Kısaltılmış çarpma formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemleri, hesaplamaları ve denklem çözmeyi basitleştiren güçlü araçlardır. YÖS sınavında bu beceriler sürekli olarak karşımıza çıkar. Bu formülleri hızlı ve doğru bir şekilde uygulayabilme yeteneği, problem çözmeyi önemli ölçüde hızlandırabilir.
---
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
Sözel olarak: İki ifadenin toplamının karesi, birinci ifadenin karesi, artı birinci ve ikincinin çarpımının iki katı, artı ikinci ifadenin karesine eşittir.
İspat:$$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + 2ab + b^2$$
Örnekler:$$(3 + 5)^2 = 9 + 30 + 25 = 64$$
kontrol: $8^2 = 64$ ✓
$$(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$$
$$(2a + 3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$$
Hesaplamalar için uygulama:$$52^2 = (50 + 2)^2 = 2500 + 200 + 4 = 2704$$$$101^2 = (100 + 1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$$
$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
Sözel olarak: İki ifadenin farkının karesi, birinci ifadenin karesi, eksi birinci ve ikincinin çarpımının iki katı, artı ikinci ifadenin karesine eşittir.
İspat:$$(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
Örnekler:$$(7 - 3)^2 = 49 - 42 + 9 = 16$$
kontrol: $4^2 = 16$ ✓
$$(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$$
$$(3a - 2b)^2 = 9a^2 - 12ab + 4b^2$$
Hesaplamalar için uygulama:$$49^2 = (50 - 1)^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401$$$$98^2 = (100 - 2)^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604$$
Şunu not edelim:$$(a - b)^2 = (a + (-b))^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$
Sözel olarak: İki ifadenin karelerinin farkı, onların farkı ile toplamının çarpımına eşittir.
İspat:$$(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 - b^2$$
Örnekler:$$9 - 4 = (3 - 2)(3 + 2) = 1 \cdot 5 = 5$$
$$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$
$$4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y)$$
Hesaplamalar için uygulama:$$99 \cdot 101 = (100 - 1)(100 + 1) = 100^2 - 1 = 10000 - 1 = 9999$$
$$48 \cdot 52 = (50 - 2)(50 + 2) = 2500 - 4 = 2496$$
$$a^{2n} - b^{2n} = (a^n - b^n)(a^n + b^n)$$
Örnekler:$$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$$
$$a^6 - b^6 = (a^3)^2 - (b^3)^2 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$$
$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$
Alternatif form:$$(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$$
İspat:$$(a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2 = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2)$$$$= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$$$$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$
Örnekler:$$(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$$
$$(2 + 3)^3 = 8 + 36 + 54 + 27 = 125$$
kontrol: $5^3 = 125$ ✓
$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$
Alternatif form:$$(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$$
İspat:$$(a - b)^3 = (a - b)(a - b)^2 = (a - b)(a^2 - 2ab + b^2)$$$$= a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3$$$$= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$
Örnekler:$$(x - 2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$$
$$(5 - 1)^3 = 125 - 75 + 15 - 1 = 64$$
kontrol: $4^3 = 64$ ✓
$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$
İspat:$$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3$$
Örnekler:$$8 + 27 = 2^3 + 3^3 = (2 + 3)(4 - 6 + 9) = 5 \cdot 7 = 35$$
kontrol: $8 + 27 = 35$ ✓
$$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$$
$$8a^3 + 27b^3 = (2a)^3 + (3b)^3 = (2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2)$$
$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$
İspat:$$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3$$
Örnekler:$$27 - 8 = 3^3 - 2^3 = (3 - 2)(9 + 6 + 4) = 1 \cdot 19 = 19$$
kontrol: $27 - 8 = 19$ ✓
$$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$$
$$27a^3 - 64b^3 = (3a)^3 - (4b)^3 = (3a - 4b)(9a^2 + 12ab + 16b^2)$$
Yöntem: Katsayıların OBEB'ini ve ortak değişkenleri bulun, onları parantezin dışına çıkarın.
