Bağıntılar, kümeler teorisi ve ayrık matematikteki temel kavramlardan biridir. Bağıntıları anlamak, fonksiyonları, grafları, veri tabanlarını ve diğer birçok alanı incelemek için gereklidir. YÖS sınavında bağıntılarla ilgili sorular, kümelerin elemanları arasındaki ilişkileri analiz etme becerinizi ölçer.
Tanım: $A$ kümesinden $B$ kümesine (veya $A$'dan $B$'ye) bir ikili bağıntı, $A \times B$ kartezyen çarpımının herhangi bir alt kümesidir.
Gösterim: $R \subseteq A \times B$
Eğer $a$ ve $b$ elemanları $R$ bağıntısında ise, şöyle yazılır: $aRb$ veya $(a, b) \in R$
Özel durum: $A = B$ ise, $A$ kümesi üzerinde bir bağıntıdan söz edilir.
Örnek 1: Doğal sayılar kümesi üzerindeki "büyüktür" bağıntısı:$$R = \{(a, b) \mid a, b \in \mathbb{N}, a > b\}$$
Bu bağıntıya ait çiftlere örnekler: $(5, 3)$, $(10, 7)$, $(2, 1)$
Örnek 2: Tüm kadınlar kümesi ile tüm insanlar kümesi arasındaki "annesidir" bağıntısı:$$R = \{(x, y) \mid x \text{ — мать } y\}$$
Örnek 3: Doğal sayılar kümesi üzerindeki "böler" bağıntısı:$$R = \{(a, b) \mid a, b \in \mathbb{N}, a | b\}$$ ($a | b$, "$a$, $b$'yi böler" anlamına gelir)
Çift örnekleri: $(2, 4)$, $(3, 9)$, $(5, 20)$
Örnek 4: Bir gruptaki öğrenciler kümesi üzerindeki "arkadaştır" bağıntısı:$$R = \{(x, y) \mid x \text{ и } y \text{ — друзья}\}$$
#### Yöntem 1: Özellik ile tanımlama$$R = \{(a, b) \in A \times B \mid P(a, b)\}$$
burada $P(a, b)$ bir mantıksal koşuldur
Örnek: $R = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \mid y = x^2\}$
#### Yöntem 2: Çiftleri açıkça listeleme$$R = \{(a_1, b_1), (a_2, b_2), ..., (a_n, b_n)\}$$
Örnek: $R = \{(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 3)\}$
#### Yöntem 3: Bağıntının grafıBir bağıntı, köşelerin kümelerin elemanları ve okların bağıntıdaki çiftler olduğu bir graf olarak çizilebilir.
#### Yöntem 4: Bağıntının matrisi (tablo)Sonlu kümeler için bir bağıntı, $a$ satırı ile $b$ sütununun kesişiminde $(a, b) \in R$ ise 1, aksi halde 0 yazılan bir matris ile temsil edilebilir.
Tanım kümesi (Domain): $R$ bağıntısındaki çiftlerin tüm birinci bileşenlerinin kümesi.
Gösterim: $D(R)$ veya $Dom(R)$
Formal olarak: $D(R) = \{a \in A \mid \exists b \in B: (a, b) \in R\}$
Görüntü kümesi (Değer kümesi/Görüntü): $R$ bağıntısındaki çiftlerin tüm ikinci bileşenlerinin kümesi.
Gösterim: $R(B)$ veya $Im(R)$
Formal olarak: $R(B) = \{b \in B \mid \exists a \in A: (a, b) \in R\}$
Örnek 5: $A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{a, b, c, d\}$ ve $R = \{(1, a), (2, b), (2, c), (3, d)\}$ olsun.
Tanım: $A$ kümesi üzerindeki bir $R$ bağıntısı, $A$ kümesinin her elemanı kendisiyle $R$ bağıntısında ise yansımalı olarak adlandırılır.
Formal olarak: $R$ yansımalıdır $\Leftrightarrow \forall a \in A: (a, a) \in R$
Yansımalı bağıntı örnekleri:- Sayılar kümesi üzerindeki "eşittir": tüm $a$ için $a = a$- Şehirler kümesi üzerindeki "aynı enlemdedir"- Doğal sayılar kümesi üzerindeki "böler": her sayı kendisini böler
Karşı örnek (yansımalı değil):- Sayılar kümesi üzerindeki "büyüktür": tüm $a$ için $a > a$ yanlıştır
Tanım: $A$ kümesi üzerindeki bir $R$ bağıntısı, $(a, b) \in R$ olmasından $(b, a) \in R$ olması gelirse simetrik olarak adlandırılır.
