Sayıları ve özelliklerini anlamak tüm matematiğin temelidir. YÖS sınavında sayılarla ilgili sorular her bölümde karşımıza çıkar, bu yüzden bu konuyu derinlemesine bilmek gerekir.
---
Tanım: Doğal sayılar, nesneleri saymak için kullanılan sayılardır.
$$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, \ldots\}$$
Bazen 0 doğal sayılara dahil edilir: $\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$
Doğal sayıların özellikleri:- Her doğal sayının bir ardılı vardır- En küçük doğal sayı vardır (bir)- En büyük doğal sayı yoktur
Tanım: Tam sayılar; doğal sayıları, sıfırı ve doğal sayıların zıtlarını içerir.
$$\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$$
Alt kümelere ayırma:- Pozitif tam sayılar: $\{1, 2, 3, \ldots\}$- Negatif tam sayılar: $\{\ldots, -3, -2, -1\}$- Sıfır: $\{0\}$
Tanım: Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı şeklinde ifade edilebilen sayılardır.
$$\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} : p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\right\}$$
Örnekler: $\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, \frac{7}{1} = 7, 0.\overline{3} = \frac{1}{3}$
Tanım: İrrasyonel sayılar, rasyonel olmayan gerçek sayılardır. Kesir olarak ifade edilemezler.
Örnekler:- $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ — tam kare olmayan sayıların kökleri- $\pi$ — çemberin çevresinin çapına oranı- $e$ — doğal logaritmanın tabanı- $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — altın oran
Özellik: İrrasyonel sayıların ondalık açılımı sonsuz ve devirsizdir.
Tanım: Gerçek sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir.
$$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})$$
Geometrik yorum: Her gerçek sayı sayı doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelir.
Toplama ve çarpma için:$$a + b = b + a$$$$a \cdot b = b \cdot a$$
Örnek: $5 + 3 = 3 + 5 = 8$ ve $4 \cdot 7 = 7 \cdot 4 = 28$
Önemli: Çıkarma ve bölme değişmeli değildir!$$5 - 3 \neq 3 - 5 \quad \text{ve} \quad 10 \div 2 \neq 2 \div 10$$
Toplama ve çarpma için:$$(a + b) + c = a + (b + c)$$$$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$$
Örnek: $(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9$
$$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$$$$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$$$$(a + b) \cdot (c + d) = ac + ad + bc + bd$$
Örnek: $3 \cdot (5 + 2) = 3 \cdot 5 + 3 \cdot 2 = 15 + 6 = 21$
Bir $a$ sayısı bir $b$ sayısına bölünür ($b | a$ yazılır) eğer bir $k$ tam sayısı için:$$a = b \cdot k$$
Burada $b$'ye $a$'nın böleni, $a$'ya ise $b$'nin katı denir.
#### 2 ile bölünebilmeSon basamağı çift olan (0, 2, 4, 6, 8) sayılar 2 ile bölünür.
Örnek: 1346 sayısı 6 ile bittiği için 2'ye bölünür.
#### 3 ile bölünebilmeRakamları toplamı 3'e bölünen sayılar 3 ile bölünür.
Örnek: 2547 için: $2 + 5 + 4 + 7 = 18$, bu sayı 3'e bölünür. Dolayısıyla 2547 de 3'e bölünür.
#### 4 ile bölünebilmeSon iki basamağından oluşan sayı 4'e bölünen sayılar 4 ile bölünür.
Örnek: 3524 sayısı 4'e bölünür çünkü 24, 4'e bölünür.
#### 5 ile bölünebilmeSon basamağı 0 veya 5 olan sayılar 5 ile bölünür.
Örnek: 1235 ve 1450, 5 ile bölünür.
#### 6 ile bölünebilmeHem 2'ye hem de 3'e bölünen sayılar 6 ile bölünür.
Örnek: 342 sayısı 6 ile bölünür (hem 2'ye hem 3'e bölünür, çünkü $3 + 4 + 2 = 9$).
#### 8 ile bölünebilmeSon üç basamağından oluşan sayı 8'e bölünen sayılar 8 ile bölünür.
Örnek: 15648 sayısı 8 ile bölünür çünkü 648, 8'e bölünür.
