Matris, $m$ satır ve $n$ sütundan oluşan dikdörtgen bir sayı tablosudur. Matrisin boyutu $m \times n$ olarak adlandırılır ve $A = [a_{ij}]$ yazılır; burada $a_{ij}$, $i$. satır ve $j$. sütundaki elemandır. Örneğin $A=\begin{bmatrix}3&-2\\4&-1\end{bmatrix}$, $a_{12}=-2$ olan $2 \times 2$ boyutunda bir kare matristir.
YÖS için bilinmesi gereken özel matrisler:- Kare matris: satır sayısı sütun sayısına eşittir ($n \times n$).- Sıfır matrisi $O$: bütün elemanları $0$ olan matristir. Aynı boyuttaki her $A$ matrisi için $A + O = A$.- Birim matris $I$: asal köşegeni $1$, diğer elemanları $0$ olan kare matristir: $$I = \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}.$$ Sayılardaki $1$ gibi davranır: aynı boyuttaki her kare $A$ matrisi için $AI = IA = A$.
İki matris ancak ve ancak aynı boyutta olup karşılıklı bütün elemanları eşitse eşittir. Bilinmeyen parametreli sorularda anahtar budur: elemanları tek tek eşitleyin.
Aynı boyuttaki matrisler eleman eleman toplanır ve çıkarılır; bir matris bir sayı (skaler) ile çarpılırken her eleman o sayı ile çarpılır:$$(A \pm B)_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}, \qquad (kA)_{ij} = k\,a_{ij}.$$
Birleşik doğrusal işlem örneği:$$\begin{bmatrix}3&-2\\4&-1\end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix}-1&-1\\0&2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3-(-2)&-2-(-2)\\4-0&-1-4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5&0\\4&-5\end{bmatrix}.$$
Yararlı kurallar: $k(A+B) = kA + kB$, $(k+m)A = kA + mA$, $A - B = A + (-1)B$. Skaler negatifken işaretlere çok dikkat edin — en sık yapılan hata budur.
$AB$ çarpımı yalnızca $A$'nın sütun sayısı $B$'nin satır sayısına eşit olduğunda tanımlıdır:$$A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = C_{m \times p}, \qquad c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj}.$$$c_{ij}$ elemanı, $A$'nın $i$. satırı ile $B$'nin $j$. sütununun çarpımlarının toplamıdır.
Dikdörtgen örnek: $A$ matrisi $2 \times 3$, $B$ matrisi $3 \times 2$ ise $AB$ bir $2 \times 2$ matristir; $BA$ ise $3 \times 3$ olur — boyutlar farklıdır!
$2 \times 2$ örneği:$$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\cdot0+2\cdot1&1\cdot1+2\cdot0\\3\cdot0+4\cdot1&3\cdot1+4\cdot0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}.$$
Uyarı: matris çarpımı değişmeli DEĞİLDİR: genelde $AB \neq BA$. Ancak birleşme özelliği $(AB)C = A(BC)$ ve dağılma özelliği $A(B+C) = AB + AC$ geçerlidir.
Devrik matris $A^T$, $A$'nın satırlarının sütun yapılmasıyla elde edilir: $(A^T)_{ij} = a_{ji}$. $A$ matrisi $m \times n$ ise $A^T$ matrisi $n \times m$ olur. Örneğin:$$A = \begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix} \;\Rightarrow\; A^T = \begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}.$$
Temel özellikler:$$(A^T)^T = A, \qquad (A+B)^T = A^T + B^T, \qquad (kA)^T = kA^T, \qquad (AB)^T = B^T A^T.$$$(AB)^T = B^T A^T$ eşitliğindeki ters sıraya dikkat edin.
YÖS sorularında parametreli elemanlar içeren $A^T = A$ veya $A^T = B$ türü bir eşitlik, karşılıklı elemanların eşitlenmesiyle çözülür: sol taraftaki $(i,j)$ konumundaki eleman, sağ taraftaki $(i,j)$ konumundaki elemana eşit olmalıdır. Böylece parametreler için sıradan bir denklem sistemi elde edilir.
