Рассмотрим единичную окружность (радиус $1$) с центром в начале координат. Для угла $x$, отсчитываемого против часовой стрелки от положительного направления горизонтальной оси, конечная сторона пересекает окружность в точке $P=(\cos x,\ \sin x)$. Значит, $\cos x$ — горизонтальная координата, а $\sin x$ — вертикальная координата точки $P$. Остальные функции — отношения: $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ и $\csc x=\frac{1}{\sin x}$. Так как $P$ лежит на окружности, $-1\le\sin x\le 1$ и $-1\le\cos x\le 1$. Знаки зависят от четверти, в которой лежит $P$: в I четверти все функции положительны; во II — только $\sin$ и $\csc$; в III — только $\tan$ и $\cot$; в IV — только $\cos$ и $\sec$.
Угол можно измерять в градусах или в радианах. Полный оборот равен $360^\circ$ или $2\pi$ радиан, поэтому $180^\circ=\pi$ радиан. Переводы используют $1^\circ=\frac{\pi}{180}$ рад и $1\text{ рад}=\frac{180^\circ}{\pi}$. Чтобы перевести, умножают: градусы в радианы — на $\frac{\pi}{180}$, радианы в градусы — на $\frac{180}{\pi}$. Градусы делятся на минуты и секунды (DMS): $1^\circ=60'$ и $1'=60''$, значит $1^\circ=3600''$. Чтобы перевести десятичный градус, например $12.35^\circ$, в DMS: целую часть оставляют градусами, дробную часть умножают на $60$ для минут, а остаток дробных минут — снова на $60$ для секунд.
Основное тригонометрическое тождество верно для любого угла: $$\sin^2 x+\cos^2 x=1.$$ Деля его на $\cos^2 x$ или на $\sin^2 x$, получаем следствия $1+\tan^2 x=\sec^2 x$ и $1+\cot^2 x=\csc^2 x$. Обратные и частные соотношения связывают все шесть функций: $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}$, $\sec x=\frac{1}{\cos x}$, $\csc x=\frac{1}{\sin x}$. Чётность: $\cos$ и $\sec$ чётны, $\sin(-x)=-\sin x$, $\tan(-x)=-\tan x$, $\cot(-x)=-\cot x$, $\csc(-x)=-\csc x$. Эти тождества позволяют выразить любую функцию через другую с точностью до знака, определяемого четвертью.
Для любых углов $a$ и $b$: $$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b,$$ $$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b,$$ $$\tan(a\pm b)=\frac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}.$$ Обратите внимание на знаки: у $\cos$ знак справа противоположен знаку слева, а у $\sin$ — совпадает. Эти формулы позволяют находить значения углов вида $75^\circ=45^\circ+30^\circ$ или $15^\circ=45^\circ-30^\circ$ через известные спецзначения и служат источником формул двойного угла и произведений ниже.
Подставляя $b=a$ в формулы сложения, получаем формулы двойного угла: $$\sin 2x=2\sin x\cos x,\qquad \tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x},$$ $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x.$$ Последние три записи эквивалентны через $\sin^2 x+\cos^2 x=1$. Разрешая их относительно квадратов, получаем формулы понижения степени (половинного угла) $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2},\qquad \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},$$ и при замене $x\to\frac{x}{2}$: $\ \tan\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$.
Суммы одноимённых функций раскладываются в произведения: $$\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2},$$ $$\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2},$$ $$\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2},$$ $$\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}.$$ Обратные формулы превращают произведения в суммы: $$\sin a\cos b=\tfrac{1}{2}\big[\sin(a+b)+\sin(a-b)\big],$$ $$\cos a\cos b=\tfrac{1}{2}\big[\cos(a+b)+\cos(a-b)\big],$$ $$\sin a\sin b=\tfrac{1}{2}\big[\cos(a-b)-\cos(a+b)\big].$$ Например, $\cos 7x+\cos 5x=2\cos 6x\cos x$.
