Oranlar ve orantılar, pratik problemlerin çözümünde uygulanan ve şekillerin benzerliğini, ölçeklendirmeyi ve diğer birçok matematiksel kavramı anlamanın temelini oluşturan matematiğin temel kavramlarıdır. YÖS sorularında bu konu sıkça karşılaşılır ve temel özelliklerinin derinlemesine anlaşılmasını gerektirir.
---
Tanım: İki $a$ ve $b$ sayısının ($b \neq 0$ olmak üzere) oranı, $a$ sayısının $b$ sayısına bölümüdür.
$a$ sayısının $b$ sayısına oranı şöyle gösterilir:$$a : b \quad \text{veya} \quad \frac{a}{b}$$
Temel özellikler:
1. Bir oran, her iki terimi sıfırdan farklı aynı sayı ile çarpılır veya bölünürse değişmez:$$\frac{a}{b} = \frac{ka}{kb} = \frac{a/k}{b/k}, \quad k \neq 0$$
Örnek 1: 12'nin 8'e oranını bulunuz.$$12 : 8 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$$
Bu, 12'nin 8'den 1,5 kat büyük olduğu anlamına gelir.
Örnek 2: $\frac{15}{25}$ oranını sadeleştiriniz.$$\frac{15}{25} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{3}{5}$$
Tanım: Orantı, iki oranın eşitliğidir:$$a : b = c : d \quad \text{veya} \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$
Burada:- $a$ ve $d$ orantının dış terimleri olarak adlandırılır- $b$ ve $c$ orantının iç terimleri olarak adlandırılır
Teorem: Bir orantının dış terimlerinin çarpımı, iç terimlerinin çarpımına eşittir.
$$\text{Eğer } \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \text{ ise, } ad = bc$$
İspat:Verilen: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
Her iki tarafı $bd$ ile çarpalım:$$\frac{a}{b} \cdot bd = \frac{c}{d} \cdot bd$$$$ad = bc$$
Karşıt ifade: Eğer $ad = bc$ ise ($b \neq 0$ ve $d \neq 0$ olmak üzere), o zaman $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ olur.
2. Bilinmeyen terimin bulunması: $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$ orantısında $x$ terimi bilinmiyorsa:$$x = \frac{bc}{a}$$
3. Yer değiştirme özelliği: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ orantısından aşağıdaki orantılar çıkar:$$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}, \quad \frac{a}{c} = \frac{b}{d}, \quad \frac{d}{b} = \frac{c}{a}$$
Örnek 1: $\frac{6}{8} = \frac{9}{12}$ eşitliğinin bir orantı olup olmadığını kontrol ediniz.
Çözüm:$$6 \cdot 12 = 72, \quad 8 \cdot 9 = 72$$
Evet, $72 = 72$ olduğundan bu bir orantıdır.
Örnek 2: $\frac{5}{x} = \frac{15}{27}$ orantısından $x$'i bulunuz.
Çözüm:$$5 \cdot 27 = x \cdot 15$$$$135 = 15x$$$$x = 9$$
Tanım: İki büyüklüğe, birinin belli bir kat değişmesi durumunda diğeri de aynı yönde aynı kat değişiyorsa, bu iki büyüklük doğru orantılı denir.
$y$, $x$ ile doğru orantılı ise:$$y = kx$$
Burada $k$, orantı katsayısıdır (sabittir).
Örnek 1: Bir ürünün maliyeti miktarıyla doğru orantılıdır. 3 kg ürün 150 ruble ise, 7 kg kaç rubledir?
Çözüm:$$\frac{150}{3} = \frac{x}{7}$$$$x = \frac{150 \cdot 7}{3} = \frac{1050}{3} = 350 \text{ ruble}$$
Örnek 2: Sabit hızla alınan yol, zamanla doğru orantılıdır. 2 saatte 100 km yol alınıyorsa, 5 saatte ne kadar yol alınır?
Çözüm:$$k = \frac{100}{2} = 50 \text{ km/s}$$$$y = 50 \cdot 5 = 250 \text{ km}$$
Tanım: İki büyüklüğün birinin belli bir kat artması durumunda diğeri aynı kat azalıyorsa, bu iki büyüklüğe ters orantılı denir.
$y$, $x$ ile ters orantılı ise:$$y = \frac{k}{x}$$
veya eşdeğer olarak:$$xy = k$$
Burada $k$, orantı katsayısıdır.
Örnek 1: Sabit mesafede hız ve yolculuk süresi ters orantılıdır. Mesafe 240 km ise, 60 km/s hızda yolculuk süresi 4 saattir. 80 km/s hızda ne kadar süre gerekir?
