LogaritmaYÖS'te Logaritma Neden ÖnemlidirLogaritma şu soruya cevap verir: verilen bir sayıyı elde etmek için tabanı hangi kuvvete yükseltmeliyiz? Logaritma, üs almanın ters işlemidir. YÖS sınavında (MAT-2) logaritma soruları tanımı, cebirsel özellikleri, taban değiştirmeyi, üstel ve logaritmik denklemleri ve onluk logaritmayı (karakteristik ve mantis) ölçer. Hemen her soru kısa bir standart dönüşüm zincirine indirgenir; bu yüzden temel özdeşlikleri çok iyi bilmek ve tanım kümesini her zaman kontrol etmek gerekir: logaritmanın argümanı pozitif, tabanı ise pozitif ve $1$'den farklı olmalıdır.Logaritmanın Tanımı$a>0$, $a\ne 1$ ve $b>0$ için $b$ sayısının $a$ tabanına göre logaritması, $a^c=b$ eşitliğini sağlayan $c$ üssüdür:
$$\log_a b = c \iff a^c = b.$$
Doğrudan sonuçlar: $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$, $\log_a a^k = k$ ve temel özdeşlik $a^{\log_a b} = b$.
Tanımın tipik kullanımları:
1) $\log_4 2 = \frac{1}{2}$, çünkü $4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$.
2) $\log_6(3x+1) = 0 \Rightarrow 3x+1 = 6^0 = 1 \Rightarrow x = 0$.
3) $\log(x+22) = 2$ (taban $10$) $\Rightarrow x+22 = 10^2 = 100 \Rightarrow x = 78$.
Denklem $\log_a(\ldots) = c$ biçimindeyse hemen şöyle yazın: argüman $a^c$ değerine eşittir.Tanım Kümesi: Logaritma Ne Zaman Tanımlıdır$\log_a f(x)$ ifadesi ancak üç koşulun aynı anda sağlanmasıyla tanımlıdır:
$$f(x) > 0, \qquad a > 0, \qquad a \ne 1.$$
Taban da $x$'e bağlıysa, örneğin $\log_{g(x)} f(x)$ için aynı anda $f(x)>0$, $g(x)>0$ ve $g(x)\ne 1$ olmalıdır.
YÖS'te bu iki açıdan önemlidir: (1) logaritmik denklemi çözmeden önce tanım kümesini yazın; (2) çözdükten sonra her kökü yerine koyun; argümanı pozitif yapmayan veya tabanı $1$'e eşitleyen değerleri eleyin. Örneğin $\log_3(\log(8x)) - \log_3(\log(10x-1)) = 0$ denkleminde $8x>0$ ve $10x-1>0$ gerektiği gibi, iç logaritmalar $\log_3$'ün argümanı olduğundan ayrıca $\log(8x)>0$ ve $\log(10x-1)>0$, yani $8x>1$ ve $10x-1>1$ olmalıdır. Bu kontrolü atlamak en sık yapılan hatadır.Temel Özellikler: Çarpım, Bölüm, Kuvvet$a>0$, $a\ne1$ ve pozitif $x$, $y$ için:
$$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \qquad \log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y,$$
$$\log_a x^k = k\log_a x, \qquad \log_{a^m} x = \frac{1}{m}\log_a x.$$
Son iki kuralın birleşimi YÖS için en kullanışlı formülü verir: argümanın üssü paya, tabanın üssü paydaya gider:
$$\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m}\log_a b.$$
Örnekler: $\log_{25} 9 = \log_{5^2} 3^2 = \frac{2}{2}\log_5 3 = \log_5 3$; $\quad \log_5 \sqrt{5} = \log_5 5^{1/2} = \frac{1}{2}$; $\quad \log_{\sqrt7} 7 = \log_{7^{1/2}} 7 = 2$. Buradan $\frac{\log_5\sqrt5}{\log_{\sqrt7}7} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$.Taban Değiştirme ve Zincir ÇarpımlarıTaban değiştirme formülü (herhangi bir $c>0$, $c\ne1$ için):
$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}, \qquad \log_a b = \frac{1}{\log_b a}.$$
Bundan, uzun çarpımları tek logaritmaya indiren zincir kuralı çıkar:
$$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c.$$
Örnek: $\log_2 5 \cdot \log_5 7 \cdot \log_7 8 = \log_2 8 = 3$; aradaki tabanlar birbirini götürür.
