Mantık, doğru düşünme ve akıl yürütme bilimidir. YÖS sınavında mantık daha küçük bir bölüm oluştursa da (yaklaşık 14 soru), mantıksal işlemleri, mantık yasalarını ve çıkarım kurallarını anlamak, matematik problemlerini çözme genel yeteneğini geliştirir. Mantık ayrıca teoremlerin ispatlarında ve matematiksel ifadelerin analizinde sıklıkla kullanılır.
---
Tanım: Önerme (hüküm, ifade), doğru ya da yanlış olabilen, ancak aynı anda her ikisi birden olamayan bir cümledir.
Önerme örnekleri:- "2 + 2 = 4" — doğru önerme (D veya True)- "Moskova Fransa'nın başkentidir" — yanlış önerme (Y veya False)- "Dünya yuvarlaktır" — doğru önerme (D)
Önerme olmayan örnekler:- "Ne güzel bir gökyüzü!" — ünlem, önerme değil- "Kapıyı kapat" — komut, önerme değil- "$x > 5$" — açık cümle ($x$ değerine bağlı)
Gösterimler:- D (doğru) veya True veya 1 — önerme doğrudur- Y (yanlış) veya False veya 0 — önerme yanlıştır
İki değerlilik ilkesi: Her önerme iki değerden tam olarak birine sahiptir: D veya Y.
Örnek 1: "5 bir asal sayıdır" — D
Örnek 2: "10 > 20" — Y
Örnek 3: "$x^2 = 4$" — önerme değildir (açık cümle). Ancak bir niceleyici eklersek: "$x^2 = 4$ olacak şekilde bir $x$ vardır" — bu bir önermedir (D).
Tanım: İki $A$ ve $B$ önermesinin ve bağlacı, yalnızca her iki orijinal önerme doğru olduğunda doğru olan yeni bir önermedir.
Gösterim: $A \wedge B$ veya $A$ AND $B$
Doğruluk tablosu:
| $A$ | $B$ | $A \wedge B$ ||-----|-----|-------------|| D | D | D || D | Y | Y || Y | D | Y || Y | Y | Y |
Örnekler:- "6 sayısı çifttir VE 6 sayısı 3'e bölünür" — D (her iki koşul da sağlanmıştır)- "6 sayısı çifttir VE 6 sayısı 5'e bölünür" — Y (ikinci koşul sağlanmamıştır)
Tanım: İki $A$ ve $B$ önermesinin veya bağlacı, orijinal önermelerden en az biri doğru olduğunda doğru olan yeni bir önermedir.
Gösterim: $A \vee B$ veya $A$ OR $B$
| $A$ | $B$ | $A \vee B$ ||-----|-----|-----------|| D | D | D || D | Y | D || Y | D | D || Y | Y | Y |
Örnekler:- "Bugün yağmur yağıyor VEYA bugün kar yağıyor" — bunlardan en az biri gerçekleşiyorsa D- "5 sayısı çifttir VEYA 5 sayısı tektir" — D (ikinci koşul sağlanmıştır)
Tanım: $A$ önermesinin değillemesi, $A$ yanlış olduğunda doğru, $A$ doğru olduğunda yanlış olan yeni bir önermedir.
Gösterim: $\neg A$ veya $\overline{A}$ veya NOT $A$
| $A$ | $\neg A$ ||-----|---------|| D | Y || Y | D |
Örnekler:- DEĞİL "5 sayısı çifttir" = "5 sayısı tektir" — D- DEĞİL "2 > 3" = "2 ≤ 3" — D
Tanım: Koşullu önerme $A \Rightarrow B$ ("eğer $A$ ise, o zaman $B$") yalnızca tek bir durumda yanlıştır: $A$ doğru ve $B$ yanlış olduğunda.
Gösterim: $A \Rightarrow B$ veya $A \to B$
| $A$ | $B$ | $A \Rightarrow B$ ||-----|-----|-----------------|| D | D | D || D | Y | Y || Y | D | D || Y | Y | D |
Terminoloji:- $A$ — öncül (antecedent)- $B$ — sonuç (consequent)
Örnekler:- "Eğer bir sayı 4'e bölünüyorsa, o zaman 2'ye bölünür" — D (doğru sonuç)- "Eğer bir sayı 4'e bölünüyorsa, o zaman tektir" — Y (4'e bölünen çift sayılar vardır)
Tanım: İki $A$ ve $B$ önermesinin denkliği ("$A$ ancak ve ancak $B$"), her iki önerme de aynı doğruluk değerine sahip olduğunda doğrudur.
