $\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdots \frac{16}{15} = 16$.
Adım 3. $\log_2 16 = 4$. Cevap: $4$.
Soru B. $\prod_{k=15}^{41} (-1)$ çarpımını hesaplayın.
Adım 1. Çarpan sayısı: $41 - 15 + 1 = 27$.
Adım 2. $27$ tek olduğundan $(-1)^{27} = -1$. Cevap: $-1$.
Soru A. $\sum_{n=1}^{20} (2 + na) = 70$ ise $a$ kaçtır?
Adım 1. Doğrusallıkla ayıralım: $\sum_{n=1}^{20} 2 + a \sum_{n=1}^{20} n$.
Adım 2. Parçaları hesaplayalım: $\sum_{n=1}^{20} 2 = 40$ ve $\sum_{n=1}^{20} n = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$.
Adım 3. $40 + 210a = 70$ denklemini çözelim: $210a = 30$, yani $a = \frac{1}{7}$. Cevap: $a = \frac{1}{7}$.
Soru B. $\sum_{k=1}^{4} \sum_{m=1}^{k} 2m$ toplamını hesaplayın.
Adım 1. İç toplam: $\sum_{m=1}^{k} 2m = k(k+1)$.
Adım 2. Dış toplam: $\sum_{k=1}^{4} k(k+1) = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 = 2 + 6 + 12 + 20 = 40$. Cevap: $40$.
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.