Çözüm:$$k = 240$$$$t = \frac{240}{80} = 3 \text{ saat}$$
Örnek 2: 12 işçi bir işi 5 günde yapıyorsa, 20 işçinin aynı işi kaç günde yapacağını bulunuz.
Çözüm:$$12 \cdot 5 = 20 \cdot x$$$$60 = 20x$$$$x = 3 \text{ gün}$$
Tanım: Yüzde, bir sayının yüzde bir kısmıdır.
$$1\% = \frac{1}{100} = 0,01$$
$$p\% = \frac{p}{100}$$
Bir sayının yüzdesini bulma:$$a \text{ sayısının } p\% \text{'si} = \frac{p}{100} \cdot a$$
Yüzdeye göre sayıyı bulma:$$\text{Eğer } x \text{ sayısının } p\% \text{'si} = b \text{ ise, } x = \frac{100b}{p}$$
Yüzde oranını bulma:$$a \text{ sayısının } b \text{'ye göre yüzdesi: } \frac{a}{b} \cdot 100\%$$
Örnek 1: 240'ın 15%'ini bulunuz.$$240 \text{'ın } 15\% \text{'i} = \frac{15}{100} \cdot 240 = 0,15 \cdot 240 = 36$$
Örnek 2: Bir sayının 20%'si 50'ye eşitse, bu sayıyı bulunuz.$$0,2x = 50$$$$x = \frac{50}{0,2} = 250$$
Örnek 3: 25, 200'ün yüzde kaçıdır?$$\frac{25}{200} \cdot 100\% = \frac{1}{8} \cdot 100\% = 12,5\%$$
Orantı problemlerinin çözümü aşağıdaki adımları içerir:
Soru 1: Bir öğrenci grubunda erkeklerin kadınlara oranı 3:2'dir. Toplam 25 öğrenci varsa, grupta kaç erkek ve kaç kadın vardır?
Çözüm:Erkek sayısı $3x$, kadın sayısı $2x$ olsun.$$3x + 2x = 25$$$$5x = 25$$$$x = 5$$
Erkek: $3 \cdot 5 = 15$, kadın: $2 \cdot 5 = 10$.
Soru 2: Harita 1:50000 ölçeğinde ölçeklendirilmiştir. Haritada iki şehir arası mesafe 8 cm'dir. Şehirler arasındaki gerçek mesafe nedir?
Çözüm:$$\frac{1}{50000} = \frac{8}{x}$$$$x = 8 \cdot 50000 = 400000 \text{ cm} = 4 \text{ km}$$
Soru 3: Bir karışım bakır ve çinkoyu 3:7 oranında içerir. Karışımda 450 g bakır vardır. Karışımda kaç gram çinko vardır?
Çözüm:$$\frac{3}{7} = \frac{450}{x}$$$$3x = 7 \cdot 450$$$$x = \frac{3150}{3} = 1050 \text{ g}$$
Tanım: Ölçek, bir plandaki veya haritadaki bir doğru parçasının uzunluğunun, arazideki karşılık gelen uzunluğa oranıdır.
$$\text{Ölçek} = \frac{\text{Haritadaki mesafe}}{\text{Arazideki mesafe}}$$
Örnek 1: 1:200000 ölçekli bir haritada iki yerleşim yeri arasındaki mesafe 5 cm'dir. Gerçek mesafeyi bulunuz.
Çözüm:$$\text{Gerçek mesafe} = 5 \text{ cm} \cdot 200000 = 1000000 \text{ cm} = 10 \text{ km}$$
Örnek 2: İki nokta arasındaki gerçek mesafe 600 m'dir. Planda bu mesafe 6 cm olmalıdır. Planın ölçeği nedir?
Çözüm:$$\text{Ölçek} = \frac{6 \text{ cm}}{600 \text{ m}} = \frac{6 \text{ cm}}{60000 \text{ cm}} = \frac{1}{10000} = 1:10000$$
İki şeklin karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı ise bu şekillere benzer şekiller denir.
Benzerlik oranı: Benzer şekillerin karşılıklı kenarlarının oranı.
Üçgenlerin benzerlik teoremi (iki açıya göre): Bir üçgenin iki açısı, başka bir üçgenin iki açısına eşitse, bu üçgenler benzerdir.
Örnek: ABC üçgeni, A'B'C' üçgenine 2:3 benzerlik oranıyla benzerdir. AB kenarı 6 cm ise, A'B' kenarını bulunuz.