#### 9 ile bölünebilmeRakamları toplamı 9'a bölünen sayılar 9 ile bölünür.
Örnek: 7263 için: $7 + 2 + 6 + 3 = 18$, bu sayı 9'a bölünür. Dolayısıyla 7263 de 9'a bölünür.
#### 10 ile bölünebilmeSon basamağı 0 olan sayılar 10 ile bölünür.
Örnek: 1250, 4870 sayıları 10 ile bölünür.
#### 11 ile bölünebilmeTek sıralı basamaklardaki rakamların toplamı ile çift sıralı basamaklardaki rakamların toplamı arasındaki fark 11'e bölünen sayılar 11 ile bölünür.
Örnek: 121 için: $(1 + 1) - 2 = 0$, bu sayı 11'e bölünür. Dolayısıyla 121 de 11'e bölünür.
Asal sayı — yalnızca 1 ve kendisine bölünen doğal sayıdır.
Bileşik sayı — ikiden fazla böleni olan doğal sayıdır.
Asal sayı örnekleri: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...
Bileşik sayı örnekleri: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, ...
Önemli notlar:- 1 ne asal ne de bileşiktir- 2 — tek çift asal sayıdır
Teorem: 1'den büyük her doğal sayı, çarpanların sırası dışında tek biçimde asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir.
$$n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$$
burada $p_1, p_2, \ldots, p_k$ farklı asal sayılar, $a_1, a_2, \ldots, a_k$ ise doğal sayılardır.
Örnek: $$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$$
Bu, belirli bir $n$ sayısına kadar tüm asal sayıları bulmak için antik bir algoritmadır.
Algoritma:1. 2'den $n$'ye kadar tüm doğal sayıları yaz2. 2'den başlayarak, 2'nin tüm katlarını sil (2 hariç)3. Silinmemiş ilk sayıyı bul (bu 3 olacak) ve onun tüm katlarını sil4. Silinmemiş sonraki her sayı için 3. adımı tekrarla, ta ki bu sayı $\sqrt{n}$'yi aşana kadar5. Silinmemiş kalan tüm sayılar asaldır
$n = 30$ için örnek:Asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Tanım: İki sayının EBOB'u, her ikisini de bölen en büyük doğal sayıdır.
Gösterim: $\gcd(a, b)$ veya $(a, b)$
EBOB'u bulmak için ortak çarpanların en küçük kuvvetlerinin çarpımı alınır.
Örnek:- $12 = 2^2 \cdot 3$- $18 = 2 \cdot 3^2$- $\gcd(12, 18) = 2 \cdot 3 = 6$
Algoritma:$$a = b \cdot q + r$$
burada $0 \leq r < b$. Sonra $(b, r)$ çifti için işlem tekrarlanır, kalan sıfır olana kadar.
Örnek: $\gcd(144, 60)$'ı bulun
$$144 = 60 \cdot 2 + 24$$$$60 = 24 \cdot 2 + 12$$$$24 = 12 \cdot 2 + 0$$
Cevap: $\gcd(144, 60) = 12$
Tanım: İki sayının EKOK'u, her ikisine de bölünen en küçük doğal sayıdır.
Gösterim: $\text{lcm}(a, b)$ veya $[a, b]$
EKOK'u bulmak için tüm çarpanların en büyük kuvvetlerinin çarpımı alınır.
Örnek:- $12 = 2^2 \cdot 3$- $18 = 2 \cdot 3^2$- $\text{lcm}(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$
$$\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b$$
Uygulama: $\gcd(12, 18) \cdot \text{lcm}(12, 18) = 6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18$ ✓
Tanım: $n$ doğal sayısının faktöriyeli ($n!$ ile gösterilir), 1'den $n$'ye kadar olan tüm doğal sayıların çarpımıdır.
$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$$
Özel durum: $0! = 1$ (tanım gereği)
Örnekler:- $1! = 1$- $2! = 1 \cdot 2 = 2$- $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$- $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$- $5! = 120$- $6! = 720$- $7! = 5040$
Yinelemeli bağıntı: $n! = n \cdot (n-1)!$
Tanım: $n$ elemanlı bir permütasyon, $n$ elemanın tamamının sıralı bir dizilişidir.