Taban ve argümanlarda kuvvet varsa önce $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m}\log_a b$ ile üsleri dışarı alın, sonra zinciri kapatın. $\log_{25}9\cdot\log_{27}16\cdot\log_4 5$ türü çarpımlar tam olarak bu yöntemle çözülür (aşağıdaki çözümlü örneğe bakın). Evrensel taktik: her şeyi $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$ ile doğal logaritmaya çevirip kesirleri sadeleştirmek.Doğal ve Onluk Logaritma; Karakteristik ve Mantisİki özel tabanın kendi gösterimi vardır: doğal logaritma $\ln x = \log_e x$ (taban $e \approx 2.718$) ve onluk logaritma $\log x = \log_{10} x$. Yararlı değerler: $\ln e = 1$, $\log 10 = 1$, $\log 100 = 2$, $\log 0.01 = -2$.
Her onluk logaritma
$$\log x = n + m$$
biçiminde yazılabilir; burada tam sayı $n$ karakteristik, $m \in [0,1)$ ise mantistir. $\log x = 3.162453$ ise karakteristik $3$, mantis $0.162453$'tür; $x$ sayısının virgülden önce $3+1 = 4$ basamağı vardır.
Negatif değerlerde temel püf noktası: $\log\frac{1}{x} = -\log x$. $\log x = 3.162453$ için $\log\frac{1}{x} = -3.162453 = -4 + 0.837547$ olur: karakteristik $-4$, mantis $0.837547$ (mantis $[0,1)$ aralığında kalmalıdır, bu yüzden tam kısımdan bir birim ödünç alınır). Benzer şekilde $-\log(x^2) = 2.44$ ise $2\log x = -2.44$, yani $\log x = -1.22 = -2 + 0.78$.Üstel DenklemlerYÖS'te üç standart durum karşımıza çıkar.
1) İki taraf da aynı tabana indirgenir: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x)$.
2) Denklem $a^x$ cinsinden doğrusal veya ikinci derecedendir: $t = a^x$, $t>0$ dönüşümü yapılır. Kaydırma kuralını unutmayın: $a^{x\pm k} = a^x \cdot a^{\pm k}$.
Örnek: $18\cdot2^x + 5\cdot2^{x-1} - 164 = 0$. $2^{x-1} = \frac{2^x}{2}$ olduğundan $t = 2^x$ diyelim: $18t + \frac{5t}{2} = 164 \Rightarrow \frac{41t}{2} = 164 \Rightarrow t = 8 = 2^3$, dolayısıyla $x = 3$.
3) Tabanlar eşitlenemiyorsa iki tarafın logaritması alınır: $e^{x-1} = 3 \Rightarrow x - 1 = \ln 3 \Rightarrow x = 1 + \ln 3$. Genel olarak $a^{f(x)} = b \Rightarrow f(x) = \log_a b$. $t = a^x$ dönüşümünden sonra $t \le 0$ olan kökler mutlaka elenir; üstel fonksiyon daima pozitiftir.Logaritmik Denklemler ve Kök KontrolüStandart yöntemler:
1) $\log_a f(x) = c \Rightarrow f(x) = a^c$ (tanımdan).
2) $\log_a f(x) = \log_a g(x) \Rightarrow f(x) = g(x)$ — bu yalnızca tanım kümesi içinde geçerlidir; sonrasında $f(x)>0$ ve $g(x)>0$ kontrol edilir.
3) Denklem $\log_a x$ cinsinden polinom ise $t = \log_a x$ dönüşümü yapılır.