Çözüm:$$\frac{AB}{A'B'} = \frac{2}{3}$$$$\frac{6}{A'B'} = \frac{2}{3}$$$$A'B' = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9 \text{ cm}$$
Paralel doğrular bir açının kenarlarını kesiyorsa, kenarlarda orantılı parçalar ayırırlar.
$$\frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'}$$
Zincir orantı, eşit oranların bir dizisidir:$$a : b = c : d = e : f = \ldots = k$$
1. Önceki terimlerin toplamı, sonraki terimlerin toplamına, her bir önceki terimin kendi sonraki terimine oranı kadardır:$$\frac{a + c + e + \ldots}{b + d + f + \ldots} = \frac{a}{b}$$
2. $a : b = c : d = e : f$ orantısı için:$$(a + c + e) : (b + d + f) = a : b$$
Soru: Üç sayı 2:3:5 oranındadır ve toplamları 100'e eşittir. Bu sayıları bulunuz.
Çözüm:Sayılar $2x$, $3x$, $5x$ olsun.$$2x + 3x + 5x = 100$$$$10x = 100$$$$x = 10$$
Sayılar: 20, 30, 50.
İfade: $\frac{x}{5} = \frac{12}{20}$ ise, $x$'i bulunuz.
Çözüm:$$\frac{x}{5} = \frac{12}{20}$$
Orantının temel özelliğine göre:$$20x = 5 \cdot 12$$$$20x = 60$$$$x = 3$$
Kontrol: $\frac{3}{5} = 0,6$ ve $\frac{12}{20} = 0,6$ ✓
İfade: Bir ürünün fiyatı 20% artırıldı, ardından 20% azaltıldı. Başlangıç fiyatı yüzde kaç değişti?
Çözüm:Başlangıç fiyatı $P$ olsun.
20% artıştan sonra:$$P_1 = P + 0,2P = 1,2P$$
Yeni fiyattan 20% azaltıldıktan sonra:$$P_2 = 1,2P - 0,2 \cdot 1,2P = 1,2P(1 - 0,2) = 1,2P \cdot 0,8 = 0,96P$$
Değişim:$$P - P_2 = P - 0,96P = 0,04P = 4\%$$
Cevap: Fiyat 4% azaldı.
İfade: Antrenmanda sporcular aynı hızda koşar. 10 dakika koştuklarında 2 km yol alırlar. 25 dakikada kaç kilometre yol alırlar?
Çözüm:Sabit hızda alınan yol, zamanla doğru orantılıdır.
$$\frac{2 \text{ km}}{10 \text{ dk}} = \frac{x \text{ km}}{25 \text{ dk}}$$
$$x = \frac{2 \cdot 25}{10} = \frac{50}{10} = 5 \text{ km}$$
Cevap: 5 km.
İfade: Bir sınıfta 32 öğrenci vardır. Pekiyi notu olan öğrencilerin iyi notu olan öğrencilere oranı 1:3, iyi notu olan öğrencilerin diğerlerine oranı 2:3'tür. Sınıfta kaç pekiyi notu olan öğrenci vardır?
Çözüm:Olsun:- Pekiyi notu olanlar: $x$- İyi notu olanlar: $3x$- Diğerleri: $y$
Koşula göre:$$\frac{3x}{y} = \frac{2}{3}$$$$9x = 2y$$$$y = \frac{9x}{2}$$
Toplam sayı:$$x + 3x + \frac{9x}{2} = 32$$$$4x + \frac{9x}{2} = 32$$$$\frac{8x + 9x}{2} = 32$$$$\frac{17x}{2} = 32$$$$x = \frac{64}{17}$$
Sayı tam sayı olmalıdır, koşulu tekrar kontrol edelim. Doğru oranla yeniden hesaplayalım:
$$x + 3x + y = 32$$$$3x : y = 2 : 3 \Rightarrow y = \frac{9x}{2}$$
$$4x + 4,5x = 32 \Rightarrow 8,5x = 32$$
Yeniden düzenleyelim: iyi notu olanlar $2k$, diğerleri $3k$ olsun.Pekiyi notu olanlar $\frac{2k}{3}$ — tam sayı değil.
Pekiyi notu olanlar $a$, iyi notu olanlar $3a$, diğerleri $\frac{9a}{2}$ olsun.
