Birinci dereceden eşitsizlikler, eşitsizliklerin özelliklerinin anlaşılmasını ve aralıklarla çalışma becerisini gerektiren, cebirin önemli bir bölümüdür. YÖS sınavında eşitsizlik problemleri yalnızca başlı başına değil, daha karmaşık problemlerin bir parçası olarak da karşımıza çıkar. Bu konunun derinlemesine anlaşılması başarı için kritik öneme sahiptir.
---
Tanım: Eşitsizlik, iki ifade arasında aşağıdaki işaretlerden biriyle gösterilen bir bağıntıdır:- $>$ (büyüktür)- $<$ (küçüktür)- $\geq$ (büyük veya eşittir)- $\leq$ (küçük veya eşittir)
Örnekler:- $3x + 2 > 5$ — kesin (dar) eşitsizlik- $2x - 1 \leq 7$ — kesin olmayan (geniş) eşitsizlik
Kesin eşitsizlikler: $>$ veya $<$ işaretlerini kullanır. Sınır çözüme dahil edilmez.
Kesin olmayan eşitsizlikler: $\geq$ veya $\leq$ işaretlerini kullanır. Sınır çözüme dahil edilir.
Tanım: Bir eşitsizliğin çözümü, eşitsizliği doğru kılan değişkenin tüm değerlerinin kümesidir.
Not: Bir eşitsizliğin çözümü genellikle bir aralık veya aralıkların birleşimi şeklinde gösterilir.
Özellik 1 (Yansıma): Her $a$ için $a \geq a$.
Özellik 2 (Geçişme): Eğer $a > b$ ve $b > c$ ise, $a > c$ olur.
Özellik 3 (Ters simetri): Eğer $a \geq b$ ve $b \geq a$ ise, $a = b$ olur.
Toplama ve çıkarma: Eğer $a > b$ ise, herhangi bir $c$ için $a + c > b + c$ ve $a - c > b - c$.
$$a > b \Rightarrow a + c > b + c$$
Pozitif bir sayı ile çarpma ve bölme: Eğer $a > b$ ve $c > 0$ ise, $ac > bc$ ve $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.
$$a > b, \quad c > 0 \Rightarrow ac > bc$$
Negatif bir sayı ile çarpma ve bölme: Eğer $a > b$ ve $c < 0$ ise, $ac < bc$ ve $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.
ÖNEMLİ: Negatif bir sayı ile çarparken veya bölerken eşitsizliğin yönü değişir!
$$a > b, \quad c < 0 \Rightarrow ac < bc$$
Örnek 1: Eğer $x > 3$ ise, $x + 5 > 8$
Çözüm:$$x > 3$$$$x + 5 > 3 + 5$$$$x + 5 > 8$$
Örnek 2: Eğer $2x < 10$ ise, $x < 5$
Çözüm:$$2x < 10 \quad | \text{2'ye (pozitif sayıya) bölelim}$$$$x < 5$$
Örnek 3: Eğer $-x > 4$ ise, $x < -4$
Çözüm:$$-x > 4 \quad | -1 \text{ (negatif sayı) ile çarpalım}$$$$x < -4 \quad \text{(işaret değişti!)}$$
Tanım: Tek değişkenli doğrusal eşitsizlik şu biçimdedir:$$ax + b > c \quad \text{veya} \quad ax + b < c$$$$ax + b \geq c \quad \text{veya} \quad ax + b \leq c$$
burada $a \neq 0$.
Örnek 1: $3x - 5 > 7$ eşitsizliğini çözün
Çözüm:$$3x > 7 + 5$$$$3x > 12$$$$x > 4$$
Cevap: $x \in (4, +\infty)$
Örnek 2: $-2x + 6 \leq 10$ eşitsizliğini çözün
Çözüm:$$-2x \leq 10 - 6$$$$-2x \leq 4 \quad | -2 \text{'ye bölelim}$$$$x \geq -2 \quad \text{(işaret değişti!)}$$
Cevap: $x \in [-2, +\infty)$
Örnek 3: $\frac{x}{2} + 3 > 5$ eşitsizliğini çözün
Çözüm:$$\frac{x}{2} > 5 - 3$$$$\frac{x}{2} > 2$$$$x > 4$$
Açık aralık: $(a, b)$ — $a$ ile $b$ arasındaki sayıları içerir, ancak uç noktaları içermez.$$x \in (a, b) \Leftrightarrow a < x < b$$
Kapalı aralık: $[a, b]$ — $a$ ile $b$ arasındaki sayıları uç noktalar dahil içerir.$$x \in [a, b] \Leftrightarrow a \leq x \leq b$$
Yarı açık aralıklar:- $[a, b)$: $a \leq x < b$- $(a, b]$: $a < x \leq b$
Sonsuz aralıklar:- $(a, +\infty)$: $x > a$- $[a, +\infty)$: $x \geq a$- $(-\infty, b)$: $x < b$- $(-\infty, b]$: $x \leq b$- $(-\infty, +\infty)$: tüm gerçel sayılar
Sayı doğrusunda:- Boş daire $($ veya $)$ noktanın dahil olmadığını gösterir- Dolu daire $[$ veya $]$ noktanın dahil olduğunu gösterir
Örnek:```x > 3 için:─────●━━━━━━→ 3(3 noktası dahil değil)
x ≤ 5 için:←━━━━━━●───── 5(5 noktası dahil)```
Tanım: Çift eşitsizlik şu biçimdedir:$$a < x < b \quad \text{veya} \quad a \leq x \leq b$$ve benzerleri (kesin ve kesin olmayanların birleşimleri)
Çözüm: Çift eşitsizlik, iki eşitsizlikten oluşan bir sistem olarak çözülebilir veya işlemler aynı anda tüm parçalara uygulanabilir.
