Bir aralıkta her $x$ için $F'(x) = f(x)$ oluyorsa, $F(x)$ fonksiyonuna $f(x)$ fonksiyonunun ters türevi (ilkel fonksiyonu) denir. $F(x)$ bir ters türev ise, tüm ters türevler $F(x) + C$ biçimindedir; burada $C$ keyfi bir sabittir.
Tüm ters türevlerin kümesine belirsiz integral denir:$$\int f(x)\,dx = F(x) + C, \quad F'(x) = f(x).$$
Temel kontrol kuralı: integral alma ve türev alma birbirinin tersidir,$$\left(\int f(x)\,dx\right)' = f(x), \qquad \int F'(x)\,dx = F(x) + C.$$YÖS sınavında cevabı her zaman türev alarak kontrol edebilirsiniz.
Bu tabloyu ezberleyin — YÖS'teki hemen her integral bu tabloya indirgenir:$$\int dx = x + C, \qquad \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \ (n \neq -1),$$$$\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C, \qquad \int e^x\,dx = e^x + C, \qquad \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C,$$$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C,$$$$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C, \qquad \int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C,$$$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C, \qquad \int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C.$$
Hızlı örnekler: $\int 3x^8\,dx = 3\cdot\frac{x^9}{9} + C = \frac{x^9}{3} + C$; $\int \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{2} + C$ (burada $a = 2$).
İntegral doğrusaldır: sabitler integral dışına alınır ve toplamın integrali integrallerin toplamına eşittir,$$\int \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)\,dx = \alpha \int f(x)\,dx + \beta \int g(x)\,dx.$$
Bu sayede her polinom terim terim integre edilebilir:$$\int (2x + a)\,dx = x^2 + ax + C.$$
Dikkat: integraller için çarpım veya bölüm kuralı yoktur — $\int f g\,dx \neq \int f\,dx \cdot \int g\,dx$. Çarpımlar için önce değişken değiştirme, kısmi integrasyon veya cebirsel/trigonometrik dönüşüm gerekir.
İntegrand $f(g(x))\,g'(x)$ biçimindeyse $u = g(x)$, $du = g'(x)\,dx$ yerine koyun:$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.$$
Nasıl fark edilir: çarpanlardan biri bir ifadenin fonksiyonu, diğeri ise (bir sabite kadar) o ifadenin türevidir.
Tipik YÖS kalıpları:- $\int \sin^4 x \cos x\,dx$: burada $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$, integral $\int u^4\,du = \frac{u^5}{5} + C = \frac{\sin^5 x}{5} + C$ olur.- $\int e^{\tan x} \sec^2 x\,dx$: burada $u = \tan x$, $du = \sec^2 x\,dx$, sonuç $\int e^u\,du = e^{\tan x} + C$.- Doğrusal değişken değiştirme: $\int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax + b) + C$, örneğin $\int e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{2} + C$.
$$\int u\,dv = uv - \int v\,du.$$
$u$ seçimi için LIATE önceliğini kullanın (Logaritmik, Ters trigonometrik, Cebirsel, Trigonometrik, Üstel): listede önce gelen fonksiyon $u$ olur; kalan kısım $dv$ olur.
Tipik durumlar:- $\int x e^{2x}\,dx$, $\int x^2 \sin x\,dx$ — $u$ olarak polinomu alın; $x^2$ için formül iki kez uygulanır.- $\int \ln^2 x\,dx$ — $u = \ln^2 x$, $dv = dx$ alın; sonuç $x\ln^2 x - 2(x\ln x - x) + C$, buradan $\int_1^e \ln^2 x\,dx = e - 2$.- Hızlı yöntem: $\int e^x\big(f(x) + f'(x)\big)dx = e^x f(x) + C$. Örnek: $\int e^x(x^2 + x + 1)\,dx$: $f + f' = x^2 + x + 1$ koşulunu sağlayan $f(x) = x^2 - x + 2$ bulunur, cevap $e^x(x^2 - x + 2) + C$.
$\int \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx$ için iki standart yöntem:
1. $\deg P \geq \deg Q$ ise — önce bölme yapın.$$\int \frac{x^2}{x^2 + 1}\,dx = \int \left(1 - \frac{1}{x^2 + 1}\right)dx = x - \arctan x + C.$$
2. Payda çarpanlara ayrılıyorsa — basit kesirlere ayırın.$$\int \frac{5}{x^2 + x - 6}\,dx = \int \frac{5}{(x + 3)(x - 2)}\,dx = \int \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 3}\right)dx = \ln\left|\frac{x - 2}{x + 3}\right| + C.$$Katsayılar $\frac{5}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+3}$ eşitliğinden bulunur: paydayla çarpıp $x = 2$ ve $x = -3$ koyunca $A = 1$, $B = -1$ çıkar.
Logaritma kalıbını da unutmayın: $\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C$.
Çarpımdan toplama dönüşüm ($\int \sin ax \cos bx\,dx$ vb. için):$$\cos A \cos B = \tfrac{1}{2}\big[\cos(A - B) + \cos(A + B)\big], \quad \sin A \sin B = \tfrac{1}{2}\big[\cos(A - B) - \cos(A + B)\big],$$$$\sin A \cos B = \tfrac{1}{2}\big[\sin(A - B) + \sin(A + B)\big].$$Örnek: $\int \cos 5x \cos x\,dx = \tfrac{1}{2}\int (\cos 4x + \cos 6x)\,dx = \frac{\sin 4x}{8} + \frac{\sin 6x}{12} + C$.
$\tan x$ kuvvetleri: $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ özdeşliğini kullanın.$$\int (\tan^4 x + \tan^2 x)\,dx = \int \tan^2 x\,(\tan^2 x + 1)\,dx = \int \tan^2 x \sec^2 x\,dx = \frac{\tan^3 x}{3} + C$$($u = \tan x$ değişken değiştirmesi). Benzer şekilde $\int \tan^2 x\,dx = \int (\sec^2 x - 1)\,dx = \tan x - x + C$.
