İkinci dereceden denklem, $$ax^2+bx+c=0,\quad a\neq 0$$ biçimindeki bir denklemdir; burada $a$, $b$, $c$ gerçek sayılardır: $a$ baş katsayı, $b$ birinci derece katsayısı, $c$ sabit terimdir. Denklemi sağlayan $x$ değerlerine denklemin kökleri, tüm köklerin kümesine çözüm kümesi denir. Çözmeden önce denklemi daima standart biçime getirin. Özel durumlar: $b=0$ ise $ax^2+c=0\Rightarrow x^2=-\frac{c}{a}$ (örneğin $x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$, çözüm kümesi $\{-2,\,2\}$); $c=0$ ise $x(ax+b)=0\Rightarrow x=0$ veya $x=-\frac{b}{a}$.
$ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$) denklemi için diskriminant $$\Delta=b^2-4ac$$ ile tanımlanır. Kökler şu formülle bulunur: $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.$$ Gerçek kök sayısı: $\Delta>0$ ise iki farklı gerçek kök vardır; $\Delta=0$ ise bir çakışık (çift kat) kök $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$ vardır; $\Delta<0$ ise gerçek kök yoktur ($\mathbb{R}$ üzerinde çözüm kümesi $\varnothing$). Örnek: $x^2+x-1=0$ için $\Delta=1^2-4\cdot 1\cdot(-1)=5>0$, dolayısıyla $x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$ ve çözüm kümesi $\left\{\frac{-1-\sqrt{5}}{2},\,\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right\}$ olur.
$x_1$ ve $x_2$, $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$) denkleminin kökleri ise Vieta teoremine göre: $$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.$$ Bu, kökleri açıkça bulmadan onlarla işlem yapmayı sağlar — YÖS sorularındaki temel araçtır. İndirgenmiş denklem $x^2+px+q=0$ için: $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$. Not: Vieta formülleri kökler var olduğunda geçerlidir (gerçek kökler için $\Delta\ge 0$ gerekir). Köklerin işaretleri: $\frac{c}{a}>0$ ise kökler aynı işaretli, $\frac{c}{a}<0$ ise zıt işaretlidir.
$S=x_1+x_2$ ve $P=x_1x_2$ olsun (Vieta'dan). En sık kullanılan ifadeler: $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=S^2-2P,$$ $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{S}{P},$$ $$(x_1-x_2)^2=S^2-4P,\qquad x_1^3+x_2^3=S^3-3PS.$$ Simetrik olmayan kombinasyonlar da $S$ ve $P$ cinsine indirgenir: örneğin $$x_1+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1x_2+1}{x_2}.$$ Böyle bir değer belirli bir kök için verilmişse $x_2=\frac{P}{x_1}$ kullanın veya kökü denklemde yerine koyun. Katsayılarda köklerin kendileri varsa (örneğin $x^2+(3x_2-5)x+2x_1=0$), Vieta sistemini yazın: $x_1+x_2=-(3x_2-5)$ ve $x_1x_2=2x_1$; ardından sistemi $x_1$ ve $x_2$ için çözün.
Kökleri $x_1$ ve $x_2$ olan (baş katsayısı $1$) ikinci dereceden denklem şudur: $$x^2-(x_1+x_2)\,x+x_1x_2=0,\qquad\text{yani}\qquad x^2-Sx+P=0.$$ Eşdeğer olarak, herhangi bir $a\neq 0$ için $a(x-x_1)(x-x_2)=0$. Örnek: kökleri $2$ ve $-5$ olan denklem: $S=-3$, $P=-10$, dolayısıyla $x^2+3x-10=0$. Bu formül ters yönde de kullanılır: kökleri örneğin $x_1+1$ ve $x_2+1$ olan yeni bir denklem kurmak için yeni toplam $S'=S+2$ ve yeni çarpım $P'=P+S+1$ hesaplanır ve $x^2-S'x+P'=0$ yazılır.
Birçok YÖS sorusunda köklerin *türü* verilir ve parametre sorulur. Koşulu $\Delta$ için bir eşitsizliğe ya da denkleme çevirin: iki farklı gerçek kök $\Leftrightarrow\Delta>0$; çakışık (çift kat) kökler $\Leftrightarrow\Delta=0$; gerçek kök yok $\Leftrightarrow\Delta<0$. Örnek (gerçek kök yok): $x^2-5mx+25=0$ denkleminin gerçek kökü olmaması için $\Delta=25m^2-100<0\Rightarrow m^2<4\Rightarrow -2<m<2$; $m$ tam sayı ise olası değerler $-1,\,0,\,1$ olup toplamları $0$ dır. Örnek (çakışık kökler): $x_1=x_2=4$ ise Vieta'dan $S=8$ ve $P=16$, yani denklem $x^2-8x+16=0$ dır; eşdeğer olarak $\Delta=0$ ile birlikte $-\frac{b}{2a}=4$ istenir. Parametre baş katsayıda yer alıyorsa $a\neq 0$ koşulunu daima kontrol edin.