Formal olarak: $R$ simetriktir $\Leftrightarrow \forall a, b \in A: (a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R$
Simetrik bağıntı örnekleri:- Sayılar kümesi üzerindeki "eşittir": $a = b$ ise, $b = a$- "Arkadaştır" (karşılıklı arkadaşlık anlamında)- Doğrular için "paraleldir"
Karşı örnek (simetrik değil):- Sayılar kümesi üzerindeki "büyüktür": $(5, 3) \in R$, ancak $(3, 5) \notin R$
Tanım: $A$ kümesi üzerindeki bir $R$ bağıntısı, $(a, b) \in R$ ve $(b, a) \in R$ olmasından $a = b$ gelirse ters simetrik olarak adlandırılır.
Formal olarak: $R$ ters simetriktir $\Leftrightarrow \forall a, b \in A: ((a, b) \in R \text{ и } (b, a) \in R) \Rightarrow a = b$
Ters simetrik bağıntı örnekleri:- Sayılar kümesi üzerindeki "büyük veya eşittir": $a \geq b$ ve $b \geq a$ ise, $a = b$- Kümeler kümesi üzerindeki "alt kümesidir": $A \subseteq B$ ve $B \subseteq A$ ise, $A = B$- Doğal sayılar kümesi üzerindeki "böler"
Not: Bir bağıntı, yalnızca $(a, a)$ biçimindeki çiftleri içeriyorsa aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olabilir.
Tanım: $A$ kümesi üzerindeki bir $R$ bağıntısı, $(a, b) \in R$ ve $(b, c) \in R$ olmasından $(a, c) \in R$ gelirse geçişmeli olarak adlandırılır.
Formal olarak: $R$ geçişmelidir $\Leftrightarrow \forall a, b, c \in A: ((a, b) \in R \text{ и } (b, c) \in R) \Rightarrow (a, c) \in R$
Geçişmeli bağıntı örnekleri:- Sayılar kümesi üzerindeki "eşittir": $a = b$ ve $b = c$ ise, $a = c$- Sayılar kümesi üzerindeki "büyüktür": $a > b$ ve $b > c$ ise, $a > c$- Doğrular için "paraleldir": $\ell_1$ doğrusu $\ell_2$'ye paralel ve $\ell_2$, $\ell_3$'e paralel ise, $\ell_1$, $\ell_3$'e paraleldir
Karşı örnek (geçişmeli değil):- "Ebeveynidir": eğer $a$, $b$'nin ebeveyni ve $b$, $c$'nin ebeveyni ise, $a$, $c$'nin büyükanne/büyükbabasıdır, ebeveyni değil
Tanım: $A$ kümesi üzerindeki bir $R$ bağıntısı, aynı anda yansımalı, simetrik ve geçişmeli ise denklik bağıntısı olarak adlandırılır.
Formal olarak: $R$ bir denklik bağıntısıdır $\Leftrightarrow$- Yansıma: $\forall a \in A: (a, a) \in R$- Simetri: $\forall a, b \in A: (a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R$- Geçişme: $\forall a, b, c \in A: ((a, b) \in R \text{ и } (b, c) \in R) \Rightarrow (a, c) \in R$
Örnek 6: Doğal sayılar kümesi üzerindeki "3 ile bölündüğünde aynı kalana sahiptir" bağıntısı.
Örnek 7: Düzlemdeki doğrular kümesi üzerindeki "paraleldir veya çakışır" bağıntısı.
Örnek 8: Rusça kelimeler kümesi üzerindeki "aynı sayıda harfe sahiptir" bağıntısı.
Tanım: Bir $a$ elemanının $R$ bağıntısına göre denklik sınıfı, $a$ elemanına denk olan tüm elemanların kümesidir.
Gösterim: $[a]_R$ veya $\bar{a}$
Formal olarak: $[a]_R = \{b \in A \mid (a, b) \in R\}$
Denklik sınıflarının özellikleri:1. Denklik sınıfı boş değildir: $[a]_R \neq \emptyset$ (yansıma nedeniyle $a \in [a]_R$)2. İki denklik sınıfı ya çakışır ya da ayrıktır3. Tüm denklik sınıflarının birleşimi, başlangıçtaki $A$ kümesine eşittir
Örnek 9: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ kümesi üzerindeki "3 ile bölündüğünde aynı kalana sahiptir" bağıntısı.
Denklik sınıfları:- $[0] = \{0, 3, 6\}$ (kalan 0)- $[1] = \{1, 4, 7\}$ (kalan 1)- $[2] = \{2, 5, 8\}$ (kalan 2)
Tanım: $A$ kümesi üzerindeki bir $R$ bağıntısı, aynı anda yansımalı, ters simetrik ve geçişmeli ise sıralama bağıntısı (veya kısmi sıralama bağıntısı) olarak adlandırılır.
