Parabolİkinci Dereceden Fonksiyonun Grafiğiİkinci dereceden fonksiyonun $f(x) = ax^2 + bx + c$ (burada $a \neq 0$) grafiği parabol adı verilen bir eğridir.Kolların yönü baş katsayı $a$'nın işaretine bağlıdır:

$a > 0$ ise kollar yukarı bakar — parabolün en alt noktası vardır, yani fonksiyonun minimum değeri vardır.

$a < 0$ ise kollar aşağı bakar — parabolün en üst noktası vardır, yani fonksiyonun maksimum değeri vardır.

Örneğin $y = 2x^2 + 3x - 2$ parabolünün kolları yukarı bakar ($a = 2 > 0$), $f(x) = -x^2 + 5x - 6$ parabolünün kolları ise aşağı bakar ($a = -1 < 0$).Parabol, simetri ekseni adı verilen dikey bir doğruya göre simetriktir; bu eksen parabolün dönüm noktası olan tepe noktasından geçer.Parabolün Tepe Noktası$f(x) = ax^2 + bx + c$ parabolünün tepe noktası $T(r, k)$ dönüm noktasıdır. Koordinatları:$$r = -\frac{b}{2a}, \qquad k = f(r) = \frac{4ac - b^2}{4a}$$Uygulamada $k$'yi bulmanın en kolay yolu $x = r$ değerini fonksiyonda yerine koymaktır: $k = f(r)$.Örnek: tepe noktası $T(r, k)$ olan $f(x) = x^2 + 2x + 1$ için:$$r = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1, \qquad k = f(-1) = 1 - 2 + 1 = 0$$Demek ki $T(-1, 0)$ ve çarpım $r \cdot k = (-1) \cdot 0 = 0$.Parabolün simetri ekseni $x = r$ dikey doğrusudur.İkinci Dereceden Fonksiyonun Minimum ve Maksimumu$f(x) = ax^2 + bx + c$ fonksiyonunun ekstremum değeri her zaman tepe noktasında, yani $x = r = -\frac{b}{2a}$ noktasında alınır:$$f_{\text{min/max}} = f\left(-\frac{b}{2a}\right) = \frac{4ac - b^2}{4a}$$

$a > 0$ ise: fonksiyonun $k$'ye eşit bir minimum değeri vardır, maksimumu yoktur.

$a < 0$ ise: fonksiyonun $k$'ye eşit bir maksimum değeri vardır, minimumu yoktur.

Hızlı algoritma:
1. $r = -\frac{b}{2a}$ değerini hesapla.
2. $k = f(r)$ değerini hesapla — bu, minimum ($a > 0$ ise) veya maksimum ($a < 0$ ise) değerdir.$y = 2x^2 + 3x - 2$ için: $r = -\frac{3}{4}$, minimum değer $y\left(-\frac{3}{4}\right) = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} - 2 = -\frac{25}{8}$ olur.Çarpanlara Ayrılmış Biçim ve Köklerİkinci dereceden bir fonksiyonun $x_1$ ve $x_2$ kökleri varsa (yani $f(x_1) = f(x_2) = 0$), fonksiyon çarpanlara ayrılmış biçimde yazılabilir:$$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$Önemli bilgiler:

Tepe noktasının apsisi tam olarak köklerin ortasındadır: $r = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

$f(x) = ax^2 + bx + c$ için Vieta formülleri: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ve $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Tipik soru: $f(x) = x^2 + bx + c$ ve $f(1) = f(2) = 0$ ise $f(x) = (x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$ olur; buradan $b = -3$, $c = 2$ ve $b + c = -1$ bulunur.Tepe Noktasından veya Ekstremumdan Parametre BulmaBirçok YÖS sorusunda tepe noktası veya max/min değeri verilir ve bilinmeyen bir parametre sorulur. İki standart yöntem:1. Tepe noktasının apsisi verilmişse. $f(x) = ax^2 + bx + c$ fonksiyonunun tepe noktası $x = r_0$ ise şu denklemi kullanın:$$-\frac{b}{2a} = r_0$$Tepe noktası $x = -1$ olan $f(x) = mx^2 - (2m-8)x + 1$ için: $\frac{2m-8}{2m} = -1 \Rightarrow 2m - 8 = -2m \Rightarrow m = 2$.2. Max/min değeri verilmişse. $\max f = k_0$ (veya $\min f = k_0$) ise önce $r = -\frac{b}{2a}$ bulun, sonra şu denklemi çözün:$$f(r) = k_0$$Tepe noktası $T(r_0, k_0)$ biçiminde verilmişse, örneğin $T(1, t)$ veya $T(2, k)$, yerine koyun: parametre $-\frac{b}{2a} = r_0$ denkleminden bulunduktan sonra bilinmeyen ordinat basitçe $k = f(r_0)$ olur.Doğrusal İfadelerin Çarpımının Maksimumu$A$ ve $B$, $x$'e bağlı doğrusal ifadelerse, çarpımları $A \cdot B$ ikinci dereceden bir fonksiyondur, yani bir paraboldür. $\max(A \cdot B)$ veya $\min(A \cdot B)$ bulmak için:

Çarpımı açın veya köklerini bulun (her doğrusal çarpan bir kök verir).

Ekstremum, köklerin orta noktasındadır: $r = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

$x = r$ değerini $A \cdot B$ ifadesinde yerine koyun.

Yararlı kısayol: $A + B$ toplamı sabitse, $A \cdot B$ çarpımı $A = B$ olduğunda maksimumdur (bu tam olarak köklerin orta noktasında gerçekleşir).$A = 2x - 12$ ve $B = -2x + 24$ için: $A + B = 12$ sabittir, dolayısıyla maksimum $A = B = 6$ iken elde edilir ve $\max(A \cdot B) = 36$ olur.Parabol ve Doğru: Kesişim ve Teğetlik$y = ax^2 + bx + c$ parabolü ile $y = mx + n$ doğrusunun birbirine göre konumunu incelemek için ikisini eşitleyin:$$ax^2 + bx + c = mx + n \;\Rightarrow\; ax^2 + (b - m)x + (c - n) = 0$$$D$, bu ikinci dereceden denklemin diskriminantı olsun:

$D > 0$ — doğru parabolü iki noktada keser;

$D = 0$ — doğru parabole teğettir (tam olarak bir ortak nokta);

$D < 0$ — ortak nokta yoktur.

Teğetlik koşulu: $D = 0$. Bu, "$y = 3x + 1$ doğrusu $y = x^2 - kx + 10$ parabolüne teğettir; $k$ kaçtır?" tipi soruların anahtar denklemidir — genellikle parametreye göre ikinci dereceden bir denklem elde edilir ve çoğu zaman çözümlerin toplamı sorulur ($k$ değerlerinin toplamı, Vieta gereği o denklemin $-\frac{b}{a}$ değerine eşittir).Koordinat Eksenleriyle Kesişim Noktaları$y = ax^2 + bx + c$ parabolü için:

$y$ ekseniyle kesişim: $x = 0$ koyun; $(0, c)$ noktası elde edilir. Böyle bir nokta her zaman tam olarak bir tanedir.

$x$ ekseniyle kesişim: $y = 0$ koyup $ax^2 + bx + c = 0$ denklemini çözün. Kesişim noktalarının sayısını diskriminant $D = b^2 - 4ac$ belirler:

$D > 0$ — iki nokta: $(x_1, 0)$ ve $(x_2, 0)$;

$D = 0$ — bir nokta: parabol $x$ eksenine tepe noktasında teğettir;

$D < 0$ — parabol $x$ eksenini kesmez.