İç içe logaritma örneği: $\log_3(\log(8x)) - \log_3(\log(10x-1)) = 0$. Bir terimi sağa atalım: $\log_3(\log(8x)) = \log_3(\log(10x-1))$, buradan $\log(8x) = \log(10x-1)$, yani $8x = 10x - 1$ ve $x = \frac{1}{2}$. Tanım kümesi kontrolü: $8x = 4 > 1$ olduğundan $\log(8x) = \log 4 > 0$; $10x-1 = 4 > 1$ olduğundan $\log(10x-1) > 0$ — bütün logaritmalar tanımlıdır, kök geçerlidir.
Kural: önce çözün, sonra her adayı özgün denklemdeki tüm logaritmalarda doğrulayın; yabancı kökler genellikle argümanlar çarpıldığında veya kare alındığında ortaya çıkar.İki Güçlü Yöntem: $a^{\ln b} = b^{\ln a}$ ve İki Tarafın Logaritmasını AlmakSimetri yöntemi. Pozitif $a$, $b$ için:
$$a^{\ln b} = b^{\ln a},$$
çünkü $\ln(a^{\ln b}) = \ln b \cdot \ln a = \ln a \cdot \ln b = \ln(b^{\ln a})$. Aynısı her taban için geçerlidir: $a^{\log_c b} = b^{\log_c a}$.
Uygulama: $3^{\ln x} + 2x^{\ln 3} - 9 = 0$. $x^{\ln 3} = 3^{\ln x}$ olduğundan $t = 3^{\ln x} > 0$ diyelim: $t + 2t - 9 = 0 \Rightarrow t = 3$. Böylece $3^{\ln x} = 3^1 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e$.
Logaritma almak. Bilinmeyen hem tabanda hem üste ise, örneğin $x^{\log_2 x} = 32x^4$, iki tarafın $\log_2$ (veya $\ln$) logaritması alınır; denklem $\log_2 x$ cinsinden ikinci dereceden olur. $t = \log_2 x$ dönüşümünden sonra Vieta formülleri kısayol sağlar: $t_1 + t_2 = s$ ise $x$ cinsinden köklerin çarpımı $x_1 x_2 = 2^{t_1}\cdot 2^{t_2} = 2^{s}$ olur.Çarpımların Logaritması ve Teleskopik ToplamlarLogaritmaların toplamı bir çarpımın logaritmasına dönüşür ve tersi de geçerlidir. İki YÖS kalıbı:
1) Kuvvetlerin çarpımı. $\log_3(3^1\cdot 3^2\cdot \ldots \cdot 3^n) = \log_3 3^{1+2+\ldots+n} = \frac{n(n+1)}{2}$. Bu $15$'e eşitse $\frac{n(n+1)}{2} = 15 \Rightarrow n(n+1) = 30 \Rightarrow n = 5$.
2) Teleskopik toplam. $1 + \frac{1}{k} = \frac{k+1}{k}$ olduğundan:
$$\sum_{k=1}^{n}\log_2\left(1+\frac{1}{k}\right) = \log_2\left(\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\ldots\cdot\frac{n+1}{n}\right) = \log_2(n+1),$$
çünkü ilk payda ile son pay dışında her şey sadeleşir. Örneğin $k = 31$'e kadar olan toplam $\log_2 32 = 5$ eder.
Strateji: aynı tabanlı logaritmaların toplamını görünce hepsini tek bir çarpım logaritmasında birleştirin ve sadeleşme arayın.Çözümlü Örnek 1: $\log_{25}9\cdot\log_{27}16\cdot\log_4 5$$\log_{25}9\cdot\log_{27}16\cdot\log_4 5$ değerini hesaplayalım.
