Kökler ve radikaller, YÖS sınavında sıkça karşılaşılan cebirin temel konularından biridir. Yalnızca kökün tanımını değil, tüm özelliklerini de anlamak, köklü ifadeleri sadeleştirebilmek ve paydayı irrasyonellikten kurtarabilmek gereklidir.
---
Tanım: Negatif olmayan bir $a$ sayısının aritmetik karekökü, karesi $a$ olan negatif olmayan sayıdır.
$$\sqrt{a} = b, \text{ если } b^2 = a \text{ и } b \geq 0$$
Örnekler:- $\sqrt{9} = 3$ (çünkü $3^2 = 9$ ve $3 \geq 0$)- $\sqrt{16} = 4$ (çünkü $4^2 = 16$ ve $4 \geq 0$)- $\sqrt{0} = 0$- $\sqrt{0,25} = 0,5$
Önemli notlar:- Kök içindeki ifade (radikand) negatif olmamalıdır: $a \geq 0$- $\sqrt{a} \geq 0$ her zaman doğrudur (aritmetik kök negatif olamaz)- $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \neq -3$
Negatif olmayan $a$ için:$$(\sqrt{a})^2 = a$$
Örnekler:- $(\sqrt{5})^2 = 5$- $(\sqrt{0,7})^2 = 0,7$
Herhangi bir reel $a$ için:$$\sqrt{a^2} = |a|$$
Örnekler:- $\sqrt{5^2} = |5| = 5$- $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$- $\sqrt{x^2} = |x|$
Tanım: Bir $a$ sayısının $n$'inci dereceden kökü, $b^n = a$ olacak şekilde bir $b$ sayısıdır.
$$\sqrt[n]{a} = b, \text{ если } b^n = a$$
Gösterim: $\sqrt[n]{a}$ veya $a^{1/n}$
Örnekler:- $\sqrt[3]{8} = 2$ (çünkü $2^3 = 8$)- $\sqrt[3]{-27} = -3$ (çünkü $(-3)^3 = -27$)- $\sqrt[4]{16} = 2$ (çünkü $2^4 = 16$)
Çift $n$ için aritmetik kök $\sqrt[n]{a}$ yalnızca $a \geq 0$ için tanımlıdır ve $\sqrt[n]{a} \geq 0$ olur.
Tek $n$ için kök $\sqrt[n]{a}$ herhangi bir reel $a$ için tanımlıdır.
Örnekler:- $\sqrt[2]{9} = 3$ (yalnızca pozitif değer)- $\sqrt[3]{-8} = -2$ (tek dereceli kök, negatif olabilir)- $\sqrt[4]{16} = 2$ (yalnızca pozitif değer)
Özellik: Bir çarpımın kökü, köklerin çarpımına eşittir (tanımlı olduğu sürece).
$$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$$
Örnekler:$$\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$$$$\sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3 \cdot 4 = 12$$$$\sqrt[3]{8 \cdot 27} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = 2 \cdot 3 = 6$$
Pratik uygulama: Kök içindeki ifadenin sadeleştirilmesi$$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$$
Özellik: Bir bölümün kökü, köklerin bölümüne eşittir.