$\sin, \cos$ çift kuvvetleri: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$, $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ ile derece düşürün.
Belirli integral $\int_a^b f(x)\,dx$ bir sayıdır ($f \geq 0$ ise $a$'dan $b$'ye grafiğin altındaki alana eşittir). Newton-Leibniz formülü ile hesaplanır: $F' = f$ ise$$\int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a).$$$C$ sabiti sadeleşir, bu yüzden belirli integralde yazılmaz.
Örnekler:$$\int_2^4 \frac{dx}{x} = \ln x \Big|_2^4 = \ln 4 - \ln 2 = \ln 2;$$$$\int_0^3 (x - 3)^2\,dx = \frac{(x - 3)^3}{3}\Big|_0^3 = 0 - \frac{(-3)^3}{3} = 9.$$
Temel özellikler:$$\int_a^a f\,dx = 0, \qquad \int_a^b f\,dx = -\int_b^a f\,dx, \qquad \int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx.$$
$[-a, a]$ üzerinde simetri: $f$ tek fonksiyon ise $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$; $f$ çift fonksiyon ise $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$. Örnek: $\int_{-1}^{1} x^3 \cos x\,dx = 0$ (tek fonksiyon) — hesap yapmaya gerek yok.
Parçalı fonksiyonlar: aralığı, formülün değiştiği noktalarda bölün. $x < 0$ için $f(x) = x + 1$ ve $x \geq 0$ için $f(x) = x^2 + 1$ ise$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \int_{-1}^{0} (x + 1)\,dx + \int_0^1 (x^2 + 1)\,dx = \frac{1}{2} + \frac{4}{3} = \frac{11}{6}.$$Mutlak değer $|x|$ de aynı yolla çözülür: önce mutlak değeri parçalı biçimde yazın.
$f$ sürekli ise$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x), \qquad \frac{d}{dx}\int_x^a f(t)\,dt = -f(x).$$
Sınırlarda fonksiyon olduğunda genel kural (zincir kuralı):$$\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f\big(v(x)\big)\,v'(x) - f\big(u(x)\big)\,u'(x).$$
Önemli: integralin kendisini hesaplamaya gerek yoktur — sınırı $f$'ye yerleştirip türeviyle çarpmanız yeterlidir. YÖS'teki $f(x) = \int_x^3 (2t^2 - 3)\,dt$ verilip $f'(1)$ sorulan sorular tam olarak bunu test eder.
Soru. $\int_{-2}^{0} (2x + a)\,dx = -2$ ise $a$ kaçtır?
Çözüm.Adım 1. Ters türevi bulun: $\int (2x + a)\,dx = x^2 + ax$.Adım 2. Newton-Leibniz formülünü uygulayın:$$\int_{-2}^{0} (2x + a)\,dx = \big(x^2 + ax\big)\Big|_{-2}^{0} = 0 - \big((-2)^2 + a(-2)\big) = -(4 - 2a) = 2a - 4.$$Adım 3. Denklemi çözün: $2a - 4 = -2$, buradan $2a = 2$ ve $a = 1$.
Cevap: $a = 1$.
Soru. $\int \sin^4 x \cos x\,dx$ integralini hesaplayın.
Çözüm.Adım 1. $\cos x$'in, $\sin x$'in türevi olduğuna dikkat edin — değişken değiştirme için ideal durum.Adım 2. $u = \sin x$ olsun; o zaman $du = \cos x\,dx$.Adım 3. İntegral şu hale gelir:$$\int u^4\,du = \frac{u^5}{5} + C.$$Adım 4. $x$'e geri dönün: cevap $\frac{\sin^5 x}{5} + C$.
Kontrol: $\left(\frac{\sin^5 x}{5}\right)' = \sin^4 x \cos x$. Doğru.
Aynı fikirle, $u = \tan x$, $du = \sec^2 x\,dx$ alınarak $\int e^{\tan x}\sec^2 x\,dx = e^{\tan x} + C$ bulunur.
Soru. $\int x e^{2x}\,dx$ integralini hesaplayın.
Çözüm.Adım 1. LIATE'ye göre cebirsel çarpan $u$ olur: $u = x$, $dv = e^{2x}\,dx$ alın.Adım 2. O zaman $du = dx$ ve $v = \int e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{2}$.Adım 3. $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ formülünü uygulayın:$$\int x e^{2x}\,dx = \frac{x e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}\,dx = \frac{x e^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} + C = \frac{e^{2x}}{4}(2x - 1) + C.$$
Cevap: $\frac{e^{2x}}{4}(2x - 1) + C$.
$\int x^2 \sin x\,dx$ için aynı şema iki kez uygulanır: önce $u = x^2$, sonra $u = x$; sonuç $-x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$.
Soru. $f(x) = \int_x^3 (2t^2 - 3)\,dt$ olsun. $f'(1)$ kaçtır?
Çözüm.Adım 1. $x$ değişkeni alt sınırda; bu yüzden sınırları yer değiştirip işareti değiştirin:$$f(x) = -\int_3^x (2t^2 - 3)\,dt.$$Adım 2. Temel teoreme göre $\frac{d}{dx}\int_3^x (2t^2 - 3)\,dt = 2x^2 - 3$, dolayısıyla$$f'(x) = -(2x^2 - 3) = 3 - 2x^2.$$Adım 3. $x = 1$ koyun: $f'(1) = 3 - 2 = 1$.
Cevap: $f'(1) = 1$. Dikkat: integralin kendisini hiç hesaplamadık — sadece sınırı integranda yerleştirdik.
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.