Örnekler:$$6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$$
kontrol: $3x \cdot 2x + 3x \cdot 3 = 6x^2 + 9x$ ✓
$$12a^2b - 8ab^2 + 4ab = 4ab(3a - 2b + 1)$$
$$15x^3y^2 + 10x^2y^3 - 5xy = 5xy(3x^2y + 2xy^2 - 1)$$
Yöntem: İfadeyi gruplara ayırın, her gruptan ortak çarpanı parantez dışına alın ve ardından tüm gruplar için ortak çarpanı parantez dışına alın.
Örnekler:
Örnek 1:$$xy + 2x + 3y + 6$$$$= x(y + 2) + 3(y + 2)$$$$= (y + 2)(x + 3)$$
Örnek 2:$$a^3 + a^2b + ab^2 + b^3$$$$= a^2(a + b) + b^2(a + b)$$$$= (a + b)(a^2 + b^2)$$
Örnek 3:$$2ac + 2bc - a - b$$$$= 2c(a + b) - (a + b)$$$$= (a + b)(2c - 1)$$
Örnek 1:$$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$$
Örnek 2:$$4a^2 + 4ab + b^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 = (2a + b)^2$$
Örnek 3:$$8x^3 - 27 = (2x)^3 - 3^3 = (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$$
Yöntem 1: Diskriminant aracılığıyla
Eğer $ax^2 + bx + c = 0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ ise:$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$
Örnek:$$x^2 - 5x + 6 = 0$$
Kökler: $x = 2, x = 3$ ($2 + 3 = 5$ ve $2 \cdot 3 = 6$ olduğu için)
$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$
Yöntem 2: "Orta terimi parçalama" ($a \neq 1$ için)
$ax^2 + bx + c$ için:1. $pq = ac$ ve $p + q = b$ olacak şekilde iki $p$ ve $q$ sayısı bulun2. $bx = px + qx$ olarak parçalayın3. Gruplandırarak çarpanlara ayırın
Örnek:$$2x^2 + 7x + 3$$
$pq = 2 \cdot 3 = 6$ ve $p + q = 7$ olacak şekilde $p$ ve $q$ gerekli
Bunlar $p = 6, q = 1$'dir ($6 \cdot 1 = 6$ ve $6 + 1 = 7$ olduğu için)
$$2x^2 + 7x + 3 = 2x^2 + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1)$$
Genel strateji:1. Ortak çarpanı parantez dışına alın2. Kısaltılmış çarpma formüllerini uygulayın3. Ortak çarpanları sadeleştirin4. Benzer terimleri birleştirin
Örnek 1: $(x + 1)^2 - (x - 1)^2$ ifadesini sadeleştirin
Yol 1 — formüllerle açma:$$= (x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1)$$$$= x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1$$$$= 4x$$
Yol 2 — kareler farkının uygulanması:$$= [(x+1) - (x-1)][(x+1) + (x-1)]$$$$= [2][2x]$$$$= 4x$$
Örnek 2: $\frac{a^3 - b^3}{a - b}$ ifadesini sadeleştirin
$$= \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a - b}$$$$= a^2 + ab + b^2$$
($a \neq b$ için)
Yöntem 1: Sol tarafı sağ tarafa dönüştürme
Örnek: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$ olduğunu ispatlayın
$$(a + b + c)^2 = ((a + b) + c)^2$$$$= (a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2$$$$= a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2$$$$= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$$ ✓
Yöntem 2: Her iki tarafı aynı forma dönüştürme
Örnek: $a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$ olduğunu ispatlayın
Sol taraf:$$a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$$$$= (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$$
Sağ taraf zaten bu formdadır.