Örnek 1: $1 < x + 2 < 5$ eşitsizliğini çözün
Çözüm (eş zamanlı işlemler):$$1 - 2 < x < 5 - 2$$$$-1 < x < 3$$
Cevap: $x \in (-1, 3)$
Örnek 2: $-3 \leq 2x - 1 \leq 7$ eşitsizliğini çözün
Çözüm:$$-3 + 1 \leq 2x \leq 7 + 1$$$$-2 \leq 2x \leq 8$$$$-1 \leq x \leq 4$$
Cevap: $x \in [-1, 4]$
Örnek 3: $0 < \frac{x}{2} + 1 < 3$ eşitsizliğini çözün
Çözüm:$$0 - 1 < \frac{x}{2} < 3 - 1$$$$-1 < \frac{x}{2} < 2$$$$-2 < x < 4$$
Cevap: $x \in (-2, 4)$
Tanım: Eşitsizlik sistemi, aynı anda sağlanması gereken eşitsizliklerden oluşan bir kümedir.
Çözüm: Her eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimidir.
$$\begin{cases}f_1(x) > a_1 \\f_2(x) < a_2\end{cases}$$
Örnek 1:$$\begin{cases}x > 2 \\x < 5\end{cases}$$
Çözüm: $(2, +\infty)$ ile $(-\infty, 5)$'in kesişimi $(2, 5)$'tir.
Cevap: $x \in (2, 5)$
Örnek 2:$$\begin{cases}2x + 1 > 5 \\3x - 2 \leq 10\end{cases}$$
Birincinin çözümü:$$2x > 4 \Rightarrow x > 2$$
İkincinin çözümü:$$3x \leq 12 \Rightarrow x \leq 4$$
Kesişim: $x \in (2, 4]$
Örnek 3:$$\begin{cases}x + 1 > 3 \\x - 2 < 0\end{cases}$$
Birincinin çözümü: $x > 2$İkincinin çözümü: $x < 2$
Kesişim: $\emptyset$ (boş, çözüm yok)
Tanım: Eşitsizlik topluluğu, en az birinin sağlanması gereken eşitsizliklerden oluşan bir kümedir.
Çözüm: Her eşitsizliğin çözüm kümelerinin birleşimidir.
$$\left[\begin{array}{l}f_1(x) > a_1 \\f_2(x) < a_2\end{array}\right.$$
(Soldaki köşeli parantez sistem değil, topluluk olduğunu belirtir)
Örnek 1:$$\left[\begin{array}{l}x < 1 \\x > 3\end{array}\right.$$
Çözüm: $(-\infty, 1)$ ile $(3, +\infty)$'un birleşimi.
Cevap: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$
Örnek 2:$$\left[\begin{array}{l}2x - 1 < 3 \\3x + 2 > 8\end{array}\right.$$
Birincinin çözümü:$$2x < 4 \Rightarrow x < 2$$
İkincinin çözümü:$$3x > 6 \Rightarrow x > 2$$
Birleşim: $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty) = (-\infty, +\infty) \setminus \{2\}$ veya kısaca 2 dışındaki tüm sayılar.
Soru: Verilen eşitsizliği sağlayan tüm tam sayıları bulun.
Örnek 1: $2x - 3 < 5$ eşitsizliğinin tam sayı çözümlerini bulun
Çözüm:$$2x < 8$$$$x < 4$$
4'ten küçük tam sayılar: $\ldots, 1, 2, 3$
Pozitif tam sayılar gerekirse: $1, 2, 3$
Örnek 2: $-1 < x \leq 3$ eşitsizliğinin tam sayı çözümlerini bulun
Çözüm: Eşitsizlik zaten çözülmüş durumda.
