Polinomlar, YÖS MAT-2 bölümünün en sık sorulan konularından biridir. Tipik sorular: bir ifadenin hangi koşullarda polinom olduğunu belirlemek (üsler üzerindeki koşullar), $P(x-3)$ veya $P(2-x)$ gibi kaydırılmış argümandan $P(x)$'i bulmak, $P(1)$ (katsayılar toplamı) ve $P(0)$ (sabit terim) gibi özel değerleri hesaplamak, Bezout (kalan) teoremi ile kalan bulmak, $x^2-1$ gibi ikinci dereceden bir ifadeye bölmek, polinomların eşitliğinden katsayıları karşılaştırmak, üçüncü dereceden polinomu çarpanlara ayırıp tam sayı köklerini bulmak ve $der[P\cdot Q]=der\,P+der\,Q$ gibi derece kurallarını uygulamaktır. Hemen her sınav sorusu aşağıda anlatılan küçük bir kural kümesine indirgenir — bunları öğrenin ve yerine koyma işlemlerini bol bol çalışın.
Bir değişkenli polinom, $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0,\qquad a_n\neq 0$$ biçiminde bir ifadedir; burada $a_i$ katsayıları gerçek sayılardır ve $x$'in her üssü bir doğal sayıdır (negatif olmayan tam sayı: $0,1,2,\dots$). $n$ sayısına polinomun derecesi denir ve $der[P(x)]$ ile gösterilir; $a_n$ başkatsayı, $a_0$ sabit terimdir. Temel koşul: bir ifadenin polinom olması için negatif üs ($x^{-2}$ gibi), kesirli üs ($x^{1/2}=\sqrt{x}$ gibi) ve paydada değişken bulunmamalıdır. Sıfırdan farklı bir sabit, derecesi $0$ olan bir polinomdur.
Soru. $P(x)=x^{\frac{12}{m}}+x^{m-4}-3x+1$ bir polinomdur. $m$'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm. Her üs bir doğal sayı olmalıdır.
1) $\frac{12}{m}\in\mathbb{N}$ olduğundan $m$, $12$'nin pozitif bir böleni olmalıdır: $m\in\{1,2,3,4,6,12\}$.2) $m-4\in\mathbb{N}$ olduğundan $m-4\ge 0$, yani $m\ge 4$.
İki koşul birlikte $m\in\{4,6,12\}$ verir. Kontrol: $\frac{12}{4}=3$, $\frac{12}{6}=2$, $\frac{12}{12}=1$ ve $m-4=0,\,2,\,8$ — hepsi doğal sayıdır.
Cevap: $4+6+12=22$.
$P(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$ için:$$P(1)=a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0 \quad\text{(tüm katsayıların toplamı)}$$$$P(0)=a_0 \quad\text{(sabit terim)}$$$$\frac{P(1)+P(-1)}{2}=\text{çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı},\qquad \frac{P(1)-P(-1)}{2}=\text{tek dereceli terimlerinki}.$$Polinom kaydırılmış argümanla verilmişse, argümanı gereken değere eşitleyecek $x$'i seçin: $P(x-3)$ için $P$'nin katsayılar toplamı $x=4$'te ($x-3=1$ olur), sabit terimi ise $x=3$'te ($x-3=0$ olur) elde edilir.
Örnek: $P(x)=3x^{11}-4x^7+kx$ ve $P(1)=0$ ise $3-4+k=0$, dolayısıyla $k=1$.
$P$ kaydırılmış bir argümanla verildiğinde $P(x)$'i bulmak için bu argümana eşit yeni bir değişken tanımlayın.
Örnek: $P(x-3)=x^2-4x+3$. $t=x-3$ diyelim, o zaman $x=t+3$. Yerine koyalım:$$P(t)=(t+3)^2-4(t+3)+3=t^2+6t+9-4t-12+3=t^2+2t.$$Dolayısıyla $P(x)=x^2+2x$.
