Rasyonel SayılarGirişRasyonel sayılar orta öğretim hesaplamalarının temelini oluşturur ve YÖS sınavında sıkça karşımıza çıkar. Kesirlerle çalışma, onları dönüştürme ve sadeleştirme becerisi başarı için kilit öneme sahiptir.---1. Rasyonel sayıların tanımı ve gösterimi1.1 Rasyonel sayı kavramıTanım: Rasyonel sayı, iki tam sayının oranı olarak ifade edilebilen sayıdır.$$\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} : p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\right\}$$Örnekler:
- $\frac{3}{4}$ — basit kesir (pay paydan küçük)
- $\frac{7}{3}$ — bileşik kesir (pay paydan büyük)
- $2 = \frac{2}{1}$ — tam sayı da rasyoneldir
- $-\frac{5}{2}$ — negatif rasyonel sayı
- $0 = \frac{0}{1}$ — sıfır rasyonel bir sayıdır1.2 Kesrin temel özelliğiÖzellik: Bir kesrin payı ve paydası aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpılır veya bölünürse, kesrin değeri değişmez.$$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k} = \frac{a : d}{b : d}$$burada $k \neq 0$ ve $d \neq 0$Örnekler:
$$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$$
$$\frac{12}{18} = \frac{12 : 6}{18 : 6} = \frac{2}{3}$$1.3 Sadeleştirilemez kesirTanım: $\frac{a}{b}$ kesri, $\gcd(a, b) = 1$ ise (pay ve payda aralarında asal ise) sadeleştirilemez olarak adlandırılır.Kesri sadeleştirilemez hale getirme:
1. $\gcd(a, b)$'yi bul
2. Pay ve paydayı $\gcd(a, b)$'ye bölÖrnek:
$$\frac{36}{48} = \frac{36 : 12}{48 : 12} = \frac{3}{4}$$(çünkü $\gcd(36, 48) = 12$)1.4 Tam sayılı kesirlerTanım: Tam sayılı kesir, bir tam kısım ve bir basit kesirden oluşur.Bileşik kesri tam sayılı kesre dönüştürme:
$$\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$$çünkü $17 = 5 \cdot 3 + 2$Tam sayılı kesri bileşik kesre dönüştürme:
$$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$$---2. Bayağı kesirlerle işlemler2.1 Kesirlerin toplanması ve çıkarılmasıAynı paydalı kesirler$$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$$
$$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$$Örnek:
$$\frac{3}{8} + \frac{5}{8} = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$$
$$\frac{7}{10} - \frac{3}{10} = \frac{7 - 3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$Farklı paydalı kesirlerAlgoritma:
1. Paydaların EKOK'unu bul
2. Her iki kesri ortak paydaya getir
3. Payları topla veya çıkarÖrnek:
$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$$EKOK(3, 4) = 12$$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \quad \frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$Tam sayılı kesirlerle örnek:
$$2\frac{1}{3} + 1\frac{1}{4} = \frac{7}{3} + \frac{5}{4} = \frac{28}{12} + \frac{15}{12} = \frac{43}{12} = 3\frac{7}{12}$$2.2 Kesirlerin çarpılmasıKural: Kesirlerin çarpımı, payları payların çarpımı, paydası paydaların çarpımı olan kesirdir.$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$Örnekler:
$$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21}$$$$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 5} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$(4 ile çarpmadan önce sadeleştirilebilir)Tam sayı ile çarpma:
$$a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}$$Örnek:
$$3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$$2.3 Kesirlerin bölünmesiKural: Bir kesri başka bir kesre bölmek için, birinci kesri ikinci kesrin tersi ile çarpmak gerekir.$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$burada $c \neq 0$Ters kesir: $\frac{d}{c}$ kesri $\frac{c}{d}$'nin tersidir, çünkü $\frac{c}{d} \cdot \frac{d}{c} = 1$Örnekler:
$$\frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$$$$\frac{5}{6} : 2 = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{12}$$$$4 : \frac{2}{3} = 4 \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{2} = 6$$---3. Ondalık kesirler3.1 Tanım ve dönüşümTanım: Ondalık kesir, paydası 10'un kuvveti olan kesirdir.$$0{,}5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$
$$0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$$
$$0{,}125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$$3.2 Bayağı kesri ondalık kesre dönüştürmeYöntem 1: Paydayı 10'un kuvvetine getirÖrnek:
$$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0{,}75$$Yöntem 2: Payı paydaya bölÖrnek:
$$\frac{5}{8} = 5 : 8 = 0{,}625$$3.3 Ondalık kesirlerle işlemler#### Toplama ve çıkarma
Normal sayılar gibi topla ve çıkar, virgülleri hizalayarak.Örnek:
$$3{,}45 + 2{,}67 = 6{,}12$$
$$5{,}2 - 1{,}85 = 3{,}35$$#### Çarpma
Sayıları virgülsüz çarp, sonra her iki çarpandaki virgülden sonraki basamak sayısı kadar basamağı virgülden sonra ayır.Örnek:
$$2{,}5 \cdot 1{,}4 = ?$$Hesaplayalım: $25 \cdot 14 = 350$Virgülden sonra $1 + 1 = 2$ basamak vardı, bu yüzden:
$$2{,}5 \cdot 1{,}4 = 3{,}50 = 3{,}5$$#### Bölme
Böleni tam sayıya dönüştür, her iki sayıyı 10, 100 vb. ile çarparak.Örnek:
$$4{,}2 : 0{,}6 = 42 : 6 = 7$$---4. Devirli ondalık kesirler4.1 TanımDevirli ondalık kesir, bir veya birkaç rakamın sonsuz olarak tekrarlandığı ondalık kesirdir.$$0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3}$$
$$0{,}142857142857\ldots = 0{,}\overline{142857}$$
$$0{,}1666\ldots = 0{,}1\overline{6}$$4.2 Devirli ondalık kesri bayağı kesre dönüştürmeSaf devirli kesir (devir virgülden hemen sonra başlar)Formül: $x = 0{,}\overline{a_1a_2\ldots a_n}$ ise,
$$x = \frac{a_1a_2\ldots a_n}{\underbrace{99\ldots9}_{n \text{ tane 9}}}$$Örnek: $0{,}\overline{3}$'ü bayağı kesre dönüştürün.$$x = 0{,}\overline{3} = 0{,}333\ldots$$
$$10x = 3{,}333\ldots$$
$$10x - x = 3{,}333\ldots - 0{,}333\ldots$$
$$9x = 3$$
$$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$Örnek: $0{,}\overline{27}$'yi bayağı kesre dönüştürün.$$0{,}\overline{27} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$$Karışık devirli kesir (devir hemen başlamaz)Örnek: $0{,}1\overline{6}$'yı bayağı kesre dönüştürün.$$x = 0{,}1\overline{6} = 0{,}1666\ldots$$
$$10x = 1{,}666\ldots$$
$$100x = 16{,}666\ldots$$
$$100x - 10x = 16{,}666\ldots - 1{,}666\ldots$$
$$90x = 15$$
$$x = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$$Formül: $x = 0{,}a_1a_2\ldots a_m\overline{b_1b_2\ldots b_n}$ ise,