$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \quad (b \neq 0)$$
Örnekler:$$\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$$$$\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$$$$\sqrt{\frac{x^2}{y^2}} = \frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{y^2}} = \frac{|x|}{|y|}$$
Özellik:$$\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$$
Örnekler:$$\sqrt{5^2} = 5$$$$\sqrt[3]{2^6} = 2^{6/3} = 2^2 = 4$$$$\sqrt[4]{x^8} = x^{8/4} = x^2$$
Özellik:$$(\sqrt[n]{a})^m = a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$$
Örnekler:$$(\sqrt{3})^2 = 3$$$$(\sqrt[3]{2})^3 = 2$$$$(\sqrt{5})^4 = (5^{1/2})^4 = 5^2 = 25$$
Özellik:$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} = a^{1/(mn)}$$
Örnekler:$$\sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt[4]{16} = 2$$$$\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2$$
Algoritma:1. Kök içindeki ifadeyi, en az bir çarpanı gerekli derecenin tam kuvveti olacak şekilde çarpanlarına ayırın2. Köklerin çarpımı özelliğini uygulayın3. Tam kuvvetin kökünü alın
Örnekler:
$$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$
$$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$$
$$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}$$
$$\sqrt{45x^2} = \sqrt{9x^2 \cdot 5} = 3|x|\sqrt{5}$$
($x \geq 0$ ise $= 3x\sqrt{5}$)
Örnek: $\sqrt{200}$ ifadesini sadeleştirin
$$200 = 8 \cdot 25 = 2^3 \cdot 5^2$$
Tam kareler gereklidir:$$200 = 4 \cdot 50 = 4 \cdot 25 \cdot 2 = 100 \cdot 2$$
$$\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$$
Örnek: $\sqrt[3]{135}$ ifadesini sadeleştirin
$$135 = 27 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5$$
$$\sqrt[3]{135} = \sqrt[3]{27 \cdot 5} = 3\sqrt[3]{5}$$
Algoritma:1. Çarpanı, kökün derecesine eşit olan bir üsse yükseltin2. Sonucu kök işaretinin altına yerleştirin3. Kök içindeki ifadeleri çarpın
$$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$$
$$2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{24}$$
$$x\sqrt{5} = \sqrt{x^2 \cdot 5} = \sqrt{5x^2}$$ ($x \geq 0$ için)
Köklü ifadeleri karşılaştırmak için sıkça kullanılır:
$$3\sqrt{2} \text{ и } 2\sqrt{3}$$
İçe alalım:$$3\sqrt{2} = \sqrt{18}, \quad 2\sqrt{3} = \sqrt{12}$$
$18 > 12$ olduğundan, $3\sqrt{2} > 2\sqrt{3}$ olur
Yöntem: Pay ve paydayı bu kökle çarpın.
$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$$
$$\frac{2}{\sqrt[3]{4}} = \frac{2}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4 \cdot 2}} = \frac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{2\sqrt[3]{2}}{2} = \sqrt[3]{2}$$
$$\frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$$
$$\frac{5}{3\sqrt{2}} = \frac{5}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{5\sqrt{2}}{6}$$
Yöntem: Eşlenik ifadeyle çarpın.
$(a + \sqrt{b})$ ifadesinin eşleniği $(a - \sqrt{b})$'dir
Şunu kullanırız: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
$$\frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - 2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{-1} = \sqrt{2} - 1$$
$$\frac{3}{2 - \sqrt{3}} = \frac{3}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{3(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 3(2 + \sqrt{3}) = 6 + 3\sqrt{3}$$
$$\frac{2}{\sqrt{5} - 1} = \frac{2}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{2(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{2(\sqrt{5} + 1)}{4} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$$
$$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$$
Örnek:$$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{5 - 2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3}$$
Örnek 1: $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$ ifadesini sadeleştirin
Bunu $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ şeklinde göstermeyi deneyelim:$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$$
Gerekli olan: $a + b = 7$ ve $2\sqrt{ab} = 4\sqrt{3}$
İkincisinden: $\sqrt{ab} = 2\sqrt{3}$, dolayısıyla $ab = 12$
Sistemi çözüyoruz: $a + b = 7, ab = 12$$$t^2 - 7t + 12 = 0$$$$(t - 3)(t - 4) = 0$$
Böylece $a = 3, b = 4$ (veya tersi)
$$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{4})^2} = \sqrt{(\sqrt{3} + 2)^2} = \sqrt{3} + 2$$
(pozitif değeri seçiyoruz)
Örnek 2: $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$ ifadesini sadeleştirin
$$8 - 2\sqrt{15} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$$
$a + b = 8, ab = 15$
$$t^2 - 8t + 15 = 0$$$$(t - 3)(t - 5) = 0$$
Böylece $a = 5, b = 3$
$$\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2} = |\sqrt{5} - \sqrt{3}| = \sqrt{5} - \sqrt{3}$$
($\sqrt{5} > \sqrt{3}$ olduğundan)
Temel bağıntı:$$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$$
Bu, üslerin tüm özelliklerinin köklere uygulanmasına olanak tanır.