Formal olarak: $R$ bir sıralama bağıntısıdır $\Leftrightarrow$- Yansıma: $\forall a \in A: (a, a) \in R$- Ters simetri: $\forall a, b \in A: ((a, b) \in R \text{ и } (b, a) \in R) \Rightarrow a = b$- Geçişme: $\forall a, b, c \in A: ((a, b) \in R \text{ и } (b, c) \in R) \Rightarrow (a, c) \in R$
Tanım: Bir $R$ bağıntısı, ters yansımalı (tüm $a$ için $(a, a) \notin R$), asimetrik ve geçişmeli ise sıkı sıralama olarak adlandırılır.
Örnekler:- Sayılar kümesi üzerindeki "kesinlikle büyüktür" bağıntısı- Kümeler kümesi üzerindeki "öz alt kümesidir" bağıntısı
Tanım: Bir sıralama bağıntısı, herhangi iki $a$ ve $b$ elemanı için ya $(a, b) \in R$ ya da $(b, a) \in R$ (veya her ikisi) sağlanıyorsa tam (doğrusal) olarak adlandırılır.
Tam sıralama örnekleri:- Gerçek sayılar kümesi üzerindeki "büyük veya eşittir"- Kelimeler kümesi üzerindeki alfabetik sıralama
Kısmi sıralama örneği (tam değil):- Doğal sayılar kümesi üzerindeki "böler" bağıntısı: 2 ve 3 sayıları karşılaştırılamaz (hiçbiri diğerini bölmez)
Tanım: $R \subseteq A \times B$ bağıntısının tersi, aşağıdaki şekilde tanımlanan $R^{-1} \subseteq B \times A$ bağıntısıdır:
$$R^{-1} = \{(b, a) \mid (a, b) \in R\}$$
Örnek 10: $R = \{(1, a), (2, b), (3, c)\}$ ise:$$R^{-1} = \{(a, 1), (b, 2), (c, 3)\}$$
Tanım: $R_1 \subseteq A \times B$ ve $R_2 \subseteq B \times C$ bağıntılarının bileşkesi, aşağıdaki şekilde tanımlanan $R_2 \circ R_1 \subseteq A \times C$ bağıntısıdır:
$$(R_2 \circ R_1) = \{(a, c) \mid \exists b \in B: (a, b) \in R_1 \text{ и } (b, c) \in R_2\}$$
Okunuşu: "$R_2$'nin $R_1$'den sonrası" veya "$R_2$, $R_1$'in bileşkesi"
Önemli: Sıra önemlidir! Genel olarak $R_2 \circ R_1 \neq R_1 \circ R_2$.
Örnek 11: Şunlar olsun:- $R_1$ = "babasıdır" (insanlar kümesinden insanlar kümesine bağıntı)- $R_2$ = "annesidir" (insanlar kümesinden insanlar kümesine bağıntı)
O halde $R_2 \circ R_1$ = "babanın annesidir" = "(baba tarafından) büyükannesidir"
Eğer $A$ ve $B$ sonlu kümeler ise:
$$|A \times B| = |A| \cdot |B|$$
Örnek 12: $|A| = 3$ ve $|B| = 4$ ise, $|A \times B| = 3 \cdot 4 = 12$
$A$'dan $B$'ye bir $R$ bağıntısı, $A \times B$'nin bir alt kümesi olduğundan, $A$'dan $B$'ye olası tüm bağıntıların sayısı şudur:
$$2^{|A \times B|} = 2^{|A| \cdot |B|}$$
Örnek 13: 2 elemanlı bir kümeden 3 elemanlı bir kümeye $2^{2 \cdot 3} = 2^6 = 64$ farklı bağıntı tanımlanabilir.
$A = \{1, 2, 3, 4\}$ kümesi üzerinde $R = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,4), (4,4)\}$ bağıntısı veriliyor.
Bu bağıntı:a) yansımalı mı?b) simetrik mi?c) geçişmeli mi?d) bir denklik bağıntısı mı?e) bir sıralama bağıntısı mı?