Eşittirler! ✓
Örnek 1: $98 \cdot 102$ hesaplayın
$$98 \cdot 102 = (100 - 2)(100 + 2) = 100^2 - 4 = 10000 - 4 = 9996$$
Örnek 2: $31^2$ hesaplayın
$$31^2 = (30 + 1)^2 = 900 + 60 + 1 = 961$$
Örnek 3: $17^3$ hesaplayın
$$17^3 = (20 - 3)^3 = 20^3 - 3 \cdot 20^2 \cdot 3 + 3 \cdot 20 \cdot 9 - 27$$$$= 8000 - 3600 + 540 - 27 = 4913$$
Örnek 1: $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ ifadesini sadeleştirin
$$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1$$ ($x \neq 1$ için)
Örnek 2: $\frac{a^3 + 8}{a + 2}$ ifadesini sadeleştirin
$$\frac{a^3 + 8}{a + 2} = \frac{a^3 + 2^3}{a + 2} = \frac{(a+2)(a^2-2a+4)}{a+2} = a^2 - 2a + 4$$ ($a \neq -2$ için)
İfade: $(a + b)^2 - (a - b)^2$ ifadesini sadeleştirin
Çözüm:
Yol 1:$$(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$$$$= a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$$$$= 4ab$$
Yol 2 (kareler farkı aracılığıyla):$$(a+b)^2 - (a-b)^2 = [(a+b) - (a-b)][(a+b) + (a-b)]$$$$= (2b)(2a) = 4ab$$
Cevap: $4ab$
İfade: $x^3 - 8$ ifadesini çarpanlarına ayırın
$$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$$
Cevap: $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$
İfade: $3x^2 + 8x + 4$ ifadesini çarpanlarına ayırın
$pq = 3 \cdot 4 = 12$ ve $p + q = 8$ olacak şekilde $p, q$ gerekli
Bunlar $p = 6, q = 2$'dir
$$3x^2 + 8x + 4 = 3x^2 + 6x + 2x + 4$$$$= 3x(x + 2) + 2(x + 2)$$$$= (x + 2)(3x + 2)$$
Cevap: $(x + 2)(3x + 2)$
İfade: $49^2 - 51^2$ hesaplayın
$$49^2 - 51^2 = (49 - 51)(49 + 51) = (-2)(100) = -200$$
Cevap: -200
İfade: $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)$ olduğunu ispatlayın
$(a - b) + (b - c) + (c - a) = 0$ olduğunu not edelim
Şu özelliği kullanırız: Eğer $x + y + z = 0$ ise, $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$
$x = a - b, y = b - c, z = c - a$ olsun
O zaman: $x + y + z = 0$
Dolayısıyla:$$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)$$ ✓
Yanlış: $(a + b)^2 = a^2 + b^2$
Doğru: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Ortadaki $2ab$ terimini unutmayın!
Yanlış: $a^2 - b^2 = (a - b)^2$
Doğru: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Yanlış: $a^3 + b^3 = (a + b)^3$
Doğru: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Yanlış: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 4)$ (yanlış sayılar)
Doğru: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$ ($2 + 3 = 5$ ve $2 \cdot 3 = 6$ olduğu için)
Yanlış: $x^2 + 2x = x(x + 2)$ sonra açıldığında $x^2 + 2x$ elde edilir, her şey doğru, ama...
Eğer $2x$ parantez dışına alınması gerekiyorsa:Yanlış: $2x^2 + 4x = x(2x + 4)$ (sadece $x$ parantez dışına alındı, bu yanlış)
Doğru: $2x^2 + 4x = 2x(x + 2)$
Yanlış: $\frac{x^2 + 2x}{x} = x + 2x = 3x$ (terimler yanlış sayıldı!)
Doğru: $\frac{x^2 + 2x}{x} = \frac{x(x+2)}{x} = x + 2$ ($x \neq 0$ için)
Toplamın karesi $(a+b)^2$, kenarı $(a+b)$ olan bir karenin alanıdır:- $a^2$ ve $b^2$ alanlı iki kare- Her biri $ab$ alanlı iki dikdörtgen
Sınavda bu, zamandan tasarruf sağlar!
Bu, sonraki çalışmayı genellikle basitleştirir.
Çarpanlara ayırdıktan sonra, sonucun doğruluğundan emin olmak için her zaman parantezleri açın.
Kesirleri sadeleştirirken, bunun hangi değişken değerlerinde geçerli olduğunu belirtin.
Örneğin: $\frac{x^2-1}{x-1} = x+1$, $x \neq 1$ için
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.