Aynı yöntem azalan argüman için de geçerlidir: $P(2-x)$ için $t=2-x$ alın, o zaman $x=2-t$ olur. Kısa yol: yalnızca $P(5)$ gibi tek bir değer isteniyorsa polinomun tamamını bulmayın — argümanı $5$ yapan $x$'i seçin ($P(x-3)$ için $x=8$ alın).
Sıfırdan farklı $P$ ve $Q$ polinomları için:$$der[P(x)\cdot Q(x)]=der[P(x)]+der[Q(x)]$$$$der\big[P\big(Q(x)\big)\big]=der[P(x)]\cdot der[Q(x)]$$$$der\big[P(x)^k\big]=k\cdot der[P(x)],\qquad der[P(x)\pm Q(x)]\le\max\big(der[P(x)],\,der[Q(x)]\big).$$$der[P(x-3)]=der[P(x)]$ olduğuna dikkat edin: argümanı kaydırmak dereceyi değiştirmez.
Parametreli örnek: $der[P(x)\cdot Q(x)]=7n+3$ ve $der[P(x)]=3n+1$ ise $$der[Q(x)]=(7n+3)-(3n+1)=4n+2.$$
$P(x)$'i sıfırdan farklı bir $B(x)$ polinomuna böldüğümüzde tek bir bölüm $Q(x)$ ve kalan $R(x)$ vardır: $$P(x)=B(x)\cdot Q(x)+R(x),\qquad der[R(x)]<der[B(x)].$$Bezout (kalan) teoremi: $P(x)$'in $x-a$ ile bölümünden kalan $P(a)$'ya eşittir. Özel olarak $x+3$ ile bölümden kalan $P(-3)$'tür, çünkü $x+3=x-(-3)$.
Bölünebilme ölçütü: $P(x)$'in $x-a$ ile tam bölünmesi için gerek ve yeter koşul $P(a)=0$ olmasıdır; yani $a$, $P$'nin bir köküdür. Dolayısıyla «$P(x)$, $x-2$ ile tam bölünür» ifadesi tam olarak $P(2)=0$ demektir.
Polinom kaydırılmış argümanla verilmişse (örneğin $P(x-2)$), önce argümanı istediğiniz sayıya eşitleyen $x$'i seçin: $P(x-2)$'den $P(3)$'ü elde etmek için $x=5$ alın.
Derecesi $2$ olan bir polinoma bölerken kalanın derecesi en fazla $1$ olur, bu yüzden $R(x)=ax+b$ biçiminde yazılır:$$P(x)=(x^2-1)\cdot Q(x)+ax+b.$$$x^2-1=(x-1)(x+1)$ olduğundan $x=1$ ve $x=-1$ köklerini yerine koyun ($Q$'lu terim sıfırlanır):$$P(1)=a+b,\qquad P(-1)=-a+b.$$Bu denklem sisteminden $a$ ve $b$ bulunur.
Mini örnek: $P(x)$'in $x-1$ ile bölümünden kalan $5$, $x+1$ ile bölümünden kalan $1$ olsun. O zaman $a+b=5$ ve $-a+b=1$, buradan $b=3$, $a=2$ ve $x^2-1$ ile bölümden kalan $2x+3$ olur. Aynı yöntem $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ vb. için de geçerlidir.
İki polinom (her $x$ için, özdeş olarak) eşittir ancak ve ancak $x$'in aynı kuvvetlerinin katsayıları eşitse. $P(x)=Q(x)$ her $x$ için sağlanıyorsa $x^n$, $x^{n-1}$, ... katsayılarını ve sabit terimleri tek tek karşılaştırın. Denklem elde etmek için uygun $x$ değerleri de yerine konabilir.
Örnek: $(x^3+6)P(x)+6x=ax^3+2ax+b+3$ her $x$ için sağlansın. Sağ tarafın derecesi $3$'tür ve sol tarafta $x^3\cdot P(x)$ vardır, bu yüzden $P(x)=c$ sabit olmalıdır. Sol taraf $cx^3+6x+6c$ olur. Katsayıları eşitleyelim: $x^3$ için $c=a$; $x^1$ için $6=2a$, yani $a=3$ ve $c=3$; sabit terimler için $6c=b+3$, yani $b=15$. Dolayısıyla $a+b=18$.