Çözüm:
a) Yansıma: Tüm $a \in A$ için $(a, a)$ çiftlerinin varlığını kontrol edelim. - $(1, 1) \in R$ ✓ - $(2, 2) \in R$ ✓ - $(3, 3) \in R$ ✓ - $(4, 4) \in R$ ✓
Cevap: Evet, yansımalıdır
b) Simetri: Eğer $(a, b) \in R$ ise, $(b, a) \in R$ olup olmadığını kontrol edelim. - $(1, 2) \in R$, ancak $(2, 1) \notin R$
Cevap: Hayır, simetrik değildir
c) Geçişme: Eğer $(a, b) \in R$ ve $(b, c) \in R$ ise, $(a, c) \in R$ olup olmadığını kontrol edelim. - $(1, 2) \in R$ ve $(2, 2) \in R$ $\Rightarrow$ $(1, 2) \in R$ ✓ - $(1, 2) \in R$ ve $(2, 3) \in R$ $\Rightarrow$ $(1, 3) \in R$? Kontrol ediyoruz: $(1, 3) \notin R$ ✗
Cevap: Hayır, geçişmeli değildir
d) Denklik bağıntısı: Yansıma, simetri ve geçişme gerektirir. Bağıntı simetrik ve geçişmeli olmadığından, bu bir denklik bağıntısı değildir.
e) Sıralama bağıntısı: Yansıma, ters simetri ve geçişme gerektirir. - Yansımalı ✓ - Ters simetrik: $(a, b) \in R$ ve $(b, a) \in R$ ise, $a = b$. Kontrol ediyoruz: bu tür tek çiftler $(a, a)$ biçimindedir. ✓ - Geçişmeli değildir (c şıkkından)
Cevap: Hayır, bir sıralama bağıntısı değildir (geçişme olmadığı için)
$A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesi üzerinde denklik bağıntısı veriliyor:$$R = \{(a, b) \mid a \equiv b \pmod{3}\}$$
(yani, $a$ ve $b$, 3 ile bölündüğünde aynı kalanı verir)
Tüm denklik sınıflarını bulunuz.
Önce her eleman için 3 ile bölümünden kalanları bulalım:- $-3 \equiv 0 \pmod{3}$- $-2 \equiv 1 \pmod{3}$- $-1 \equiv 2 \pmod{3}$- $0 \equiv 0 \pmod{3}$- $1 \equiv 1 \pmod{3}$- $2 \equiv 2 \pmod{3}$- $3 \equiv 0 \pmod{3}$- $4 \equiv 1 \pmod{3}$- $5 \equiv 2 \pmod{3}$
Denklik sınıfları:- $[0] = \{-3, 0, 3\}$ (kalan 0)- $[1] = \{-2, 1, 4\}$ (kalan 1)- $[2] = \{-1, 2, 5\}$ (kalan 2)
Cevap: Üç denklik sınıfı: $\{-3, 0, 3\}$, $\{-2, 1, 4\}$, $\{-1, 2, 5\}$
İnsanlar kümesi üzerinde şu bağıntılar tanımlanmıştır:- $R$ = "çocuğudur"- $S$ = "eşidir"
$S \circ R$ bağıntısını ($R$ ve $S$'nin bileşkesi) tanımlayınız.
$(S \circ R)(a, c) \Leftrightarrow \exists b: R(a, b) \text{ и } S(b, c)$
Bu şu anlama gelir: öyle bir $b$ kişisi vardır ki, $a$, $b$'nin çocuğudur ve $b$, $c$'nin eşidir.
Dolayısıyla, $a$, $c$'nin eşinin çocuğudur, yani $a$, $c$'nin üvey oğlu/üvey kızıdır.
Cevap: $S \circ R$ = "üvey oğlu/üvey kızıdır"
$R = \{(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4)\}$ bağıntısı veriliyor.
Bulunuz:a) $R^{-1}$b) $D(R)$ ve $R(\{1, 2, 3, 4\})$c) $D(R^{-1})$ ve $R^{-1}(\{1, 2, 3, 4\})$
a) $R^{-1} = \{(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3)\}$
b) $D(R) = \{1, 2, 3\}$ (tüm birinci bileşenler) $R(\{1, 2, 3, 4\}) = \{2, 3, 4\}$ (tüm ikinci bileşenler)
c) $D(R^{-1}) = \{2, 3, 4\}$ (bu başlangıçtaki bağıntının görüntü kümesidir) $R^{-1}(\{1, 2, 3, 4\}) = \{1, 2, 3\}$ (bu başlangıçtaki bağıntının tanım kümesidir)
$A = \{a, b\}$ kümesinden $B = \{1, 2, 3\}$ kümesine kaç bağıntı tanımlanabilir?
$|A| = 2$, $|B| = 3$$|A \times B| = 2 \cdot 3 = 6$
$A \times B$ kümesinin tüm alt kümelerinin sayısı:$$2^{|A \times B|} = 2^6 = 64$$
Cevap: 64 bağıntı
### Hata 1: Geçişme tanımında karışıklıkYanlış: Eğer $(a, b) \in R$ ise, $(b, a) \in R$.Doğru: Geçişme şunu gerektirir: eğer $(a, b) \in R$ VE $(b, c) \in R$ ise, $(a, c) \in R$.