Gösterim: $A \Leftrightarrow B$ veya $A \equiv B$
| $A$ | $B$ | $A \Leftrightarrow B$ ||-----|-----|--------------------|| D | D | D || D | Y | Y || Y | D | Y || Y | Y | D |
Örnekler:- "Bir sayı 6'ya bölünür ancak ve ancak hem 2'ye hem de 3'e bölünüyorsa" — D- "Bir $n$ sayısı çifttir ancak ve ancak bir $k$ tam sayısı için $n = 2k$ ise" — D
Örnek: $(A \wedge B) \vee \neg C$ için doğruluk tablosunu oluşturun
| $A$ | $B$ | $C$ | $A \wedge B$ | $\neg C$ | $(A \wedge B) \vee \neg C$ ||-----|-----|-----|------------|---------|------------------------|| D | D | D | D | Y | D || D | D | Y | D | D | D || D | Y | D | Y | Y | Y || D | Y | Y | Y | D | D || Y | D | D | Y | Y | Y || Y | D | Y | Y | D | D || Y | Y | D | Y | Y | Y || Y | Y | Y | Y | D | D |
Örnek: $A \vee B \wedge C \Rightarrow D$ ifadesi $(A \vee (B \wedge C)) \Rightarrow D$ anlamına gelir
$$\neg(\neg A) \equiv A$$
Örnek: DEĞİL(DEĞİL "sayı çifttir") = "sayı çifttir"
$$\neg(A \wedge B) \equiv \neg A \vee \neg B$$$$\neg(A \vee B) \equiv \neg A \wedge \neg B$$
Örnekler:- DEĞİL("sayı 2'ye bölünür VE sayı 3'e bölünür") = "sayı 2'ye bölünmez VEYA sayı 3'e bölünmez"- DEĞİL("sayı pozitiftir VEYA sayı sıfırdır") = "sayı negatiftir VE sayı sıfır değildir"
$$A \wedge A \equiv A$$$$A \vee A \equiv A$$
$$A \wedge B \equiv B \wedge A$$$$A \vee B \equiv B \vee A$$
$$(A \wedge B) \wedge C \equiv A \wedge (B \wedge C)$$$$(A \vee B) \vee C \equiv A \vee (B \vee C)$$
$$A \wedge (B \vee C) \equiv (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$$$$A \vee (B \wedge C) \equiv (A \vee B) \wedge (A \vee C)$$
$$A \vee (A \wedge B) \equiv A$$$$A \wedge (A \vee B) \equiv A$$
$$A \vee \text{D} \equiv \text{D}$$$$A \wedge \text{D} \equiv A$$$$A \vee \text{Y} \equiv A$$$$A \wedge \text{Y} \equiv \text{Y}$$
Totoloji: İçerdiği değişkenlerin tüm değerlerinde doğru olan önerme.
Çelişki: İçerdiği değişkenlerin tüm değerlerinde yanlış olan önerme.
Sağlanabilir formül: Değişkenlerin bazı değerlerinde doğru olan önerme.
Totoloji: $A \vee \neg A$ (üçüncü halin olanaksızlığı yasası)
| $A$ | $\neg A$ | $A \vee \neg A$ ||-----|---------|--------------|| D | Y | D || Y | D | D |
Çelişki: $A \wedge \neg A$ (çelişmezlik yasası)
| $A$ | $\neg A$ | $A \wedge \neg A$ ||-----|---------|-----------------|| D | Y | Y || Y | D | Y |
Sağlanabilir formül: $A \vee B$ (en az bir değişken doğru olduğunda doğrudur)
Tanım: $B$ önermesi, $A$ önermesinin (ya da önermeler kümesinin) mantıksal sonucudur; eğer $A$ doğru olduğunda $B$ de her zaman doğru ise.
Gösterim: $A \models B$ veya $A \vdash B$
Koşullu önerme ile ilişki: $A \models B$, $A \Rightarrow B$ ifadesinin totoloji olmasına denktir.