Permütasyon sayısı:$$P_n = n!$$
Örnek: 3 kişi bir sıraya kaç şekilde dizilebilir?$$P_3 = 3! = 6$$
Dizilişler: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)
Tanım: $n$ elemandan $k$ elemanlı yerleştirme, $n$ elemandan $k$ elemanın sıralı seçimidir.
Yerleştirme sayısı:$$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$
Örnek: 1, 2, 3, 4 rakamlarından tekrarsız kaç iki basamaklı sayı oluşturulabilir?$$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$$
Tanım: $n$ elemandan $k$ elemanlı kombinasyon, $n$ elemandan $k$ elemanın sırasız seçimidir.
Kombinasyon sayısı:$$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$
Özellikler:- $C_n^k = C_n^{n-k}$ (simetri)- $C_n^0 = C_n^n = 1$- $C_n^k + C_n^{k+1} = C_n^{k+1}$ (Pascal özelliği)
Örnek: 4 kişiden 2 kişi kaç şekilde seçilebilir?$$C_4^2 = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$$
Bu yöntemde bir denklemden bir değişken diğeri cinsinden ifade edilir ve diğer denkleme yerleştirilir.
Örnek:$$\begin{cases}x + 2y = 7 \\3x - y = 5\end{cases}$$
İlk denklemden: $x = 7 - 2y$
İkinciye yerleştirelim:$$3(7 - 2y) - y = 5$$$$21 - 6y - y = 5$$$$-7y = -16$$$$y = \frac{16}{7}$$
Sonra: $x = 7 - 2 \cdot \frac{16}{7} = 7 - \frac{32}{7} = \frac{49 - 32}{7} = \frac{17}{7}$
Cevap: $\left(\frac{17}{7}, \frac{16}{7}\right)$
Bu yöntemde denklemler, bir değişkeni yok edecek şekilde toplanır veya çıkarılır.
Örnek:$$\begin{cases}2x + 3y = 8 \\x - 2y = 1\end{cases}$$
İkinci denklemi 2 ile çarpalım:$$\begin{cases}2x + 3y = 8 \\2x - 4y = 2\end{cases}$$
İkinciyi birinciden çıkaralım:$$7y = 6$$$$y = \frac{6}{7}$$
İlk denkleme yerleştirelim:$$2x + 3 \cdot \frac{6}{7} = 8$$$$2x + \frac{18}{7} = 8$$$$2x = 8 - \frac{18}{7} = \frac{56 - 18}{7} = \frac{38}{7}$$$$x = \frac{19}{7}$$
Cevap: $\left(\frac{19}{7}, \frac{6}{7}\right)$
Sistem için:$$\begin{cases}a_1 x + b_1 y = c_1 \\a_2 x + b_2 y = c_2\end{cases}$$
Determinantlar:$$\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1$$
$$\Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1 b_2 - c_2 b_1$$
$$\Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1 c_2 - a_2 c_1$$
Çözüm:$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \quad (\Delta \neq 0)$$
Örnek:$$\begin{cases}x + 2y = 5 \\3x - y = 4\end{cases}$$
$$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - 3 \cdot 2 = -1 - 6 = -7$$
$$\Delta_x = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = 5 \cdot (-1) - 4 \cdot 2 = -5 - 8 = -13$$
$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 3 \cdot 5 = 4 - 15 = -11$$
$$x = \frac{-13}{-7} = \frac{13}{7}, \quad y = \frac{-11}{-7} = \frac{11}{7}$$
İfade: 127 ve 189 sayılarını böldüğünde aynı kalanı veren en büyük doğal sayıyı bulun.
Çözüm:
Sayıları $d$'ye bölmek aynı kalanı veriyorsa:$$127 = d \cdot q_1 + r$$$$189 = d \cdot q_2 + r$$
Çıkarırsak:$$189 - 127 = d(q_2 - q_1)$$$$62 = d(q_2 - q_1)$$
Dolayısıyla $d$, 62'nin bir bölenidir. 62'nin bölenleri: 1, 2, 31, 62.