$$x = \frac{a_1a_2\ldots a_m b_1b_2\ldots b_n - a_1a_2\ldots a_m}{\underbrace{99\ldots9}_{n \text{ tane 9}}\underbrace{00\ldots0}_{m \text{ tane 0}}}$$---5. Kesirlerin karşılaştırılması5.1 Aynı paydalı kesirlerin karşılaştırılması$$\frac{3}{7} < \frac{5}{7} \text{ (çünkü } 3 < 5\text{)}$$5.2 Aynı paylı kesirlerin karşılaştırılması$$\frac{3}{7} > \frac{3}{11} \text{ (çünkü } 7 < 11\text{)}$$(Payda ne kadar büyükse, kesir o kadar küçüktür)5.3 Farklı paydalı ve paylı kesirlerin karşılaştırılmasıYöntem 1: Ortak paydaya getirme$$\frac{2}{3} \text{ ve } \frac{3}{5}$$EKOK(3, 5) = 15$$\frac{2}{3} = \frac{10}{15}, \quad \frac{3}{5} = \frac{9}{15}$$$$\frac{10}{15} > \frac{9}{15}, \text{ dolayısıyla } \frac{2}{3} > \frac{3}{5}$$Yöntem 2: Çapraz çarpım$$\frac{a}{b} \text{ ve } \frac{c}{d}$$$a \cdot d$ ile $b \cdot c$'yi karşılaştırÖrnek:
$$\frac{3}{5} \text{ ve } \frac{4}{7}$$$3 \cdot 7 = 21$ ve $5 \cdot 4 = 20$$21 > 20$, dolayısıyla $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$Yöntem 3: Ondalık kesirlere dönüştürme$$\frac{2}{3} = 0{,}666\ldots$$
$$\frac{3}{5} = 0{,}6$$$0{,}666\ldots > 0{,}6$, dolayısıyla $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$---6. Karmaşık kesirli ifadeler6.1 Kesir içinde kesirler (çok katlı kesirler)Kural: Kesir çizgisi bölme anlamına gelir. Pay ve paydayı hesapla, sonra böl.$$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$$Örnek:
$$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{3}{4} : \frac{5}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5}$$Karmaşık örnek:
$$\frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} : \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} = 3$$6.2 Çok katmanlı karmaşık kesirli ifadelerÖrnek:
$$\frac{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3}}}{4}$$En iç kesirden başlayarak:
$$2 + \frac{1}{3} = \frac{6 + 1}{3} = \frac{7}{3}$$$$1 + \frac{1}{\frac{7}{3}} = 1 + \frac{3}{7} = \frac{7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$$$$\frac{\frac{10}{7}}{4} = \frac{10}{7} : 4 = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$$---7. Rasyonel ifadeler7.1 Tanım ve sadeleştirmeRasyonel ifade, değişkenli kesirler içeren ifadedir.Örnek: $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$7.2 Rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesiYöntem: Pay ve paydayı çarpanlara ayır, sonra ortak çarpanları sadeleştir.Örnek 1:
$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \quad (x \neq 2)$$Örnek 2:
$$\frac{x^2 + 5x + 6}{x + 2} = \frac{(x+2)(x+3)}{x+2} = x + 3 \quad (x \neq -2)$$7.3 Rasyonel ifadelerle işlemler#### Toplama
$$\frac{x}{x+1} + \frac{2}{x+1} = \frac{x + 2}{x+1}$$#### Çıkarma
$$\frac{3}{x} - \frac{2}{x} = \frac{1}{x}$$#### Çarpma
$$\frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+1}{x^2} = \frac{x(x+1)}{(x+1)x^2} = \frac{1}{x}$$#### Bölme
$$\frac{x}{x+1} : \frac{x}{x^2} = \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x^2}{x} = \frac{x \cdot x^2}{(x+1) \cdot x} = \frac{x}{x+1} \cdot x = \frac{x^2}{x+1}$$---8. Tipik YÖS sorularıSoru 1: Kesirlerin karşılaştırılmasıİfade: Hangi kesir daha büyüktür: $\frac{7}{11}$ veya $\frac{9}{14}$?Çapraz çarpım yöntemiyle çözüm:$7 \cdot 14 = 98$
$11 \cdot 9 = 99$$98 < 99$, dolayısıyla $\frac{7}{11} < \frac{9}{14}$Cevap: $\frac{9}{14}$ daha büyüktürSoru 2: Devirli ondalık kesirİfade: $0{,}\overline{45}$'i bayağı kesre dönüştürün.Çözüm:$$x = 0{,}\overline{45} = 0{,}454545\ldots$$
$$100x = 45{,}454545\ldots$$
$$100x - x = 45$$
$$99x = 45$$
$$x = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$$Cevap: $\frac{5}{11}$Soru 3: Karmaşık kesirlerİfade: $\frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3}}}$ hesaplayın.Çözüm:İç kısımdan başlayalım:
$$2 + \frac{1}{3} = \frac{6 + 1}{3} = \frac{7}{3}$$$$1 + \frac{1}{\frac{7}{3}} = 1 + \frac{3}{7} = \frac{7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$$$$\frac{1}{\frac{10}{7}} = \frac{7}{10}$$Cevap: $\frac{7}{10}$Soru 4: Kesirlerle işlemlerİfade: $\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{6}$ değerini bulun.Çözüm:EKOK(3, 4, 6) = 12$$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$$
$$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$$
$$\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$$$$\frac{8}{12} + \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{8 + 9 - 2}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$$Cevap: $\frac{5}{4}$ veya $1\frac{1}{4}$Soru 5: Rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesiİfade: $\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}$ ifadesini sadeleştirin.Çözüm:Pay ve paydayı çarpanlara ayıralım:
$$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$$
$$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$$$$\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} = \frac{x-1}{x+1} \quad (x \neq -1)$$Cevap: $\frac{x-1}{x+1}$---9. Sık yapılan hatalarHata 1: Farklı paydalı kesirleri yanlış toplamaYanlış: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1+1}{2+3} = \frac{2}{5}$Doğru: EKOK bul ve ortak paydaya getir:
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$$Hata 2: Yanlış kesir bölmesiYanlış: $\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2:4}{3:5} = \frac{1/2}{3/5}$Doğru: $\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$Hata 3: Devirli kesirlerle hatalarYanlış: $0{,}\overline{3} = \frac{3}{9}$ sadeleştirmeden bırakmakDoğru: $0{,}\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ (mutlaka sadeleştir)Hata 4: Karmaşık kesirlerde yanlış sadeleştirmeYanlış: $\frac{x+1}{x^2+2x+1}$'i $\frac{1}{x+1}$ olarak sadeleştirmek (parantezleri fark etmeden)Doğru: $\frac{x+1}{(x+1)^2} = \frac{1}{x+1}$Hata 5: Kısıtlamaları unutmak$\frac{x^2-1}{x-1} = x+1$ sadeleştirmesinde $(x \neq 1)$ belirtmemekDoğru: Orijinal ifadenin getirdiği kısıtlamaları her zaman belirtin.---10. YÖS için ipuçları### İpucu 1: Temel ondalık eşdeğerleri ezberleyin
Ezbere bilin:
- $\frac{1}{2} = 0{,}5$
- $\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}$
- $\frac{1}{4} = 0{,}25$
- $\frac{1}{5} = 0{,}2$
- $\frac{1}{8} = 0{,}125$### İpucu 2: Karşılaştırma için çapraz çarpım kullanın
Ortak paydaya getirmekten daha hızlıdır.### İpucu 3: Önce sadeleştir, sonra çarp
Bu hesaplamayı kolaylaştırır: $\frac{12}{15} \cdot \frac{10}{18} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$### İpucu 4: Karmaşık kesirlerde en iç kısımdan başlayın
Katman katman ilerleyerek kademeli olarak sadeleştirin.### İpucu 5: Cevabı basit sayılarla yerine koyarak doğrulayın
$\frac{x-1}{x+1}$ elde ettiyseniz, $x=3$ koyun: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ve orijinal ifadeyle kontrol edin.### İpucu 6: İstisnaları unutmayın
Rasyonel ifadeleri sadeleştirirken, ifadenin tanımlı olmadığı değişken değerlerini her zaman belirtin.Kursun tüm konuları · Konu sorularıPlatformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.