Функция $f: A \to B$ — это правило, которое каждому элементу $x$ множества $A$ ставит в соответствие ровно один элемент $f(x)$ множества $B$. Множество $A$ называется областью определения, $B$ — областью значений (кодоменом), а множество фактически принимаемых значений $\{f(x) : x \in A\}$ — множеством значений (образом) функции. В задачах YÖS стандартна запись $f: A \to B$, $f(x) = \ldots$: нужно уметь находить наибольшую возможную область определения по формуле и множество значений при заданной области определения. Если сказано, что $f: A \to B$ — сюръекция (отображение «на»), то $B$ совпадает с множеством значений, то есть найти $B$ — значит найти множество всех значений $f(x)$ при $x \in A$.
Два базовых ограничения при поиске наибольшей области определения: (1) корень чётной степени $\sqrt[2n]{g(x)}$ требует $g(x) \ge 0$; (2) дробь требует, чтобы знаменатель был отличен от нуля. Если под корнем стоит модуль, используйте стандартную равносильность $$|x - a| \le c \iff a - c \le x \le a + c \quad (c \ge 0).$$ Во многих задачах YÖS затем спрашивают число целых значений $x$ из области определения: отрезок $[a, b]$ с целыми концами содержит ровно $b - a + 1$ целых чисел.
Для логарифма $\log_a g(x)$ аргумент должен быть строго положителен: $g(x) > 0$ (а основание — удовлетворять условиям $a > 0$, $a \ne 1$). Корень нечётной степени — совершенно иной случай: $\sqrt[3]{t}$ (и вообще $\sqrt[2n+1]{t}$) определён для любого действительного $t$, включая отрицательные. Поэтому для $$f(x) = \sqrt[3]{\frac{x+2}{x-1}}$$ НЕЛЬЗЯ писать условие знака $\frac{x+2}{x-1} \ge 0$ — единственное ограничение даёт сама дробь: $x - 1 \ne 0$, то есть область определения $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Путаница между корнями нечётной и чётной степени — одна из самых частых ловушек этой подтемы.
Линейная функция $f(x) = mx + b$ при $m > 0$ возрастает, поэтому переводит промежуток в промежуток того же типа: $$f\big((a, c]\big) = \big(f(a),\ f(c)\big].$$ При $m < 0$ функция убывает: концы меняются местами, и типы скобок меняются вместе с ними: $f\big((a, c]\big) = \big[f(c),\ f(a)\big)$. Пример: пусть $f: (-1, 2] \to A$ — сюръекция, $f(x) = 4x - 2$. Так как $m = 4 > 0$: $f(-1) = -6$ (не достигается, круглая скобка) и $f(2) = 6$ (достигается, квадратная скобка), значит $A = (-6, 6]$.
Композиция функций $f$ и $g$ определяется формулой $$(g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big):$$ сначала применяется внутренняя функция $f$, затем к результату применяется $g$. Чтобы вычислить $(g \circ f)(2)$, сначала найдите $f(2)$, затем подставьте полученное число в $g$. Композиция некоммутативна: в общем случае $(g \circ f)(x) \ne (f \circ g)(x)$. В задачах YÖS внутренняя функция часто содержит факториалы или суммы, поэтому помните: $n! = 1 \cdot 2 \cdots n$ и $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$; полностью вычислите их до подстановки во внешнюю функцию.
Функция имеет обратную $f^{-1}$ ровно тогда, когда она взаимно однозначна (каждое значение принимается не более одного раза); на множестве значений обратная функция удовлетворяет $$f^{-1}(b) = a \iff f(a) = b.$$ Алгоритм нахождения $f^{-1}$: (1) записать $y = f(x)$; (2) выразить $x$ из этого уравнения; (3) поменять буквы местами: полученное выражение и есть $f^{-1}(x)$. Полезное сокращение: чтобы найти одно значение, например $f^{-1}(1)$, вся формула не нужна — достаточно решить уравнение $f(x) = 1$. Помните также проверки $f^{-1}(f(x)) = x$, $f(f^{-1}(x)) = x$ и то, что графики $f$ и $f^{-1}$ симметричны относительно прямой $y = x$.
Логарифм и показательная функция с одним основанием взаимно обратны: $$f(x) = \log_a x \implies f^{-1}(x) = a^x, \qquad f(x) = a^x \implies f^{-1}(x) = \log_a x.$$ Например, для $f(x) = \log_5 x$ имеем $f^{-1}(x) = 5^x$. Для сдвинутого логарифма применяем алгоритм: если $f(x) = c + \log_a(x - d)$, то из $y - c = \log_a(x - d)$ получаем $x = d + a^{y - c}$, значит $$f^{-1}(x) = d + a^{x - c}.$$ В частности, для $f(x) = 1 + \log_3(x - 2)$ получаем $f^{-1}(x) = 2 + 3^{x - 1}$. Для упрощения перед обращением полезны тождества $\ln e^{u} = u$ и $\ln a + \ln b = \ln(ab)$.
Кусочная функция задаётся разными формулами на разных частях области определения, например $$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 2 \\ x^2, & x \ge 2 \end{cases}$$ Чтобы вычислить значение в точке, сначала определите, какому условию удовлетворяет аргумент, и используйте только соответствующую ветку: здесь $f(1) = 2$, но $f(2) = 4$. При композиции двух кусочных функций работайте изнутри наружу: полностью вычислите внутреннее значение и только затем выберите ветку внешней функции по этому значению (а не по исходному $x$). Особого внимания требуют граничные точки: всегда проверяйте, строгое неравенство или нет.