Kare bir matris için $A^2 = A \cdot A$, $A^3 = A^2 \cdot A$ vb. tanımlanır; kabul gereği $A^0 = I$. Aynı matrisin kuvvetleri birbiriyle değişir: $A^m A^n = A^{m+n}$.
YÖS'te sıkça $A^{32}$ gibi büyük bir kuvvet sorulur. Asla 32 kez çarpmayın — $A^2$ ve $A^3$'ü hesaplayın, örüntüyü bulun ve istenen üsse doğrudan geçin. Tipik örüntüler:- Köşegeninde 1 olan üçgensel matrisler: $A = \begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}$ için $A^n = \begin{bmatrix}1&na\\0&1\end{bmatrix}$ olur — köşegen dışı eleman doğrusal büyür.- Döngüsel matrisler: bazen $A^2 = I$, $A^3 = I$ veya $A^4 = I$ olur. Bu durumda üs, döngü uzunluğuna göre mod alınır: $A^4 = I$ ise $A^{2026} = A^{4 \cdot 506 + 2} = A^2$.- $A^2 - 3A$ gibi ifadeler: $A^2$'yi doğrudan hesaplayın, sonra $A$'yı $3$ ile çarpıp eleman eleman çıkarın.
Genellemeden önce örüntüyü her zaman fazladan bir kuvvette doğrulayın (örneğin $A^3 = A^2 \cdot A$ olduğunu kontrol edin).
$f(x) = a_k x^k + \dots + a_1 x + a_0$ bir polinom ve $A$ kare bir matris ise, $f(A)$ ifadesi $x$ yerine $A$ yazılarak ve — çok önemli — sabit terim $a_0$ yerine $a_0 I$ yazılarak tanımlanır:$$f(x) = x^2 - 3x + 2 \quad\Longrightarrow\quad f(A) = A^2 - 3A + 2I.$$
Neden sadece $2$ değil de $2I$? Çünkü toplamdaki her terim aynı boyutta bir matris olmalıdır; $a_0$ sabiti $a_0 x^0 = a_0 \cdot 1$ terimine karşılık gelir ve $1$ sayısının matris karşılığı birim matris $I$'dır.
Hesaplama planı: önce satır-sütun kuralıyla $A^2$'yi bulun, sonra skaler çarpımla $3A$'yı, ardından $2I = \begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}$ matrisini yazın ve son olarak her şeyi eleman eleman birleştirin. Sabit terimde $I$'yı unutmak bu soruların klasik tuzağıdır.
$2 \times 2$ bir matrisin determinantı şu sayıdır:$$\det A = \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$$yani asal köşegen çarpımından yedek köşegen çarpımının çıkarılmasıdır.
Elemanlar herhangi bir ifade olabilir, kural değişmez:- Trigonometrik: $\begin{vmatrix}\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\end{vmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1.$- Sanal birimli: $\begin{vmatrix}1&i\\i&1\end{vmatrix} = 1 - i^2 = 1-(-1) = 2.$- Üstel: $\begin{vmatrix}e^{2x}&e^{3x}\\e^{3x}&e^{4x}\end{vmatrix} = e^{2x}e^{4x} - e^{3x}e^{3x} = e^{6x} - e^{6x} = 0.$- Parametreli: $\begin{vmatrix}t&2\\3&t-1\end{vmatrix} = t(t-1) - 6 = t^2 - t - 6$ — sonra elde edilen denklem $t$ için çözülür.
Açılımdan sonra her zaman özdeşliklerle sadeleştirin ($\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, $i^2 = -1$, üs kuralları).
