İkinci dereceden eşitsizlik, $a\ne 0$ olmak üzere $ax^2+bx+c>0$ (veya $\ge$, $<$, $\le$ işaretli) biçimindeki eşitsizliktir. Çözümün anahtarı, $y=ax^2+bx+c$ üç terimlisinin işaretini bilmektir. Bu işaret iki şeyle tamamen belirlenir: diskriminant $D=b^2-4ac$ ve başkatsayı $a$'nın işareti (parabolün kollarının yönü). $D>0$ ise parabol $x$ eksenini $x_1<x_2$ olmak üzere iki noktada keser ve üç terimli bu noktalarda işaret değiştirir. $D=0$ ise parabol eksene $x_0=-\frac{b}{2a}$ noktasında teğettir ve işaret değiştirmez. $D<0$ ise parabol ekseni hiç kesmez; dolayısıyla üç terimli her gerçek $x$ için $a$'nın işaretini taşır.
$D=b^2-4ac$ olsun; $D>0$ iken kökler $x_1<x_2$ olsun.$$D>0,\ a>0:\quad ax^2+bx+c>0 \iff x<x_1 \ \text{veya}\ x>x_2,\qquad ax^2+bx+c<0 \iff x_1<x<x_2$$$$D>0,\ a<0:\quad ax^2+bx+c>0 \iff x_1<x<x_2,\qquad ax^2+bx+c<0 \iff x<x_1 \ \text{veya}\ x>x_2$$$$D=0:\quad ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2,\ \ x\ne -\frac{b}{2a}\ \text{için}\ a\ \text{ile aynı işaretli},\ x=-\frac{b}{2a}\ \text{noktasında}\ 0$$$$D<0,\ a>0:\quad \text{her}\ x\in\mathbb{R}\ \text{için}\ ax^2+bx+c>0;\qquad D<0,\ a<0:\quad \text{her}\ x\in\mathbb{R}\ \text{için}\ ax^2+bx+c<0$$Sonuç: $D<0$ iken $a$ ile aynı işaretli eşitsizliğin çözümü $\mathbb{R}$, ters işaretli eşitsizliğin çözüm kümesi boştur ($\varnothing$).
Algoritma: 1) eşitsizliği $ax^2+bx+c$ ifadesinin $0$ ile karşılaştırıldığı biçime getirin; 2) $D$ değerini hesaplayın; 3) $D>0$ ise kökleri bulup parabol taslağını kullanın; 4) $D\le 0$ ise cevap doğrudan $a$ işaretinden çıkar. YÖS sorularında $D<0$ durumu çok sık görülür. Örnek: $x^2-x+1>0$ için $D=1-4=-3<0$ ve $a=1>0$; üç terimli her yerde pozitiftir, cevap $x\in\mathbb{R}$. Örnek: $x^2-x+6<0$ için $D=1-24=-23<0$ ve $a>0$; üç terimli daima pozitiftir, asla negatif olamaz: çözüm kümesi boştur, $\varnothing$. Böyle üç terimlileri çarpanlara ayırmaya uğraşmayın — önce $D$ değerini kontrol edin.
Aralık yöntemi, $P$ ve $Q$ çarpanlara ayrılmış olmak üzere $\frac{P(x)}{Q(x)}$ ifadesinin $0$ ile karşılaştırıldığı her eşitsizliği çözer. Adımlar: 1) her şeyi bir tarafa taşıyın, sağ taraf $0$ olsun; 2) payı ve paydayı çarpanlarına ayırın; 3) payın ve paydanın tüm sıfırlarını bulun — bunlar kritik noktalardır; 4) sayı doğrusuna işaretleyin: payın sıfırları $\ge,\le$ için dolu, $>,<$ için boş nokta; paydanın sıfırları HER ZAMAN boş noktadır; 5) en sağdaki aralıkta işareti belirleyin (büyük bir deneme değeri koyun); 6) sola doğru ilerlerken tek katlı noktadan geçişte işaret değişir, çift katlı noktada aynı kalır; 7) istenen işarete sahip aralıkları seçin.
$(x-a)^n$ çarpanının üssü $n$ tek ise ifade $x=a$ noktasında işaret değiştirir; $n$ çift ise işaret değişmez (nokta yalnızca payın sıfırıysa $0$ değerini verir). Çok büyük üslerde yalnızca teklik-çiftlik önemlidir: $(x-1)^{1938}$, $(x-1)^2$ gibi; $(2-x)^{1881}$ ise $(2-x)$ gibi davranır. İşareti sabit çarpanlara dikkat edin: her $x$ için $x^2+4>0$ ve $x^2+x+1>0$ (çünkü $D<0$), buna karşılık her $x$ için $-x^2-4=-(x^2+4)<0$. Böyle bir çarpan eşitsizlikten atılabilir; negatifse eşitsizliğin yönü ters çevrilir. Yararlı çarpanlara ayırmalar: $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ (ikinci çarpan daima pozitif) ve $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Son olarak, $\frac{(x-2)^2}{(x+3)^2}$ gibi tam kare bir ifade otomatik olarak $\ge 0$ olur: $\ge 0$ eşitsizliği tanım kümesindeki her $x$ için, yani $x\ne -3$ olan tüm $x$ için sağlanır.