По определению $|a| = a$ при $a \ge 0$ и $|a| = -a$ при $a < 0$. Ключевое тождество: $$\sqrt{a^2} = |a|.$$ Пример: $\sqrt{9x^2 - 30x + 25} = \sqrt{(3x-5)^2} = |3x - 5| = |5 - 3x|$ (модуль не зависит от знака аргумента). Чтобы раскрыть сумму модулей, разбейте числовую прямую критическими точками, в которых подмодульные выражения обращаются в нуль. Для $f(x) = |x| + |x - 1|$ критические точки — $0$ и $1$: $$f(x) = \begin{cases} 1 - 2x, & x < 0 \\ 1, & 0 \le x < 1 \\ 2x - 1, & x \ge 1 \end{cases}$$ Чтобы вычислить выражение вида $|2x - \pi| - |x - e|$ в конкретной точке, определите знак каждого подмодульного выражения, используя $\pi \approx 3{,}14$ и $e \approx 2{,}72$: например, при $x = 1$ получаем $|2 - \pi| - |1 - e| = (\pi - 2) - (e - 1) = \pi - e - 1$.
Функция знака определяется так: $$\text{sgn}(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$$ Ключевое тождество, связывающее её с модулем: $$x \cdot \text{sgn}(x) = |x|,$$ оно превращает уравнения со $\text{sgn}$ в уравнения с $|x|$. Другой частый шаблон YÖS — рекуррентное определение с разбором чётности индекса: $$f(n+1) = \begin{cases} 2f(n), & n \text{ нечётно} \\ f(n) + 3, & n \text{ чётно} \end{cases}$$ Вычисляйте по шагам, каждый раз проверяя чётность текущего $n$ (а не $n+1$): при $f(1) = 2$ получаем $f(2) = 2f(1) = 4$ (так как $n = 1$ нечётно), $f(3) = f(2) + 3 = 7$ (так как $n = 2$ чётно), $f(4) = 2f(3) = 14$.
(а) Сколько целых значений $x$ входит в область определения $f(x) = \sqrt{5 - |x + 2|}$? Шаг 1: подкоренное выражение корня чётной степени должно быть неотрицательно: $5 - |x + 2| \ge 0$, то есть $|x + 2| \le 5$. Шаг 2: раскрываем модуль: $-5 \le x + 2 \le 5$, откуда $-7 \le x \le 3$. Шаг 3: считаем целые числа: $3 - (-7) + 1 = 11$. Ответ: $11$. (б) Найдите область определения $f(x) = \sqrt[3]{\dfrac{x+2}{x-1}}$. Кубический корень определён для всех действительных чисел, поэтому условие на знак не нужно; единственное ограничение: $x - 1 \ne 0$. Ответ: $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.
(а) Пусть $f(x) = x! + (1 + 2 + \cdots + x)$ и $g(x) = x^2 - 1$. Найдите $(g \circ f)(2)$. Шаг 1: внутреннее значение: $f(2) = 2! + (1 + 2) = 2 + 3 = 5$. Шаг 2: подставляем во внешнюю функцию: $g(5) = 25 - 1 = 24$. Ответ: $24$. (б) Композиция двух кусочных функций: $$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 2 \\ x^2, & x \ge 2 \end{cases} \qquad g(x) = \begin{cases} 2x, & x \le 3 \\ x - 1, & x > 3 \end{cases}$$ Найдите $(g \circ f)(3)$. Шаг 1: так как $3 \ge 2$, берём вторую ветку $f$: $f(3) = 9$. Шаг 2: ветку $g$ выбираем по значению $9$: так как $9 > 3$, $g(9) = 9 - 1 = 8$. Ответ: $8$.
Пусть $f(x) = \ln 4 + \ln e^{2x - 1}$. Найдите $f^{-1}(1)$. Шаг 1: упрощаем по тождеству $\ln e^{u} = u$: $$f(x) = \ln 4 + 2x - 1.$$ Шаг 2: используем сокращение $f^{-1}(1) = a \iff f(a) = 1$, то есть решаем $\ln 4 + 2x - 1 = 1$. Шаг 3: $2x = 2 - \ln 4 = 2 - 2\ln 2$, откуда $x = 1 - \ln 2$. Ответ: $f^{-1}(1) = 1 - \ln 2$. Проверка: $f(1 - \ln 2) = \ln 4 + 2(1 - \ln 2) - 1 = \ln 4 - 2\ln 2 + 1 = 1$. Обратите внимание, насколько это быстрее вывода полной формулы $f^{-1}(x) = \frac{x + 1 - \ln 4}{2}$ — хотя формула даёт то же значение.
(а) Решите уравнение $x^2 - 2 = x \, \text{sgn}(x)$. Шаг 1: применяем тождество $x \, \text{sgn}(x) = |x|$: уравнение принимает вид $x^2 - 2 = |x|$. Шаг 2: подставляем $t = |x| \ge 0$ и используем $x^2 = |x|^2 = t^2$: $t^2 - t - 2 = 0$, то есть $(t - 2)(t + 1) = 0$, откуда $t = 2$ (корень $t = -1$ отбрасываем, так как $t \ge 0$). Шаг 3: $|x| = 2$ даёт $x = \pm 2$; случай $x = 0$ не подходит, так как $-2 \ne 0$. Ответ: $x \in \{-2, 2\}$. (б) Пусть $f(x) = \dfrac{x}{x + 1}$. Найдите $\prod_{k=1}^{4} f(k)$. Выписываем множители: $$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}.$$ Произведение телескопируется: каждый числитель сокращается с предыдущим знаменателем, остаётся $\frac{1}{5}$. Ответ: $\frac{1}{5}$.
Все темы курса · Задачи по теме
Для работы тренажёра включите JavaScript.