Birinci satıra göre kofaktör açılımı, $3 \times 3$ determinantı üç tane $2 \times 2$ determinanta indirger:$$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} = a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}.$$İşaretler satranç tahtası düzeninde $+,-,+$ şeklindedir; $(i,j)$ konumunun işareti $(-1)^{i+j}$'dir. Açılım herhangi bir satır veya sütuna göre yapılabilir — en çok sıfır içereni seçin.
Sarrus kuralı (yalnızca $3 \times 3$ için): ilk iki sütunu sağa kopyalayın; sağ-aşağı giden üç köşegen çarpımını toplayın, sağ-yukarı giden üç köşegen çarpımını çıkarın:$$\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}.$$İki yöntem de her zaman aynı sonucu verir; verilen elemanlar için hangisi hızlıysa onu kullanın.
Bu özellikler zor determinantları kolaylaştırır:1. $\det(A^T) = \det A$ — satırlar için geçerli her özellik sütunlar için de geçerlidir.2. İki satırın (veya sütunun) yer değiştirmesi determinantın işaretini değiştirir.3. İki satır (veya sütun) eşit ya da orantılı ise determinant $0$'dır.4. Bir satırın ortak çarpanı dışarı alınabilir: bir satırı $k$ ile çarpmak determinantı $k$ ile çarpar. Dolayısıyla $n \times n$ bir matris için $\det(kA) = k^n \det A$.5. Bir satırın bir katını başka bir satıra eklemek determinantı değiştirmez. Ana hesaplama hilesi budur.6. $\det(AB) = \det A \cdot \det B$ ve $\det I = 1$; dolayısıyla $\det(A^n) = (\det A)^n$.
Özellik 5'in klasik YÖS uygulaması — büyük sayıları çarpmadan önce bir sütunu diğerinden çıkarın:$$\begin{vmatrix}1995&1999\\1991&1995\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1995&1999-1995\\1991&1995-1991\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1995&4\\1991&4\end{vmatrix} = 4(1995-1991) = 16.$$Özellik 3'e göre, ikinci satırı birinci satırın örneğin iki katı olan bir $3 \times 3$ determinant, hiçbir açılım yapmadan doğrudan $0$'dır.
Kare bir $A$ matrisinin tersi, şu koşulu sağlayan $A^{-1}$ matrisidir:$$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I.$$Ters matris ancak ve ancak $\det A \neq 0$ olduğunda vardır. $\det A = 0$ ise matrise tekil (tersi olmayan) matris denir — 'hangi parametre değeri için matrisin tersi yoktur' sorularında kullanılan koşul tam olarak budur.
$2 \times 2$ matris için hazır formül vardır:$$A = \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \quad\Longrightarrow\quad A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}.$$Tarif: köşegen elemanları $a$ ve $d$'nin yerini değiştirin, $b$ ve $c$'nin işaretini değiştirin, determinanta bölün.
Yararlı bilgiler: $(A^{-1})^{-1} = A$, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ (ters sıra), $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A}$.
Hızlı kontrol: bulduğunuz $A^{-1}$'i $A$ ile çarpın — sonuç $I$ olmalıdır.
$AB = C$ türünde bir denklemi bilinmeyen $B$ matrisi için çözmek üzere her iki tarafı soldan $A^{-1}$ ile çarpın:$$AB = C \;\Longrightarrow\; A^{-1}(AB) = A^{-1}C \;\Longrightarrow\; B = A^{-1}C.$$$XA = C$ için sağdan çarpın: $X = CA^{-1}$. Taraf önemlidir, çünkü çarpma değişmeli değildir — $A^{-1}C$ ile $CA^{-1}$ genelde farklıdır!
Bilinmeyen matris küçükse alternatif yol: $B = \begin{bmatrix}x&y\\z&t\end{bmatrix}$ yazın, çarpın ve elemanları eşitleyin.