En sık yapılan hata, her iki tarafı paydayla çarpmaktır. Payda $x$ içerir, işareti bilinmez; çarpınca eşitsizliğin yönü değişebilir de değişmeyebilir de — bunu ASLA yapmayın. Doğru yöntem: her şeyi bir tarafa taşıyıp tek kesir hâline getirmek. Örnek: $\frac{x}{x+2}\le\frac{1}{x}$ eşitsizliği $x^2\le x+2$ hâline GETİRİLMEZ; bunun yerine $\frac{x}{x+2}-\frac{1}{x}\le 0$, yani $\frac{x^2-(x+2)}{x(x+2)}\le 0$, yani $\frac{(x-2)(x+1)}{x(x+2)}\le 0$ yazılır ve aralık yöntemi uygulanır. Sınır noktaları kuralı: payın sıfırları $\ge$ veya $\le$ işaretinde çözüme dahil edilir; paydanın sıfırları (burada $x=0$ ve $x=-2$) $\ge$ veya $\le$ olsa bile HER ZAMAN dışlanır, çünkü sıfıra bölme tanımsızdır.
$A\le f(x)\le B$ ikili eşitsizliği, aynı anda sağlanması gereken iki eşitsizlikten oluşan bir sistemdir: $f(x)\ge A$ VE $f(x)\le B$. Her birini ayrı ayrı çözüp cevapların kesişimini alın. $-2\le x^2-2x-5\le 10$ için şema: sol taraf $x^2-2x-3\ge 0$, yani $(x-3)(x+1)\ge 0$ verir, buradan $x\le -1$ veya $x\ge 3$; sağ taraf $x^2-2x-15\le 0$, yani $(x-5)(x+3)\le 0$ verir, buradan $-3\le x\le 5$. İki kümenin kesişimi nihai cevaptır: $[-3,-1]\cup[3,5]$. Ortası ikinci dereceden olan ikili eşitsizliği doğrusalmış gibi zincirleme çözmeyin.
$a>0$ olmak üzere $\sqrt{f(x)}<a$ için iki koşul birlikte sağlanmalıdır: tanım koşulu $f(x)\ge 0$ (kök içi negatif olamaz) ve negatif olmayan iki tarafın karesi alındığında $f(x)<a^2$. Yani $\sqrt{f(x)}<a \iff 0\le f(x)<a^2$. Örnek: $\sqrt{x^2+3x-4}<6$. Tanım koşulu: $x^2+3x-4\ge 0$, yani $(x+4)(x-1)\ge 0$, buradan $x\le -4$ veya $x\ge 1$. Kare alma: $x^2+3x-4<36$, yani $x^2+3x-40<0$, yani $(x+8)(x-5)<0$, buradan $-8<x<5$. İki koşulun kesişimi: $x\in(-8,-4]\cup[1,5)$. Not: $a\ge 0$ iken $\sqrt{f(x)}>a$ için cevap doğrudan $f(x)>a^2$ olur (tanım koşulu kendiliğinden sağlanır).
Standart YÖS ifadeleri. 1) Her $x\in\mathbb{R}$ için $ax^2+bx+c>0$ olması, $a>0$ ve $D<0$ olmasına denktir (kolları yukarı parabol tamamen eksenin üstünde). Benzer şekilde her $x$ için negatiflik, $a<0$ ve $D<0$ olmasına denktir. 2) Denklemin iki farklı gerçek kökü vardır $\iff D>0$; gerçek kökü yoktur $\iff D<0$; çakışık (çift kat) kökü vardır $\iff D=0$. Örnek: her $x$ için $x^2-(m+2)x+7>0$ olacak şekilde tüm $m$ değerlerini bulun. Burada $a=1>0$, dolayısıyla $D<0$ gerekir: $(m+2)^2-4\cdot 7<0$, yani $(m+2)^2<28$, yani $|m+2|<2\sqrt{7}$, buradan $-2-2\sqrt{7}<m<-2+2\sqrt{7}$. Eğer soru $x^2-(m+2)x+7=0$ denkleminin iki farklı kökünü istiyorsa $(m+2)^2>28$ çözülür: $m<-2-2\sqrt{7}$ veya $m>-2+2\sqrt{7}$.
Birçok YÖS sorusunda eşitsizliği sağlayan kaç tam sayı $x\in\mathbb{Z}$ olduğu veya tüm tam sayı çözümlerin toplamı sorulur. Yol: eşitsizliği tamamen çözün, sonra cevaptaki her aralığın içindeki tam sayıları dikkatle listeleyin. Uç noktalara dikkat edin: bir uç nokta yalnızca aralık orada kapalıysa (dolu nokta) listeye girer; paydanın sıfırları asla girmez. Örnek: çözüm kümesi $[-3,-1]\cup[3,5]$ ise tam sayı çözümler $-3,-2,-1,3,4,5$ olup toplamları $(-3-2-1)+(3+4+5)=-6+12=6$ olur. Hız için ipucu: $-n$ ile $n$ arasındaki ardışık tam sayıların toplamı $0$ olur; yalnızca dengesiz kuyruk toplama katkı yapar.