Kökler arasında bir bağıntı verilmişse (örneğin $x_1=3x_2$, $x_1-x_2=d$, $\frac{x_1}{x_2}=k$), bunu Vieta formülleriyle bir sistem hâlinde birleştirin. $x^2+bx+c=0$ denkleminde ($m$ parametresi $b$ veya $c$ içinde) $x_1=3x_2$ için şema: $x_1+x_2=4x_2=-b$ eşitliğinden $x_2$ bulunur; sonra çarpım $x_1x_2=3x_2^2=c$ parametre $m$ için bir denklem verir. Örnek: $x^2-8x+m=0$ ve $x_1=3x_2$ ise: $4x_2=8\Rightarrow x_2=2$, $x_1=6$, dolayısıyla $m=x_1x_2=12$. Bir kökün belirli değeri biliniyorsa, onu doğrudan denklemde yerine koyun — kök her zaman denklemini sağlar — ve ikinci kökü Vieta'dan bulun.
'Gizli ikinci dereceden' denklemler $t=g(x)$ değişken değiştirmesiyle çözülür. Çift kare (bikuadratik): $ax^4+bx^2+c=0\Rightarrow t=x^2$ ($t\ge 0$ olmalı). Üstel: $4^x-9\cdot 2^x+8=0$ denkleminde $4^x=(2^x)^2$ olduğuna dikkat edin; $t=2^x$ ($t>0$) ile: $t^2-9t+8=0\Rightarrow t=1$ veya $t=8\Rightarrow 2^x=1$ veya $2^x=8\Rightarrow x=0$ veya $x=3$. Aynısı $t=3^x$ ile $9^x-28\cdot 3^x+27=0$ için de geçerlidir. Tekrarlayan blok: $\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\left(x+\frac{1}{x}\right)+1=0$ denkleminde $t=x+\frac{1}{x}$ alın: $(t-1)^2=0\Rightarrow t=1$, sonra $x+\frac{1}{x}=1\Rightarrow x^2-x+1=0$, burada $\Delta=-3<0$ — gerçek kök yok. Algoritma: değişken değiştir, $t$ için ikinci dereceden denklemi çöz, doğal kısıtı bozan $t$ değerlerini at ($t=a^x$ için $t>0$; $t=x^2$ veya $t=\sqrt{x}$ için $t\ge 0$; $t=x+\frac{1}{x}$ için $|t|\ge 2$), sonra $x$ değişkenine dön.
Anahtar özdeşlik: $x^2=|x|^2$. Bu yüzden $x^2-|x|-12=0$ gibi bir denklem, $t=|x|$ ($t\ge 0$) için ikinci dereceden olur: $$t^2-t-12=0\Rightarrow (t-4)(t+3)=0\Rightarrow t=4\ \text{veya}\ t=-3.$$ $t=|x|\ge 0$ olduğundan $t=-3$ atılır; sonra $|x|=4\Rightarrow x=\pm 4$. Çözüm kümesi $\{-4,\,4\}$ ve köklerin çarpımı $-16$ dır. Alternatif yöntem — durum incelemesi: $x\ge 0$ için $|x|$ yerine $x$, $x<0$ için $-x$ yazılır, her durum çözülür ve yalnızca durum koşuluna uyan kökler alınır. Denklemde yalnızca $x^2$ ve $|x|$ varsa $t=|x|$ değiştirmesi daha hızlıdır.