$$\sqrt{x^3} = x^{3/2}$$
$$\sqrt[3]{x^4} = x^{4/3}$$
$$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$$
$$\sqrt[4]{x^2} = x^{1/2} = \sqrt{x}$$ ($x \geq 0$ için)
İfade: $\sqrt{72} - \sqrt{32} + \sqrt{50}$ ifadesini sadeleştirin
Çözüm:
$$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$$$$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$$$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$$
$$6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (6 - 4 + 5)\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$$
Cevap: $7\sqrt{2}$
İfade: Paydayı irrasyonellikten kurtarın: $\frac{2}{3\sqrt{2}}$
$$\frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$
Cevap: $\frac{\sqrt{2}}{3}$
İfade: $\frac{1}{\sqrt{7} - 2}$ ifadesini sadeleştirin
$$\frac{1}{\sqrt{7} - 2} = \frac{1}{\sqrt{7} - 2} \cdot \frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2} = \frac{\sqrt{7} + 2}{7 - 4} = \frac{\sqrt{7} + 2}{3}$$
Cevap: $\frac{\sqrt{7} + 2}{3}$
İfade: $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$ ifadesini sadeleştirin
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ şeklinde gösterelim
$a + b = 5, 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{6}$, dolayısıyla $ab = 6$
$$t^2 - 5t + 6 = 0$$$$(t - 2)(t - 3) = 0$$
$a = 2, b = 3$ (veya tersi)
$$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$$
Cevap: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$
İfade: $\sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{8} + \sqrt{144} - \sqrt[4]{16}$ ifadesini hesaplayın
$$\sqrt[3]{27} = 3$$$$\sqrt[3]{8} = 2$$$$\sqrt{144} = 12$$$$\sqrt[4]{16} = 2$$
$$3 \cdot 2 + 12 - 2 = 6 + 12 - 2 = 16$$
Cevap: 16
Yanlış: Tüm $x$ için $\sqrt{x^2} = x$
Doğru: $\sqrt{x^2} = |x|$
Örneğin, $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$, $-3$ değil
Yanlış: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$
Doğru: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
Bu ciddi bir hatadır!
Yanlış: $2\sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$
Doğru: $2\sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$
Yanlış: $(a + \sqrt{b})$ ifadesinin eşleniği $(a - \sqrt{b})$ mi yoksa $(a + \sqrt{c})$ mi?
Doğru: $(a + \sqrt{b})$ ifadesinin eşleniği tam olarak $(a - \sqrt{b})$'dir
$(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b$
Yanlış: Tüm $x$ için $\sqrt[4]{x^4} = x$
Doğru: $\sqrt[4]{x^4} = |x|$ ve çift dereceli kök için kök içindeki ifade negatif olmamalıdır
### İpucu 1: Basit kökleri ezberleyin$$\sqrt{4}=2, \sqrt{9}=3, \sqrt{16}=4, \sqrt{25}=5, \sqrt{36}=6$$$$\sqrt[3]{8}=2, \sqrt[3]{27}=3, \sqrt[3]{64}=4, \sqrt[3]{125}=5$$
### İpucu 2: Cevaptaki TÜM kökleri sadeleştirinCevapta $\sqrt{8}$ gibi bir kök kalmışsa, bu çözümün tamamlanmadığı anlamına gelir. $2\sqrt{2}$'ye kadar sadeleştirin.
### İpucu 3: Küp kökler için şunları hatırlayın$$\sqrt[3]{-8}=-2, \quad \sqrt[3]{-27}=-3$$Negatif bir sayının küp kökü negatiftir!
### İpucu 4: İç içe kökü bir toplamın/farkın karesi olarak göstermeye çalışınBu tür ifadeler genellikle güzel sadeleştirmelere sahiptir.
### İpucu 5: Paydayı irrasyonellikten kurtarınSınavda cevabın paydasında kök bırakmamak adettir.
### İpucu 6: Cevapları doğrudan hesaplamayla kontrol edin$\frac{1}{\sqrt{7}-2}$'nin cevabı olarak $\sqrt{7} + 2$ elde ettiyseniz, kontrol edin:$$(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2) = 7 - 4 = 3$$$$\frac{1}{\sqrt{7}-2} = \frac{\sqrt{7}+2}{3}$$ — doğru!
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.