$d = 62$'yi kontrol edelim:- $127 = 62 \cdot 2 + 3$ (kalan 3)- $189 = 62 \cdot 3 + 3$ (kalan 3) ✓
Cevap: 62
İfade: 360 sayısının kaç doğal böleni vardır?
360'ı asal çarpanlara ayıralım:$$360 = 8 \cdot 45 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$$
Bölen sayısı şu formülle bulunur:$$\tau(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_k + 1)$$
burada $n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$
360 için:$$\tau(360) = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$$
Cevap: 24 bölen
İfade: EKOK(12, 18, 24) bulun.
Her sayıyı çarpanlara ayıralım:- $12 = 2^2 \cdot 3$- $18 = 2 \cdot 3^2$- $24 = 2^3 \cdot 3$
EKOK — tüm çarpanların en büyük kuvvetlerinin çarpımı:$$\text{lcm}(12, 18, 24) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$$
Kontrol:- $72 \div 12 = 6$ ✓- $72 \div 18 = 4$ ✓- $72 \div 24 = 3$ ✓
Cevap: 72
İfade: 5 kişiden 3 kişi bir yarışma için kaç şekilde seçilebilir?
Sıralama önemli değil, bu yüzden kombinasyon formülünü kullanıyoruz:$$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$
Cevap: 10 şekilde
İfade: Sistemi çözün:$$\begin{cases}2x + y = 11 \\x - y = 1\end{cases}$$
Eliminasyon yöntemiyle çözüm:
İki denklemi toplayalım:$$2x + y + x - y = 11 + 1$$$$3x = 12$$$$x = 4$$
İlk denkleme yerleştirelim:$$2(4) + y = 11$$$$8 + y = 11$$$$y = 3$$
Kontrol:- $2(4) + 3 = 8 + 3 = 11$ ✓- $4 - 3 = 1$ ✓
Cevap: $(4, 3)$
Yanlış: "123, 2 ve 3 içerdiği için 5'e bölünür"
Doğru: Bir sayı 5'e ancak 0 veya 5 ile bitiyorsa bölünür. 123, 5'e bölünmez.
Yanlış: EKOK(12, 18) = 6 (bu EBOB!)
Doğru: EKOK(12, 18) = 36 ve EBOB(12, 18) = 6
Yanlış: Üç sayının EBOB'unu hesaplarken iki sayının EBOB'unu alıp üçüncüsünü göz ardı etmek.
Doğru: EBOB(12, 18, 24) = 6, tüm sayılar dikkate alınmalı.
Yanlış: Sadeleştirilmemiş ifadeyi yerine koymak.
Doğru: Önce ifadeyi sadeleştir, sonra yerine koy.
Yanlış: $(n!)! = (n!)!$ ifadesinin anlamını anlamadan. Örneğin, $3! = 6$, ancak $(3!)! = 6! = 720$
Doğru: Faktöriyelin tek bir işlem olduğunu unutmayın: $3! = 6$, $3 \cdot ! = ?$ değil.
### İpucu 1: Hızlı faktöriyel değerleriSınavda sıklıkla 7–8'e kadar faktöriyelleri hızlıca hesaplamanız gerekir. Ezberleyin:- $1! = 1$- $2! = 2$- $3! = 6$- $4! = 24$- $5! = 120$- $6! = 720$- $7! = 5040$
### İpucu 2: Bölünebilme kuralları zaman kazandırırUzun bölme yerine bölünebilme kurallarını kullanarak hızlı kontrol yapın. Bu soru başına 20–30 saniye kazandırır!
### İpucu 3: Öklid algoritması çarpanlara ayırmadan verimlidirBüyük sayıların EBOB'unu bulmak için Öklid algoritması asal çarpanlara ayırmaktan hızlıdır.
### İpucu 4: Büyük sistemler için Cramer yöntemiKatsayılar küçük tam sayılarsa, Cramer yöntemi genellikle yerine koymadan hızlıdır.
### İpucu 5: Cevabı orijinal sistemde doğrulayınSistemi çözdükten sonra cevabı her zaman orijinal denklemlerin ikisinde de yerine koyun. Bu hataları %50 azaltır.
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.