Tanım: $A$ ve $B$ önermeleri, değişkenlerin tüm değerlerinde aynı doğruluk değerine sahipse mantıksal olarak denktir.
Gösterim: $A \equiv B$
Örnekler:- $\neg(A \vee B) \equiv \neg A \wedge \neg B$ (De Morgan yasası)- $A \Rightarrow B \equiv \neg A \vee B$ (koşullu önermenin denkliği)
Modus Ponens:$$\frac{A, A \Rightarrow B}{B}$$
Eğer $A$ doğru ve "$A$ gerektirir $B$" ise, o zaman $B$ doğrudur.
Modus Tollens:$$\frac{\neg B, A \Rightarrow B}{\neg A}$$
Eğer $B$ yanlış ve "$A$ gerektirir $B$" ise, o zaman $A$ yanlıştır.
Hipotetik kıyas:$$\frac{A \Rightarrow B, B \Rightarrow C}{A \Rightarrow C}$$
Tanım: Tümel niceleyici $\forall$ (her), bir kümenin tüm elemanları için geçerli olan ifadeler için kullanılır.
Gösterim: $\forall x: P(x)$ veya $\forall x \in S: P(x)$
Okunuşu: "Her $x$ için $P(x)$ sağlanır" veya "$S$ kümesindeki her $x$ için $P(x)$ sağlanır"
Örnekler:- $\forall x \in \mathbb{R}: x^2 \geq 0$ — "Tüm gerçel sayılar $x$ için $x^2 \geq 0$ doğrudur" — D- $\forall n \in \mathbb{N}: n > 0$ — "Tüm doğal sayılar $n$ için $n > 0$ doğrudur" — D (1'den başlıyorsak)
Tanım: Varlıksal niceleyici $\exists$ (vardır), bir kümenin en az bir elemanı için geçerli olan ifadeler için kullanılır.
Gösterim: $\exists x: P(x)$ veya $\exists x \in S: P(x)$
Okunuşu: "$P(x)$ olacak şekilde bir $x$ vardır" veya "$P(x)$ olacak şekilde $S$ kümesinde bir $x$ vardır"
Örnekler:- $\exists x \in \mathbb{R}: x^2 = 4$ — "$x^2 = 4$ olacak şekilde bir gerçel sayı $x$ vardır" — D (örneğin, $x = 2$)- $\exists x \in \mathbb{R}: x^2 = -1$ — "$x^2 = -1$ olacak şekilde bir gerçel sayı $x$ vardır" — Y
Niceleyiciler için De Morgan yasası:
$$\neg(\forall x: P(x)) \equiv \exists x: \neg P(x)$$
"Her $x$ için $P(x)$ doğrudur" ifadesinin değili, "$P(x)$ doğru olmayan bir $x$ vardır" ifadesine denktir
$$\neg(\exists x: P(x)) \equiv \forall x: \neg P(x)$$
"$P(x)$ doğru olan bir $x$ vardır" ifadesinin değili, "her $x$ için $P(x)$ doğru değildir" ifadesine denktir
Örnekler:- DEĞİL($\forall x \in \mathbb{R}: x > 0$) $\equiv$ $\exists x \in \mathbb{R}: x \leq 0$ — D- DEĞİL($\exists x \in \mathbb{R}: x^2 < 0$) $\equiv$ $\forall x \in \mathbb{R}: x^2 \geq 0$ — D
İfade: Önermenin doğru mu yanlış mı olduğunu belirleyin:"$2 + 2 = 4$ VE $3 > 5$"
Çözüm:- "$2 + 2 = 4$" — D- "$3 > 5$" — Y- D $\wedge$ Y = Y
Cevap: Yanlış
İfade: $A \Rightarrow (B \vee \neg A)$ için doğruluk tablosunu oluşturun
| $A$ | $B$ | $\neg A$ | $B \vee \neg A$ | $A \Rightarrow (B \vee \neg A)$ ||-----|-----|---------|----------------|---------------------------|| D | D | Y | D | D || D | Y | Y | Y | Y || Y | D | D | D | D || Y | Y | D | D | D |
Cevap: Bu sağlanabilir bir formüldür (totoloji de çelişki de değildir).