### Hata 2: Denklik özelliklerinin yanlış uygulanmasıYanlış: Bir bağıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olabilir.Doğru: Bir bağıntı, yalnızca $(a, a)$ biçimindeki çiftleri içeriyorsa aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olabilir.
### Hata 3: Bağıntının boş olabileceğini unutmakYanlış: Boş bağıntı $\emptyset$ hiçbir özelliği sağlamaz.Doğru: Boş bağıntı, boş küme üzerinde yansımalıdır ve boş olmayan bir kümede ters yansımalıdır.
### Hata 4: Bileşkede yanlış sıraYanlış: $R \circ S$, önce $R$, sonra $S$ anlamına gelir.Doğru: $R \circ S$, önce $S$, sonra $R$ anlamına gelir. ($(R \circ S)(a, c) \Leftrightarrow \exists b: S(a, b) \text{ и } R(b, c)$)
### Hata 5: Sıralama bağıntısı ile doğrusal sıralama arasındaki karışıklıkYanlış: Tüm sıralama bağıntıları, herhangi iki elemanın karşılaştırılmasına izin verir.Doğru: Yalnızca doğrusal (tam) sıralama buna izin verir. Kısmi sıralamada, bazı elemanlar karşılaştırılamaz olabilir.
### Hata 6: Denklik sınıfının yanlış tanımıYanlış: Bir $a$ elemanının denklik sınıfı, $a$'ya denk olmayan elemanların kümesidir.Doğru: Bir $a$ elemanının denklik sınıfı, $a$'ya denk olan tüm elemanların kümesidir.
### İpucu 1: Özelliklerin düzenli kontrolüBir bağıntının bir özelliğe sahip olup olmadığını kontrol ederken bir tablo oluşturun:
| Özellik | Tanım | Sonuç ||----------|-------------|-----------|| Yansıma | Tüm $(a,a)$ çiftleri $R$'de | Evet/Hayır || Simetri | $(a,b)$ ise $(b,a)$ | Evet/Hayır || Ters simetri | $(a,b)$ ve $(b,a)$ ise $a=b$ | Evet/Hayır || Geçişme | $(a,b)$ ve $(b,c)$ ise $(a,c)$ | Evet/Hayır |
### İpucu 2: Bağıntının görselleştirilmesiSonlu kümeler için bağıntının grafını çizin. Bu şuna yardımcı olur:- Döngüleri açıkça görmek (yansıma)- Çift yönlü okları bulmak (simetri)- Zincirleri kontrol etmek (geçişme)
Denklik bağıntıları:- Eşitlik- $n$ modülüne göre denklik- "Aynı sayıda elemana sahiptir" (kümeler için)
Sıralama bağıntıları:- "Büyük veya eşittir"- "Alt kümesidir"- "Böler"
### İpucu 4: Karşı örnek kontrolüHer özellik için bir karşı örnek bulun veya olmadığından emin olun:- Yansıma sağlanmıyor mu? $(a, a)$ çifti olmayan bir eleman bulun- Simetri sağlanmıyor mu? $(a, b) \in R$ olan ancak $(b, a) \notin R$ olan bir çift bulun
### İpucu 5: Hasse diyagramlarının kullanımıSıralama bağıntıları için, sıralama yapısını görselleştirmek amacıyla Hasse diyagramını kullanın.
### İpucu 6: İfadelere dikkatBağıntı sorularında şunları tam olarak anlayın:- Bağıntı tek bir küme üzerinde mi yoksa bir kümeden diğerine mi tanımlanıyor?- Çiftler sıralı mıdır?- Hangi evrensel küme kullanılıyor?
### İpucu 7: Gerçek örneklerle pratikBağıntı teorisini gerçek durumlara uygulayın:- Sosyal ağda arkadaşlık (simetrik bağıntı)- Sporcuların sıralaması (sıralama bağıntısı)- Hayvanların sınıflandırılması (denklik bağıntısı)
### İpucu 8: Sonucun kontrolüSoruyu çözdükten sonra kontrol edin:- Gerekli tüm çiftler bulundu mu?- Fazladan çift var mı?- Sonuç, sorunun tüm gerekliliklerini karşılıyor mu?
---
Sonuç
Bağıntılar, kümelerin elemanlarını birbirine bağlayan temel bir kavramdır. Farklı bağıntı türlerini (denklik, sıralama) ve özelliklerini anlamak, YÖS sınavında başarı ve ileri matematiksel araştırmalar için önemlidir.
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.