Binom, iki terimin toplamı olan cebirsel bir ifadedir, örneğin $a+b$. Binom açılımı problemi, $n \in \mathbb{N}$ olmak üzere $(a+b)^n$ kuvvetini $a$ ve $b$ cinsinden bir polinom olarak yazmaktır. Küçük üsler için bu doğrudan çarpma ile yapılır, örneğin $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ve $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$.
Her $n \in \mathbb{N}$ için binom teoremi şunu ifade eder: $$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}.$$ Açılım tam olarak $n+1$ terim içerir; $k$ değeri $0$'dan $n$'ye artarken $a$'nın üssü $n$'den $0$'a azalır, $b$'nin üssü ise $0$'dan $n$'ye artar ve her terimde üslerin toplamı $n$'ye eşittir.
Binom katsayıları şöyle tanımlanır: $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}, \quad 0 \le k \le n.$$ Bunlar Pascal kuralına uyar: $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$; bu kural Pascal üçgenini kurmayı sağlar: her eleman üstündeki iki elemanın toplamıdır. $1;\ 1\ 1;\ 1\ 2\ 1;\ 1\ 3\ 3\ 1$ satırları tam olarak $(a+b)^0,(a+b)^1,(a+b)^2,(a+b)^3$ açılımlarının katsayılarını verir.
$(a+b)^n$ açılımında $k$ indisli terim ($k=0$'dan sayılarak) şudur: $$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}.$$ Böylece $(k+1)$-inci terim $k$ seçilerek elde edilir. Bu formül, tüm açılımı yazmadan belirli bir terimi, istenen bir katsayıyı veya sabit (değişkensiz) terimi bulmanın temel aracıdır.
$a=b=1$ konularak tüm katsayıların toplamı bulunur: $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n.$$ $a=1,\ b=-1$ konularak $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0$ elde edilir; dolayısıyla çift ve tek konumlardaki katsayıların toplamları eşittir ve her biri $2^{n-1}$'dir. Katsayılar simetriktir, $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, bu yüzden açılım iki uçtan da aynı okunur.
$(x+2)^6$ açılımında $x^4$ içeren terimi bulalım. $T_{k+1} = \binom{6}{k} x^{6-k} 2^{k}$ kullanılarak $6-k=4$ olması gerekir, dolayısıyla $k=2$. Bu durumda $T_{3} = \binom{6}{2} x^{4} 2^{2} = 15 \cdot 4 \cdot x^4 = 60 x^4$. Yani aranan terim $60 x^4$'tür.
$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{8}$ açılımının sabit terimini bulalım. Genel terim $T_{k+1} = \binom{8}{k} x^{8-k} x^{-k} = \binom{8}{k} x^{8-2k}$'dir. Terim, $8-2k=0$ yani $k=4$ olduğunda sabittir. Dolayısıyla sabit terim $\binom{8}{4} = 70$'tir.
$(2x-3)^5$ polinomunun katsayıları toplamını bulalım. Bir $P(x)$ polinomunun katsayıları toplamı $P(1)$'e eşittir. $x=1$ konularak $(2 \cdot 1 - 3)^5 = (-1)^5 = -1$ elde edilir. Dolayısıyla tüm katsayıların toplamı $-1$'dir.
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.