İfade: $\neg(A \vee (B \wedge C))$ ifadesini sadeleştirin
Çözüm:$$\neg(A \vee (B \wedge C)) \equiv \neg A \wedge \neg(B \wedge C)$$$$\equiv \neg A \wedge (\neg B \vee \neg C)$$
Cevap: $\neg A \wedge (\neg B \vee \neg C)$
İfade: Önermenin değilini yazın:"Tüm doğal sayılar $n$ için $n^2 > n$ doğrudur"
Çözüm:Orijinal: $\forall n \in \mathbb{N}: n^2 > n$
Değil: $\neg(\forall n \in \mathbb{N}: n^2 > n) \equiv \exists n \in \mathbb{N}: n^2 \leq n$
Bu doğrudur: $n = 1$ için $1^2 = 1$ olur, yani $n^2 \leq n$ sağlanır.
Cevap: "$n^2 \leq n$ olacak şekilde bir doğal sayı $n$ vardır"
İfade: "$A \Rightarrow B$" ve "$B \Rightarrow C$" ifadelerinden "$A \Rightarrow C$" sonucu çıkar mı?
Çözüm:Bu hipotetik kıyastır.
$A$'nın doğru olduğunu varsayalım.- $A \Rightarrow B$ ve $A$'nın doğruluğundan, $B$'nin doğru olduğu çıkar.- $B \Rightarrow C$ ve $B$'nin doğruluğundan, $C$'nin doğru olduğu çıkar.- Demek ki $A$'dan $C$ çıkar, yani $A \Rightarrow C$ doğrudur.
Cevap: Evet, doğrudur. $(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C) \vdash (A \Rightarrow C)$
Yanlış: "$A \Rightarrow B$" ve "$A \Leftrightarrow B$" aynı şeydir.
Doğru: - $A \Rightarrow B$ yalnızca $A$ doğru ve $B$ yanlış olduğunda yanlıştır- $A \Leftrightarrow B$ yalnızca $A$ ve $B$ aynı değerlere sahip olduğunda doğrudur
Yanlış: $\neg(A \vee B) = \neg A \vee \neg B$
Doğru: $\neg(A \vee B) = \neg A \wedge \neg B$
Yanlış: "Her" ifadesinin değili "her" olarak kalır.
Doğru: $\neg(\forall x: P(x)) = \exists x: \neg P(x)$
Yanlış: "$A \Rightarrow B$", $A \wedge B$ olarak hesaplanabilir.
Doğru: "$A \Rightarrow B$", $\neg A \vee B$ ifadesine denktir.
Yanlış: "$A \vee B \wedge C$", "$(A \vee B) \wedge C$" olarak yorumlanır.
Doğru: "$A \vee B \wedge C$", "$A \vee (B \wedge C)$" anlamına gelir (ve bağlacının önceliği vardır).
$\wedge$, $\vee$, $\neg$, $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$ için temel doğruluk tabloları mantığın temelidir. Bunları ezberleyin.
Mantıksal formülleri sadeleştirme sorularında sıkça karşımıza çıkarlar.
$A \Rightarrow B \equiv \neg A \vee B$ — bu, dönüşümler için çok yararlıdır.
$\neg \forall = \exists$ ve $\neg \exists = \forall$ — bu sıkça sınanır.
Cevaptan emin değilseniz, tam bir doğruluk tablosu çizin. Bu güvenilir bir yöntemdir.
Karmaşık mantıksal formülleri sadeleştirme becerisi sınavda zaman kazandırır.
Mantık, doğru düşünme disiplinidir ve onun anlaşılması her türlü matematik problemini çözme yeteneğini geliştirir. Basit doğruluk tablolarından karmaşık niceleyicili ifadelere kadar, bu beceriler mantıksal düşünmeyi geliştirir ve akıl yürütmedeki hatalardan kaçınmaya yardımcı olur. Mantık, YÖS sınavının küçük bir bölümünü oluştursa da, onu kavramak matematiksel temellerinizi güçlendirir ve diğer bölümlerdeki daha karmaşık problemlerin çözümüne yardımcı olur. Temel tanımları, yasaları ve kuralları ezberleyin ve doğruluk tabloları oluşturma ile formülleri sadeleştirme konusunda sürekli pratik yapın.
Kursun tüm konuları · Konu soruları
Platformu kullanmak için JavaScript'i etkinleştirin.