Tip 1 — $\sqrt{x}$ e göre ikinci dereceden: $x+\sqrt{x}-6=0$ denkleminde $t=\sqrt{x}$, $t\ge 0$ alın: $t^2+t-6=0\Rightarrow t=2$ veya $t=-3$; $t=-3$ atılır, dolayısıyla $\sqrt{x}=2\Rightarrow x=4$. Tip 2 — $\sqrt{f(x)}=g(x)$: denklem şu sisteme denktir: $$f(x)=g(x)^2,\qquad g(x)\ge 0$$ (bu durumda $f(x)\ge 0$ otomatik sağlanır). Kare alma denk bir dönüşüm değildir — *yabancı kökler* üretebilir, bu yüzden köklerin kontrolü zorunludur. Örnek: $\sqrt{2x-1}=x-2$. Tanım kümesi: $2x-1\ge 0\Rightarrow x\ge\frac{1}{2}$; ayrıca $x-2\ge 0\Rightarrow x\ge 2$ gerekir. Kare alalım: $2x-1=x^2-4x+4\Rightarrow x^2-6x+5=0\Rightarrow x=1$ veya $x=5$. Kontrol: $x=1$ için sağ taraf $1-2=-1<0$ — yabancı kök, atılır; $x=5$ için $\sqrt{9}=3=5-2$ — geçerli. Cevap: $x=5$.
Soru. $x_1$ ve $x_2$, $x^2+x-1=0$ denkleminin kökleridir. $x_1^2+x_2^2$ ve $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ değerlerini bulun. Çözüm. Adım 1. Gerçek köklerin varlığını kontrol edin: $\Delta=1+4=5>0$. Adım 2. Vieta'dan: $S=x_1+x_2=-1$, $P=x_1x_2=-1$. Adım 3. $$x_1^2+x_2^2=S^2-2P=(-1)^2-2\cdot(-1)=1+2=3.$$ Adım 4. $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{S}{P}=\frac{-1}{-1}=1.$$ Cevap: $x_1^2+x_2^2=3$, $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=1$. Dikkat: irrasyonel köklerin kendilerini hiç hesaplamadık.
Soru. $2x^2-x+p^2+3p=0$ denkleminin kökleri $x_1\cdot x_2=5$ koşulunu sağlar ve $p\in\mathbb{R}^+$ dir. $p$ değerini bulun. Çözüm. Adım 1. $ax^2+bx+c=0$ için Vieta'dan: $x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{p^2+3p}{2}$. Adım 2. $5$ e eşitleyin: $$\frac{p^2+3p}{2}=5\Rightarrow p^2+3p-10=0.$$ Adım 3. $p$ için çözün: $\Delta=9+40=49$, dolayısıyla $p=\frac{-3\pm 7}{2}$, yani $p=2$ veya $p=-5$. Adım 4. $p\in\mathbb{R}^+$ koşulu yalnızca $p=2$ değerini bırakır. Cevap: $p=2$.
Soru. $9^x-28\cdot 3^x+27=0$ denklemini çözün ve köklerin toplamını bulun. Çözüm. Adım 1. $9^x=(3^x)^2$ olduğundan $t=3^x$, $t>0$ değiştirmesi yapın: $$t^2-28t+27=0.$$ Adım 2. Vieta'dan (veya çarpanlara ayırarak): $(t-1)(t-27)=0\Rightarrow t=1$ veya $t=27$; ikisi de pozitiftir, ikisi de kabul edilir. Adım 3. $x$ değişkenine dönün: $3^x=1\Rightarrow x=0$; $3^x=27=3^3\Rightarrow x=3$. Adım 4. Çözüm kümesi: $\{0,\,3\}$; köklerin toplamı $3$ tür. Cevap: $x\in\{0,\,3\}$, toplam $=3$. $4^x-9\cdot 2^x+8=0$ denklemi de $t=2^x$ ile aynı şekilde çözülür: $t=1$ veya $t=8$, yani $x=0$ veya $x=3$.
Soru. $x+\sqrt{x}-6=0$ denklemini çözün. Çözüm. Adım 1. Tanım kümesi: $x\ge 0$. Adım 2. $t=\sqrt{x}$ değiştirmesi yapın; $x=t^2$ ve $t\ge 0$: $$t^2+t-6=0.$$ Adım 3. Çarpanlara ayırın: $(t+3)(t-2)=0\Rightarrow t=-3$ veya $t=2$. $t=\sqrt{x}\ge 0$ olduğundan $t=-3$ atılır. Adım 4. $x$ değişkenine dönün: $\sqrt{x}=2\Rightarrow x=4$. Adım 5. Orijinal denklemde kontrol: $4+\sqrt{4}-6=4+2-6=0$ — doğru. Cevap: $x=4$, çözüm kümesi $\{4\}$. Tipik tuzak, $x=9$ değerini ($t=-3$, $t^2=9$ dan) kök sanmaktır — kontrol edin: $9+3-6=6\neq 0$, yani yabancı köktür. İşte bu yüzden $t$ üzerindeki kısıt ve son kontrol zorunludur.
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.