Adım 1. $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m}\log_a b$ formülüyle her çarpandaki üsleri dışarı alalım:
$$\log_{25}9 = \log_{5^2}3^2 = \log_5 3, \qquad \log_{27}16 = \log_{3^3}2^4 = \frac{4}{3}\log_3 2, \qquad \log_4 5 = \log_{2^2}5 = \frac{1}{2}\log_2 5.$$
Adım 2. Sabitleri toplayıp zinciri kapatalım:
$$\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\log_5 3\cdot\log_3 2\cdot\log_2 5 = \frac{2}{3}\cdot\log_5 5 = \frac{2}{3}.$$
Burada $\log_5 3\cdot\log_3 2 = \log_5 2$ ve ardından $\log_5 2\cdot\log_2 5 = 1$ olur.
Cevap: $\frac{2}{3}$.Çözümlü Örnek 2: $18\cdot2^x+5\cdot2^{x-1}-164=0$$18\cdot2^x+5\cdot2^{x-1}-164=0$ denklemini çözelim.
Adım 1. Bütün kuvvetleri $2^x$ cinsinden yazalım: $2^{x-1} = \frac{2^x}{2}$.
Adım 2. $t = 2^x$ dönüşümü ($t > 0$):
$$18t + \frac{5t}{2} - 164 = 0 \Rightarrow \frac{36t + 5t}{2} = 164 \Rightarrow 41t = 328 \Rightarrow t = 8.$$
Adım 3. $x$'e dönelim: $2^x = 8 = 2^3$, dolayısıyla $x = 3$.
Adım 4. Sağlama: $18\cdot 8 + 5\cdot 4 - 164 = 144 + 20 - 164 = 0$. Doğru.
Cevap: $x = 3$. Aynı kalıp $e$ tabanıyla: $e^{x-1} = 3 \Rightarrow x - 1 = \ln 3 \Rightarrow x = 1 + \ln 3$.Çözümlü Örnek 3: $x^{\log_2 x}=32x^4$, Köklerin Çarpımı$x^{\log_2 x}=32x^4$ denkleminin köklerinin çarpımını bulalım (tanım kümesi: $x>0$).
Adım 1. İki tarafın $2$ tabanında logaritmasını alalım:
$$\log_2 x \cdot \log_2 x = \log_2 32 + 4\log_2 x \Rightarrow (\log_2 x)^2 = 5 + 4\log_2 x.$$
Adım 2. $t = \log_2 x$ dönüşümü:
$$t^2 - 4t - 5 = 0 \Rightarrow (t-5)(t+1) = 0 \Rightarrow t_1 = 5,\ t_2 = -1.$$
Adım 3. $x$'e dönelim: $x_1 = 2^5 = 32$, $x_2 = 2^{-1} = \frac{1}{2}$; ikisi de pozitiftir, ikisi de geçerlidir.
Adım 4. Köklerin çarpımı: $x_1 x_2 = 2^{5}\cdot2^{-1} = 2^{4} = 16$. Kısayol: Vieta'ya göre $t_1 + t_2 = 4$, dolayısıyla $x_1x_2 = 2^{t_1+t_2} = 2^4 = 16$.
Cevap: $16$.Çözümlü Örnek 4: $\log(1/x)$ İçin Karakteristik ve Mantis$\log x = 3.162453$ verildiğine göre $\log\frac{1}{x}$ için karakteristik ve mantisi bulalım.
Adım 1. Kuvvet özelliğinden: $\log\frac{1}{x} = -\log x = -3.162453$.
Adım 2. Mantis $[0,1)$ aralığında olmalıdır; bu yüzden doğrudan $-3$ ve $-0.162453$ alınamaz. Tam kısımdan bir birim ödünç alalım:
$$-3.162453 = -4 + (1 - 0.162453) = -4 + 0.837547.$$
Adım 3. Dolayısıyla karakteristik $-4$, mantis $0.837547$'dir.
Aynı fikir ters sorularda da işler: $-\log(x^2) = 2.44$ ise $2\log x = -2.44$, buradan $\log x = -1.22 = -2 + 0.78$: karakteristik $-2$, mantis $0.78$ ve $x = 10^{-1.22}$.Kursun tüm konuları · Konu sorularıPlatformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.