Soru. Çözünüz: a) $x^2-x+1>0$; b) $x^2-x+6<0$.Çözüm a). Adım 1: diskriminantı hesaplayalım: $D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=-3<0$. Adım 2: $a=1>0$ ve $D<0$ olduğundan parabol tamamen $x$ ekseninin üstündedir; her gerçek $x$ için $x^2-x+1>0$ olur. Cevap: $x\in\mathbb{R}$, yani $(-\infty,+\infty)$.Çözüm b). Adım 1: $D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 6=1-24=-23<0$. Adım 2: $a=1>0$ ve $D<0$ olduğundan üç terimli her $x$ için kesin pozitiftir; dolayısıyla hiçbir zaman negatif olamaz. Cevap: çözüm yok, $\varnothing$.
Soru. $\frac{x}{x+2}\le\frac{1}{x}$ eşitsizliğini çözünüz.Adım 1. $x(x+2)$ ile ÇARPMAYIN — işareti bilinmiyor. Her şeyi sola taşıyın: $\frac{x}{x+2}-\frac{1}{x}\le 0$.Adım 2. Ortak payda: $\frac{x\cdot x-(x+2)}{x(x+2)}\le 0$, yani $\frac{x^2-x-2}{x(x+2)}\le 0$.Adım 3. Payı çarpanlarına ayırın: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, böylece $\frac{(x-2)(x+1)}{x(x+2)}\le 0$.Adım 4. Kritik noktalar: payın sıfırları $x=-1$ ve $x=2$ (işaret $\le$ olduğundan dolu nokta); paydanın sıfırları $x=-2$ ve $x=0$ (her zaman dışlanır). Tüm katlılıklar tek olduğundan işaret sırayla değişir: $x>2$ için kesir pozitif, $(0,2)$ üzerinde negatif, $(-1,0)$ üzerinde pozitif, $(-2,-1)$ üzerinde negatif, $x<-2$ için pozitiftir.Adım 5. $\le 0$ istenir: negatif aralıklar ve payın sıfırları. Cevap: $x\in(-2,-1]\cup(0,2]$.
Soru. $\frac{(2-x)^{1881}(x-1)^{1938}}{(x+1)^{55}(x^2-9)}\ge 0$ eşitsizliğini çözünüz.Adım 1. Üslerin yalnızca tek/çift olması önemlidir: $1881$ ve $55$ tek (işaret değişir), $1938$ çift (işaret değişmez). Çarpanlara ayıralım: $x^2-9=(x-3)(x+3)$.Adım 2. Kritik noktalar: payın sıfırları $x=2$ (tek kat) ve $x=1$ (çift kat) — işaret $\ge$ olduğundan dahil edilmeye adaydır; paydanın sıfırları $x=-1$, $x=3$, $x=-3$ (hepsi tek kat) — her zaman dışlanır.Adım 3. En sağdaki aralıkta ($x>3$) işaret: $(2-x)^{1881}<0$, $(x-1)^{1938}>0$, $(x+1)^{55}>0$, $x^2-9>0$; kesrin tamamı negatiftir.Adım 4. Sola doğru: $x=3$ (tek) noktasında işaret $(2,3)$ üzerinde pozitif olur; $x=2$ (tek) noktasında $(1,2)$ üzerinde negatif; $x=1$ (çift) noktasında işaret DEĞİŞMEZ, $(-1,1)$ üzerinde negatif kalır; $x=-1$ (tek) noktasında $(-3,-1)$ üzerinde pozitif; $x=-3$ (tek) noktasında $x<-3$ için negatif olur.Adım 5. $\ge 0$ istenir: pozitif aralıklar $(-3,-1)$ ve $(2,3)$, ayrıca kesrin tanımlı olduğu pay sıfırları: $x=2$ (dahil) ve izole nokta $x=1$ (orada kesir $0$ değerini alır). $-3,-1,3$ noktaları dışlanır. Cevap: $x\in(-3,-1)\cup\{1\}\cup[2,3)$.
Soru. $-2\le x^2-2x-5\le 10$ eşitsizliğini çözünüz ve tüm tam sayı çözümlerin toplamını bulunuz.Adım 1. Sisteme ayırın: $x^2-2x-5\ge -2$ ve $x^2-2x-5\le 10$.Adım 2. Sol eşitsizlik: $x^2-2x-3\ge 0$, yani $(x-3)(x+1)\ge 0$, buradan $x\le -1$ veya $x\ge 3$.Adım 3. Sağ eşitsizlik: $x^2-2x-15\le 0$, yani $(x-5)(x+3)\le 0$, buradan $-3\le x\le 5$.Adım 4. Kesişim: $\big((-\infty,-1]\cup[3,+\infty)\big)\cap[-3,5]=[-3,-1]\cup[3,5]$.Adım 5. Tam sayı çözümler: $-3,-2,-1,3,4,5$. Toplamları: $(-3)+(-2)+(-1)+3+4+5=6$. Cevap: $x\in[-3,-1]\cup[3,5]$; tam sayı çözümlerin toplamı $6$ olur.
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.