Üslü sayılar cebirdeki temel işlemlerden biridir. YÖS sınavında üslü sayılarla ilgili problemler hem basit biçimde hem de daha karmaşık ifadelerin parçası olarak karşımıza çıkar. Üslü sayıların özelliklerini anlamak, üstel denklemler ve logaritmalarla çalışmak için gereklidir.
---
Tanım: $a$ sayısının doğal sayı üssü $n$ ile üssü, $a$'ya eşit $n$ tane aynı çarpanın çarpımıdır.
$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n \text{ раз}}$$
burada $a$ üssün tabanı, $n$ ise üsdür.
Örnekler:- $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$- $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$- $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$- $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$
Önemli notlar:- Her $a$ için $a^1 = a$- Taban negatif ve üs çift ise sonuç pozitiftir- Taban negatif ve üs tek ise sonuç negatiftir
Özellik: Aynı tabanlı üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır.
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
Örnekler:$$2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256$$$$x^2 \cdot x^4 = x^{2+4} = x^6$$$$3^{-2} \cdot 3^5 = 3^{-2+5} = 3^3 = 27$$
İspat:$$a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{m \text{ раз}} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ раз}} = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{m+n \text{ раз}} = a^{m+n}$$
Özellik: Aynı tabanlı üslü sayılar bölünürken üsler çıkarılır.
$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)$$
Örnekler:$$\frac{2^7}{2^3} = 2^{7-3} = 2^4 = 16$$$$\frac{x^8}{x^2} = x^{8-2} = x^6$$$$\frac{5^{-2}}{5^{-5}} = 5^{-2-(-5)} = 5^3 = 125$$
Özellik: Bir üssün üssü alınırken üsler çarpılır.
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$
Örnekler:$$(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64$$$$(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$$$$((3^2)^3)^2 = 3^{2 \cdot 3 \cdot 2} = 3^{12}$$
Özellik: Bir çarpımın üssü, çarpanların üslerinin çarpımına eşittir.
$$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$
Örnekler:$$(2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216$$$$(xy)^4 = x^4 y^4$$$$(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$$
Özellik: Bir bölümün üssü, üslerin bölümüne eşittir.
$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0)$$
Örnekler:$$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$$$$\left(\frac{x}{y}\right)^3 = \frac{x^3}{y^3}$$$$\left(\frac{5}{2}\right)^{-1} = \frac{2}{5}$$
Tanım: Sıfırdan farklı her $a$ sayısı için:
$$a^0 = 1$$
Gerekçe: $\frac{a^m}{a^m} = a^{m-m} = a^0$ özelliğini kullanalım:$$\frac{a^m}{a^m} = 1 \quad \text{и} \quad \frac{a^m}{a^m} = a^{m-m} = a^0$$
Dolayısıyla, $a^0 = 1$
Örnekler:- $5^0 = 1$- $(-7)^0 = 1$- $(3x)^0 = 1$ ($x \neq 0$ için)- $x^0 = 1$ ($x \neq 0$ için)
Önemli: $0^0$ tanımsızdır!
Tanım: Sıfırdan farklı her $a$ sayısı ve doğal sayı $n$ için:
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$
Gerekçe: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ özelliğini kullanarak:$$a^0 = a^{n-n} = \frac{a^n}{a^n} = a^{-n} \cdot a^n$$
Dolayısıyla:$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$
$$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$$$$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$$$$x^{-4} = \frac{1}{x^4}$$$$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$$
$$a^{-m} \cdot a^n = a^{-m+n} = a^{n-m}$$$$\frac{a^{-m}}{a^n} = a^{-m-n}$$$$(a^{-m})^n = a^{-mn}$$
Örnek:$$\frac{2^{-3} \cdot 2^5}{2^{-2}} = 2^{-3+5-(-2)} = 2^{-3+5+2} = 2^4 = 16$$
Tanım: $n > 1$ doğal sayısı için:
$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$$
($a$'nın $n$-inci dereceden kökü)
Örnekler:- $8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$ ($2^3 = 8$ olduğundan)- $16^{1/2} = \sqrt{16} = 4$ ($4^2 = 16$ olduğundan)- $32^{1/5} = \sqrt[5]{32} = 2$ ($2^5 = 32$ olduğundan)
Tanım:
$$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$
(her iki yol da eşdeğerdir)
Örnekler:$$8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$$
veya
$$8^{2/3} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$$
$$27^{2/3} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9$$$$16^{3/2} = \left(\sqrt{16}\right)^3 = 4^3 = 64$$
- Üslü sayıların tüm özellikleri kesirli üsler için de geçerlidir- $n$ çift ve taban negatif ise ifade reel sayılarda tanımsızdır: $$(-8)^{1/2} \text{ не определено в } \mathbb{R}$$
- $n$ tek ise, kesirli üs negatif tabanlar için de tanımlıdır: $$(-8)^{1/3} = \sqrt[3]{-8} = -2$$
Denklem aynı tabanlı üslü sayılar içeriyorsa şu özellik kullanılır: $a^m = a^n$ ve $a > 0, a \neq 1$ ise $m = n$.