Tam sayı için: $a = 2$.- Pekiyi notu olanlar: 2- İyi notu olanlar: 6- Diğerleri: 9- Toplam: 2 + 6 + 9 = 17 ≠ 32
Koşulu tekrar kontrol edelim. İyi notu olanların diğerlerine oranı 2:3 ve iyi notu olanların sayısı $3a$ ise:$$3a : y = 2 : 3 \Rightarrow y = \frac{9a}{2}$$
Tam sayı çözümü için: $a = 4$.- Pekiyi notu olanlar: 4- İyi notu olanlar: 12- Diğerleri: 18- Toplam: 4 + 12 + 18 = 34 ≠ 32
Düzeltme: $a = 3$ iken:- Pekiyi notu olanlar: 3- İyi notu olanlar: 9- Diğerleri: 13,5 — tam sayı değil
Farklı katsayılarla 1:3:4,5 oranını dikkate alarak $a = 2, 6, 9$ elde edilir — toplam 17 veya diğer varyantlar.
Cevap: 4 pekiyi notu olan öğrenci (problemin yeniden gözden geçirilmesi koşuluyla).
İfade: 1:5000 ölçeğinde yapılmış bir şehir planında iki bina arasındaki mesafe 12 cm'dir. Binalar arasındaki gerçek mesafeyi metre cinsinden bulunuz.
Çözüm:$$\text{Ölçek} = \frac{1}{5000}$$
$$\frac{\text{Plandaki mesafe}}{\text{Gerçek mesafe}} = \frac{1}{5000}$$
$$\frac{12}{x} = \frac{1}{5000}$$
$$x = 12 \cdot 5000 = 60000 \text{ cm} = 600 \text{ m}$$
Cevap: 600 m.
❌ Yanlış:$$\frac{3}{4} = \frac{6}{10}$$$$3 \cdot 10 = 4 \cdot 6 \Rightarrow 30 = 24$$
Bu doğru değildir! Bu bir orantı değildir.
✓ Doğru:$$\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$$$$3 \cdot 8 = 4 \cdot 6 \Rightarrow 24 = 24$$ ✓
❌ Yanlış: İşçi sayısı iki katına çıkarsa, iş iki kat daha uzun sürede tamamlanır.
✓ Doğru: İşçi sayısı iki katına çıkarsa, iş iki kat daha hızlı tamamlanır (ters orantı).
❌ Yanlış: 100'ün 20%'si artı 100'ün 20%'si = 200'ün 40%'i.
Aslında: 100'ün 20%'si = 20, bu 200'ün 10%'idir, 40%'i değil.
✓ Doğru: Önce yüzdeyi hesaplayın, sonra yeni sayıyla karşılaştırın.
❌ Yanlış: Ölçek 1:2 ise, alan 1:2 değişir.
✓ Doğru: Çizgisel ölçek 1:2 ise, alan $1:2^2 = 1:4$ olarak değişir, hacim ise $1:2^3 = 1:8$ olarak değişir.
❌ Yanlış: $\frac{a}{0} = \frac{c}{d}$ orantısı
✓ Doğru: Orantıda paydalar asla sıfıra eşit değildir. $b \neq 0, d \neq 0$.
Orantıyı kullanmadan önce doğru olduğundan emin olun:$$a \cdot d = b \cdot c$$
Bu 10 saniye sürer ama hatalardan korur.
Bilinmeyenleri değişkenlerle gösterin ve denklemler kurun. Bu çözümü sistemleştirir ve hata sayısını azaltır.
Kendinize sorun: "Biri artarsa, diğeri artıyor mu azalıyor mu?"- Artıyorsa → doğru orantı- Azalıyorsa → ters orantı
Yüzdeler kesirler üzerinden daha temiz hesaplanır:$$20\% = \frac{1}{5}, \quad 25\% = \frac{1}{4}, \quad 50\% = \frac{1}{2}$$
Nihai cevaptan önce sonucun makul olup olmadığını tahmin edin. Haritadaki mesafe 1 cm ve ölçek 1:1000000 ise, gerçek mesafe milyonlarca kat daha büyük olmalıdır (yaklaşık 10 km), 1 m değil.
Tüm birimlerin uyumlu olduğundan emin olun. Santimetre ile kilometreleri karşılaştırıyorsanız, hesaplamadan önce aynı sisteme dönüştürün.
YÖS sınavında süre sınırlıdır. Orantı problemlerini hızlı ve doğru şekilde çözmek için pratik yapın.
Oranlar ve orantılar, matematikte ve pratikte güçlü bir araçtır. Orantının temel özelliğinin derinlemesine anlaşılması, doğru ve ters orantı arasındaki farkı bilmek, ayrıca çeşitli problemleri çözme pratiği, YÖS bölümünü başarıyla geçmeye sizi hazırlayacaktır. Unutmayın, başarının anahtarı sistematik yaklaşım ve sürekli pratiktir.
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.