$(-1, 3]$ aralığındaki tam sayılar: $0, 1, 2, 3$
Örnek 3: $\frac{x}{2} > -2$ ve $x < 1$ sistemi için tam sayı çözümlerini bulun
Birincinin çözümü: $x > -4$İkincinin çözümü: $x < 1$
Kesişim: $-4 < x < 1$
Tam sayılar: $-3, -2, -1, 0$
Biçim 1: $|x| < a$ ($a > 0$ için)$$|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a$$
Biçim 2: $|x| > a$ ($a > 0$ için)$$|x| > a \Leftrightarrow x < -a \text{ veya } x > a$$
Biçim 3: $|x| \leq a$$$|x| \leq a \Leftrightarrow -a \leq x \leq a$$
Biçim 4: $|x| \geq a$$$|x| \geq a \Leftrightarrow x \leq -a \text{ veya } x \geq a$$
Örnek 1: $|x| < 3$ eşitsizliğini çözün
Çözüm:$$-3 < x < 3$$
Cevap: $x \in (-3, 3)$
Örnek 2: $|x - 2| \leq 4$ eşitsizliğini çözün
Çözüm:$$-4 \leq x - 2 \leq 4$$$$-4 + 2 \leq x \leq 4 + 2$$$$-2 \leq x \leq 6$$
Cevap: $x \in [-2, 6]$
Örnek 3: $|2x + 1| > 5$ eşitsizliğini çözün
Çözüm:$$2x + 1 < -5 \quad \text{veya} \quad 2x + 1 > 5$$$$2x < -6 \quad \text{veya} \quad 2x > 4$$$$x < -3 \quad \text{veya} \quad x > 2$$
Cevap: $x \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty)$
İfade: $5x - 2 > 3x + 6$ eşitsizliğini çözün
Çözüm:$$5x - 3x > 6 + 2$$$$2x > 8$$$$x > 4$$
İfade:$$\begin{cases}3x + 1 > 10 \\2x - 5 < 7\end{cases}$$
Birincinin çözümü:$$3x > 9 \Rightarrow x > 3$$
İkincinin çözümü:$$2x < 12 \Rightarrow x < 6$$
Kesişim: $3 < x < 6$
Cevap: $x \in (3, 6)$
İfade: $-2 < x + 1 \leq 4$ eşitsizliğini sağlayan tüm tam sayıları bulun
Çözüm:$$-2 - 1 < x \leq 4 - 1$$$$-3 < x \leq 3$$
Tam sayılar: $-2, -1, 0, 1, 2, 3$
Cevap: 6 tam sayı
İfade: $|x + 2| \leq 5$ eşitsizliğini çözün
Çözüm:$$-5 \leq x + 2 \leq 5$$$$-7 \leq x \leq 3$$
Cevap: $x \in [-7, 3]$
İfade: $-1 < \frac{2x - 3}{2} < 5$ eşitsizliğini çözün
Çözüm:$$-1 \cdot 2 < 2x - 3 < 5 \cdot 2$$$$-2 < 2x - 3 < 10$$$$-2 + 3 < 2x < 10 + 3$$$$1 < 2x < 13$$$$\frac{1}{2} < x < \frac{13}{2}$$$$0,5 < x < 6,5$$
Cevap: $x \in (0,5; 6,5)$
Yanlış: $-x > 5 \Rightarrow x > -5$
Doğru: $-x > 5 \Rightarrow x < -5$
Yanlış: $|x + 3| < 2 \Rightarrow x + 3 < 2$ (ikinci kısım unutuldu)
Doğru: $|x + 3| < 2 \Leftrightarrow -2 < x + 3 < 2$
Yanlış: Sistem için kesişim yerine birleşim uygulamak.
Doğru: Sistem — kesişim, topluluk — birleşim.
Yanlış: Eşitsizlik kesin olmasına rağmen bölgeyi noktayla birlikte taramak.
Doğru: Kesin eşitsizlikler ($<$ veya $>$) için boş daire, kesin olmayanlar ($\leq$ veya $\geq$) için dolu daire.
Yanlış: $|x| > 3$ eşitsizliğini yalnızca $x > 3$ olarak çözmek.
Doğru: $|x| > 3 \Leftrightarrow x < -3$ veya $x > 3$
Sınır değerinin çözüme dahil olup olmadığını kontrol etmek için bu değeri orijinal eşitsizlikte yerine koyun.
Grafiksel gösterim, çözümü görselleştirmenize yardımcı olur ve hata sayısını azaltır.
Negatif sayılarla çalışırken, özellikle bu sayılarla çarparken/bölerken, işaretlerde hata yapmak kolaydır.
Çeşitli işlemlerde işaret değişikliklerini takip etmek için kendi yönteminizi geliştirin.
Tam sayı çözümlerinin bulunması YÖS'te sıkça karşımıza çıkar, bu yüzden bu konuya özel önem verin.
Emin değilseniz, varsayılan çözümden bir noktayı orijinal eşitsizlikte yerine koyun.
Birinci dereceden eşitsizlikler, cebirde temel ama önemli bir araçtır. Eşitsizliklerin özelliklerinin anlaşılması, aralıklarla çalışabilme, eşitsizlik sistemleri ve topluluklarının çözümü, ayrıca mutlak değerle çalışmanın temel becerileri — bunların hepsi YÖS sorularının başarılı bir şekilde çözümü için gereklidir. Başarının anahtarı; dikkatlilik, sistemli yaklaşım ve özellikle işaretler ile sınır değerleriyle çalışırken sürekli uygulamadır.
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.