Örnek 1: $2^{x+1} = 16$ denklemini çözünüz.
$$2^{x+1} = 2^4$$$$x + 1 = 4$$$$x = 3$$
Örnek 2: $3^{2x} = 27$ denklemini çözünüz.
$$3^{2x} = 3^3$$$$2x = 3$$$$x = 1,5$$
Örnek 3: $\left(\frac{1}{5}\right)^{x} = 125$ denklemini çözünüz.
$$5^{-x} = 5^3$$$$-x = 3$$$$x = -3$$
Örnek 4: $4^x = 8$ denklemini çözünüz.
$4 = 2^2$ ve $8 = 2^3$ olduğuna dikkat edelim:$$(2^2)^x = 2^3$$$$2^{2x} = 2^3$$$$2x = 3$$$$x = 1,5$$
Örnek 5: $9^x \cdot 27 = 3^5$ denklemini çözünüz.
$$9 = 3^2, \quad 27 = 3^3$$$$(3^2)^x \cdot 3^3 = 3^5$$$$3^{2x} \cdot 3^3 = 3^5$$$$3^{2x+3} = 3^5$$$$2x + 3 = 5$$$$2x = 2$$$$x = 1$$
Örnek 6: $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$ denklemini çözünüz.
$4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2$ olduğuna dikkat edelim.
$t = 2^x$ olsun, o zaman:$$t^2 - 3t + 2 = 0$$$$(t - 1)(t - 2) = 0$$$$t = 1 \text{ или } t = 2$$
Durum 1: $2^x = 1 = 2^0 \Rightarrow x = 0$
Durum 2: $2^x = 2 = 2^1 \Rightarrow x = 1$
Cevap: $x = 0$ veya $x = 1$
$f(x) = a^x$ fonksiyonu:- $a > 1$ için artandır- $0 < a < 1$ için azalandır
Örnek 1: $2^5$ ve $2^7$'yi karşılaştırınız.
$2 > 1$ olduğundan ve $2^x$ fonksiyonu artan olduğundan, $5 < 7$ iken $2^5 < 2^7$ olur.
Örnek 2: $\left(\frac{1}{2}\right)^3$ ve $\left(\frac{1}{2}\right)^5$'i karşılaştırınız.
$0 < \frac{1}{2} < 1$ olduğundan ve $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ fonksiyonu azalan olduğundan, $3 < 5$ iken $\left(\frac{1}{2}\right)^3 > \left(\frac{1}{2}\right)^5$ olur.
Örnek 3: $2^{10}$ ve $4^4$'ü karşılaştırınız.
$$4^4 = (2^2)^4 = 2^8$$
$2^{10} = 2^8 \cdot 2^2 = 2^8 \cdot 4$ ve $2^8 < 2^{10}$ olduğundan, $4^4 < 2^{10}$ olur.
veya: $2^{10}$ ve $2^8$'de, $10 > 8$ olduğundan $2^{10} > 2^8 = 4^4$ olur.
Örnek 4: $\left(\frac{3}{5}\right)^{100}$'ü 1 ile karşılaştırınız.
$0 < \frac{3}{5} < 1$ olduğundan, $\left(\frac{3}{5}\right)^{100} < 1$ olur.
Örnek 5: $2^{-5}$'i $\left(\frac{1}{2}\right)^{5}$ ile karşılaştırınız.
$$2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \left(\frac{1}{2}\right)^5$$
Eşittirler!
İfade: $(2^3)^2 \cdot 2^{-4} : 2^2$ ifadesini hesaplayınız.