Tam sayı kök testi: tam sayı katsayılı bir polinomun tam sayı bir kökü varsa, bu kök sabit terimin bir bölenidir. Bu yüzden $x^3+3x^2-4x-12=0$ denkleminin tam sayı köklerini bulmak için $12$'nin bölenlerini deneyin: $\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12$.
Gruplandırma çoğu zaman daha hızlıdır:$$x^3+3x^2-4x-12=x^2(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x^2-4)=(x+3)(x-2)(x+2).$$Kökler $x=-3$, $x=2$, $x=-2$'dir; tam sayı köklerin çarpımı $(-3)\cdot 2\cdot(-2)=12$ olur.
Genel yöntem: önce bir kök $a$ bulun (sabit terimin bölenlerini deneyerek), sonra $x-a$'ya bölün (uzun bölme veya Horner yöntemi) ve kalan ikinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayırın.
$$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2,\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\qquad (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$Polinom sorularındaki temel püf noktası, polinomun içindeki tam küpü fark etmektir:$$x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3,\qquad x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3,$$ ayrıca tam kare $x^2-6x+9=(x-3)^2$. Bu, $P$'yi $\sqrt[3]{10}-1$ gibi irrasyonel noktalarda hesaplamayı tek satırlık bir işleme dönüştürür.
Soru. $P(2-x)=x^2+2x+1$. $P(x)$'i bulun ve $P(5)$'i hesaplayın.
Çözüm. $t=2-x$ diyelim, o zaman $x=2-t$. Yerine koyalım:$$P(t)=(2-t)^2+2(2-t)+1=4-4t+t^2+4-2t+1=t^2-6t+9=(t-3)^2.$$Dolayısıyla $P(x)=(x-3)^2$ ve $P(5)=(5-3)^2=4$.
$P$'yi bulmadan hızlı kontrol: $P(5)$'i doğrudan elde etmek için $2-x=5$, yani $x=-3$ seçin. O zaman $P(5)=(-3)^2+2\cdot(-3)+1=9-6+1=4$. Sonuçlar uyuşuyor.
Cevap: $P(x)=(x-3)^2$, $P(5)=4$.
Soru. Her $x$ için $P(x-2)+P(x+2)=4x+2$ sağlanıyor. $P(x)$'in $x-3$ ile bölümünden kalanı bulun.
Çözüm. Sağ tarafın derecesi $1$'dir ve argümanı kaydırmak dereceyi değiştirmez, dolayısıyla $P$ birinci derecedendir: $P(x)=mx+c$. O zaman$$P(x-2)+P(x+2)=m(x-2)+c+m(x+2)+c=2mx+2c.$$$4x+2$ ile karşılaştırınca $2m=4$ ve $2c=2$, yani $m=2$, $c=1$ ve $P(x)=2x+1$.
Bezout teoremine göre $x-3$ ile bölümden kalan $P(3)=2\cdot 3+1=7$'dir.
Bu tür özdeşliklerde faydalı kısa yol: uygun bir $x$ yerine koymak değerleri anında verir. Örneğin $x=2$ için $P(0)+P(4)=10$ bulunur, üstelik $P$'yi hiç bulmadan.
Cevap: $7$.
Soru. $P(x)=x^3+3x^2+3x+1$. $P\big(\sqrt[3]{10}-1\big)$ değerini hesaplayın.
Çözüm. $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ özdeşliğini $a=x$, $b=1$ ile fark edelim:$$P(x)=x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3.$$Şimdi $x=\sqrt[3]{10}-1$ yerine koyalım:$$P\big(\sqrt[3]{10}-1\big)=\big(\sqrt[3]{10}-1+1\big)^3=\big(\sqrt[3]{10}\big)^3=10.$$Ders: «çirkin» bir sayıyı yerine koymadan önce polinomu bir iki terimlinin kuvvetine dönüştürmeyi deneyin — YÖS soruları irrasyonel kısımlar sadeleşecek şekilde kurgulanır.
Cevap: $10$.
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.