Cebirsel özdeşlikler, yalnızca tek bir matris (ve $I$) varsa matrisler için de geçerlidir, çünkü $A$ kendisiyle ve $I$ ile değişir:$$(A-I)(A+I) = A^2 + AI - IA - I^2 = A^2 - I.$$$\det(XY) = \det X \cdot \det Y$ ile birlikte bu, sıkça sorulan şu özdeşliği verir:$$\det\big((A-I)(A+I)\big) = \det(A-I)\cdot\det(A+I) = \det(A^2 - I).$$Ama dikkat: $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ olup, $AB = BA$ olmadıkça $A^2 + 2AB + B^2$'ye eşit DEĞİLDİR.
Soru. $A=\begin{bmatrix}3&-2\\4&-1\end{bmatrix}$ ve $B=\begin{bmatrix}-1&-1\\0&2\end{bmatrix}$ veriliyor. $C = A - 2B$ ve ardından $CB$ matrisini bulun.
Adım 1. Her elemanı $2$ ile çarparak $2B$'yi hesaplayalım:$$2B = \begin{bmatrix}-2&-2\\0&4\end{bmatrix}.$$
Adım 2. Eleman eleman çıkaralım:$$C = A - 2B = \begin{bmatrix}3-(-2)&-2-(-2)\\4-0&-1-4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5&0\\4&-5\end{bmatrix}.$$
Adım 3. Satır-sütun kuralıyla $C$'yi $B$ ile çarpalım:$$CB = \begin{bmatrix}5&0\\4&-5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&-1\\0&2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\cdot(-1)+0\cdot0 & 5\cdot(-1)+0\cdot2\\ 4\cdot(-1)+(-5)\cdot0 & 4\cdot(-1)+(-5)\cdot2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-5&-5\\-4&-14\end{bmatrix}.$$
Cevap: $C = \begin{bmatrix}5&0\\4&-5\end{bmatrix}$, $CB = \begin{bmatrix}-5&-5\\-4&-14\end{bmatrix}$.
Soru. $A = \begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}$ için $A^{32}$ matrisini bulun.
Adım 1. İlk kuvvetleri hesaplayalım:$$A^2 = \begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&-2\\0&1\end{bmatrix}, \qquad A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix}1&-3\\0&1\end{bmatrix}.$$
Adım 2. Örüntüyü görelim: yalnızca sağ üst eleman değişiyor ve $-n$'ye eşit:$$A^n = \begin{bmatrix}1&-n\\0&1\end{bmatrix}.$$Tümevarımla kontrol: $A^{n+1} = A^n \cdot A = \begin{bmatrix}1&-n\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&-(n+1)\\0&1\end{bmatrix}$ — örüntü doğrulanır.
Adım 3. $n = 32$ yazalım:$$A^{32} = \begin{bmatrix}1&-32\\0&1\end{bmatrix}.$$
Cevap: $A^{32} = \begin{bmatrix}1&-32\\0&1\end{bmatrix}$.
Soru. $f(x) = x^2 - 3x + 2$ ve $A = \begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ olsun. $f(A)$'yı bulun.
Adım 1. Polinomun matris biçimini yazalım (sabit terim $2I$ olur):$$f(A) = A^2 - 3A + 2I.$$
Adım 2. $A^2$'yi hesaplayalım:$$A^2 = \begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\cdot2+1\cdot0 & 2\cdot1+1\cdot1\\ 0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4&3\\0&1\end{bmatrix}.$$
Adım 3. $3A$ ve $2I$'yı hesaplayalım:$$3A = \begin{bmatrix}6&3\\0&3\end{bmatrix}, \qquad 2I = \begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}.$$
Adım 4. Eleman eleman birleştirelim:$$f(A) = \begin{bmatrix}4-6+2 & 3-3+0\\ 0-0+0 & 1-3+2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix} = O.$$
Cevap: $f(A) = O$ (sıfır matrisi). Bu bir rastlantı değildir: $f(x) = (x-1)(x-2)$ ve üçgensel $A$ matrisinin köşegen elemanları tam olarak $2$ ile $1$'dir; bu yüzden $(A-I)(A-2I) = O$ olur.
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.