Çözüm:
$$(2^3)^2 \cdot 2^{-4} : 2^2 = 2^{3 \cdot 2} \cdot 2^{-4} : 2^2$$$$= 2^6 \cdot 2^{-4} : 2^2$$$$= 2^{6-4} : 2^2$$$$= 2^2 : 2^2$$$$= 2^{2-2} = 2^0 = 1$$
Cevap: 1
İfade: $16^{3/4}$ değerini hesaplayınız.
$$16^{3/4} = (16^{1/4})^3 = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$$
Veya:$$16^{3/4} = \sqrt[4]{16^3} = \sqrt[4]{4096} = 8$$
Cevap: 8
İfade: $5^{2x-1} = 25$ denklemini çözünüz.
$$5^{2x-1} = 25 = 5^2$$$$2x - 1 = 2$$$$2x = 3$$$$x = 1,5$$
Cevap: $x = 1,5$
İfade: $9^x + 3^{x+1} = 12$ denklemini çözünüz.
$$9^x = (3^2)^x = 3^{2x} = (3^x)^2$$$$3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$$
$t = 3^x$ olsun, $t > 0$:$$t^2 + 3t = 12$$$$t^2 + 3t - 12 = 0$$$$(t + 4)(t - 3) = 0$$
$t = -4$ uygun değildir ($t > 0$ olduğundan).
$t = 3$:$$3^x = 3 = 3^1$$$$x = 1$$
Cevap: $x = 1$
İfade: $2^5, 4^2, 8^{4/3}$ ifadelerini artan sırayla dizin.
Hepsini ortak tabana (2'ye) indirgeyelim:- $2^5 = 2^5 = 32$- $4^2 = (2^2)^2 = 2^4 = 16$- $8^{4/3} = (2^3)^{4/3} = 2^{3 \cdot 4/3} = 2^4 = 16$
$4^2 = 8^{4/3} = 2^4 = 16$ olduğuna dikkat edelim.
Artan sırayla: $4^2, 8^{4/3}, 2^5$ veya $2^4, 2^4, 2^5$
Cevap: $4^2 = 8^{4/3} < 2^5$
Yanlış: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$
Doğru: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$
Yanlış: $(a + b)^2 = a^2 + b^2$
Doğru: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Yanlış: $-2^2 = 4$ (bu bir hatadır!)
Doğru: $-2^2 = -(2^2) = -4$, ancak $(-2)^2 = 4$
Yanlış: $8^{2/3} = 8^2 : 3 = 64 : 3 \approx 21$
Doğru: $8^{2/3} = (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4$
$2^x = -4$ denklemini çözerken, bazıları çözüm olmadığını yalnızca üstel fonksiyonun özelliğini unuttukları için söyler (bu fonksiyon her zaman pozitiftir).
Doğru: Tüm $x$ için $2^x > 0$, dolayısıyla $2^x = -4$ denkleminin çözümü yoktur.
Yanlış: $4^x - 2 \cdot 2^x + 1 = 0$ denkleminde $t = 2^x$ değişkenine geçip $4^x = t^2$ olduğunu değil $t$ olduğunu düşünmek.
Doğru: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2 = t^2$
### İpucu 1: 2, 3, 5 sayılarının kuvvetlerini ezberleyinBu hesapları hızlandırır:- $2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, 2^7=128, 2^8=256, 2^9=512, 2^{10}=1024$- $3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243$- $5^1=5, 5^2=25, 5^3=125, 5^4=625$
### İpucu 2: Üstel denklemleri çözerken ortak tabanı arayınBasit denklemler için en evrensel yöntemdir.
### İpucu 3: Karmaşık denklemler için değişken değiştirme kullanınDenklemde $a^x$ ve $a^{2x}$ (veya benzerleri) varsa, değişken değiştirme çözümü sıklıkla kolaylaştırır.
### İpucu 4: Üsler üzerindeki kısıtlamaları her zaman kontrol edinNegatif ve kesirli üslerin taban üzerinde kısıtlamaları olduğunu unutmayın.
### İpucu 5: Üslü sayıları karşılaştırırken fonksiyonun monotonluğunu kullanınTaban aynı ise, daha büyük üs yalnızca taban > 1 olduğunda daha büyük bir sonuç verir.
### İpucu 6: Negatif tabana dikkat edin$(-2)^3 \neq -(2^3)$, ancak $(-2)^2 = 2^2$
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.