Not: $D = 0$ ise $f(x) = a(x - r)^2$ olur ve fonksiyonun minimum (veya maksimum) değeri $0$'a eşittir. Örnek: $f(x) = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$ parabolü $x$ eksenine $(-1, 0)$ noktasında teğettir.Örnek 1: Minimum ve Maksimum DeğerlerSoru. $f(x) = x^2 - 4x + 3$ fonksiyonunun minimum değerini ve $g(x) = -x^2 + 5x - 6$ fonksiyonunun maksimum değerini bulunuz.Çözüm.$f(x) = x^2 - 4x + 3$ için: burada $a = 1 > 0$, dolayısıyla fonksiyonun minimumu vardır.$$r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2, \qquad f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$$Demek ki $\min f = -1$.$g(x) = -x^2 + 5x - 6$ için: burada $a = -1 < 0$, dolayısıyla fonksiyonun maksimumu vardır.$$r = -\frac{5}{2 \cdot (-1)} = \frac{5}{2}, \qquad g\left(\frac{5}{2}\right) = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} - 6 = \frac{1}{4}$$Demek ki $\max g = \frac{1}{4}$.Cevap: $\min f = -1$, $\max g = \frac{1}{4}$.Örnek 2: Maksimum Değerden Parametre BulmaSoru. $f(x) = -x^2 + 8x + n$ fonksiyonunun maksimum değeri $3$'tür. $n$ kaçtır?Çözüm.$a = -1 < 0$ olduğundan fonksiyonun gerçekten maksimumu vardır ve şu noktada alınır:$$r = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = 4$$Maksimum değer:$$f(4) = -16 + 32 + n = 16 + n$$Koşula göre $16 + n = 3$, buradan$$n = -13$$Cevap: $n = -13$.Aynı yöntem "$\max f = 4$, $m$ kaçtır?" tipindeki her soru için geçerlidir: $r$'yi bulun, yerine koyun ve $f(r)$'yi verilen değere eşitleyin.Örnek 3: Tepe Noktasının Konumundan Parametre BulmaSoru. $f(x) = mx^2 - (2m - 8)x + 1$ parabolünün tepe noktası $x = -1$ noktasındadır. $m$ kaçtır?Çözüm.Burada $a = m$ ve $b = -(2m - 8)$. Tepe noktasının apsisi:$$r = -\frac{b}{2a} = \frac{2m - 8}{2m}$$Koşula göre $r = -1$:$$\frac{2m - 8}{2m} = -1 \;\Rightarrow\; 2m - 8 = -2m \;\Rightarrow\; 4m = 8 \;\Rightarrow\; m = 2$$Cevap: $m = 2$.Kontrol: $m = 2$ için $f(x) = 2x^2 + 4x + 1$ ve $r = -\frac{4}{4} = -1$ olur. Doğru. Soru ayrıca tepe noktası $T(-1, k)$'nin ordinatını da sorsaydı, $k = f(-1) = 2 - 4 + 1 = -1$ hesaplanırdı.Örnek 4: Çarpımın MaksimumuSoru. $A = 2x - 12$ ve $B = -2x + 24$ verildiğine göre $A \cdot B$ çarpımının maksimum değerini bulunuz.Çözüm.Çarpım, $x$'e bağlı ikinci dereceden bir fonksiyondur:$$A \cdot B = (2x - 12)(-2x + 24) = -4x^2 + 72x - 288$$$a = -4 < 0$ olduğundan çarpımın maksimumu vardır. Kökleri $x_1 = 6$ ($A = 0$'dan) ve $x_2 = 12$ ($B = 0$'dan), dolayısıyla tepe noktası orta noktadadır:$$r = \frac{6 + 12}{2} = 9$$$x = 9$ için: $A = 2 \cdot 9 - 12 = 6$ ve $B = -2 \cdot 9 + 24 = 6$, dolayısıyla$$\max(A \cdot B) = 6 \cdot 6 = 36$$Cevap: $36$.Kısayol: $A + B = 12$ toplamı sabittir, bu yüzden çarpımın maksimumu $A = B = 6$ iken elde edilir ve doğrudan $36$ bulunur. Belirli bir aralıkta $\max(B) + \min(A)$ gibi birleşik sorularda her büyüklüğü aynı tepe noktası yöntemiyle veya aralığın uç noktalarıyla ayrı ayrı hesaplayın.Örnek 5: Doğrunun Parabole Teğet OlmasıSoru. $y = 3x + 1$ doğrusu $y = x^2 - kx + 10$ parabolüne teğettir. $k$'nin alabileceği tüm değerlerin toplamını bulunuz.Çözüm.İfadeleri eşitleyelim:$$x^2 - kx + 10 = 3x + 1 \;\Rightarrow\; x^2 - (k + 3)x + 9 = 0$$Teğetlik tam olarak bir ortak nokta demektir, yani $D = 0$:$$D = (k + 3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = (k + 3)^2 - 36 = 0$$Buradan $(k + 3)^2 = 36$, yani $k + 3 = 6$ veya $k + 3 = -6$, dolayısıyla$$k_1 = 3, \qquad k_2 = -9$$Tüm değerlerin toplamı: $k_1 + k_2 = 3 + (-9) = -6$.Cevap: $-6$.Kursun tüm konuları · Konu sorularıPlatformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.