Специальные (опорные) углы стоит запомнить. Для $\sin$: $\sin 0^\circ=0$, $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 90^\circ=1$. Для $\cos$ значения идут в обратном порядке: $\cos 0^\circ=1$, $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$, $\cos 90^\circ=0$. Тогда $\tan=\frac{\sin}{\cos}$ даёт $\tan 0^\circ=0$, $\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\tan 45^\circ=1$, $\tan 60^\circ=\sqrt{3}$, а $\tan 90^\circ$ не определён. В радианах это углы $0,\ \frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{2}$. Например, $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$.
Тригонометрические функции периодичны: у $\sin$ и $\cos$ период $360^\circ$ ($2\pi$), а у $\tan$ и $\cot$ период $180^\circ$ ($\pi$). Поэтому $\sin(x+360^\circ k)=\sin x$ для любого целого $k$; углы, отличающиеся на целое число оборотов, котерминальны и имеют одинаковые значения функций. Чтобы вычислить большой или отрицательный угол, сначала приводят его по модулю $360^\circ$ (или $180^\circ$ для $\tan$) в промежуток $[0^\circ,360^\circ)$. Формулы приведения связывают любой угол с острым опорным углом, например $\sin(180^\circ-x)=\sin x$, $\cos(180^\circ-x)=-\cos x$, $\sin(180^\circ+x)=-\sin x$, $\cos(360^\circ-x)=\cos x$, и сдвиги дополнения $\sin(90^\circ-x)=\cos x$, $\cos(90^\circ-x)=\sin x$, $\tan(90^\circ-x)=\cot x$.
Чтобы обратить тригонометрическую функцию, её область определения сужают так, чтобы она стала взаимно однозначной. Тогда $\arcsin$ (пишут $\sin^{-1}$) имеет область определения $[-1,1]$ и множество значений $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$; $\arccos$ — область $[-1,1]$ и значения $[0,\pi]$; $\arctan$ принимает любые действительные числа и даёт значения $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$. По определению $\arcsin y$ — единственный угол из этого промежутка, синус которого равен $y$. Например, $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{3}$, так как $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{3}\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$; аналогично $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3}$ и $\arctan 1=\frac{\pi}{4}$. Всегда выбирайте значение внутри указанного промежутка, а не любой угол с нужным отношением.
Вычислим $\sin 920^\circ$. Приведём по модулю $360^\circ$: $920^\circ-2\cdot 360^\circ=920^\circ-720^\circ=200^\circ$, поэтому $\sin 920^\circ=\sin 200^\circ$. Угол $200^\circ$ лежит в III четверти, где синус отрицателен, а его опорный угол $200^\circ-180^\circ=20^\circ$. По формуле $\sin(180^\circ+x)=-\sin x$ при $x=20^\circ$ получаем $\sin 200^\circ=-\sin 20^\circ$. Значит, $\sin 920^\circ=-\sin 20^\circ$. Второй случай: $\sin(-2580^\circ)$; так как $-2580^\circ+8\cdot 360^\circ=-2580^\circ+2880^\circ=300^\circ$, имеем $\sin(-2580^\circ)=\sin 300^\circ=-\sin 60^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Переведём $\frac{5\pi}{12}$ радиан в градусы, минуты и секунды. Сначала в градусы: $\frac{5\pi}{12}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\frac{5\cdot 180^\circ}{12}=\frac{900^\circ}{12}=75^\circ$ — точное целое, поэтому $\frac{5\pi}{12}\text{ рад}=75^\circ 0' 0''$. Для нецелого значения, скажем $1.2$ радиана: $1.2\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\approx 68.7549^\circ$. Целая часть — $68^\circ$. Дробную часть умножаем на $60$: $0.7549\cdot 60\approx 45.29'$, то есть $45'$. Остаток $0.29'$ умножаем на $60$: около $17''$. Значит, $1.2\text{ рад}\approx 68^\circ 45' 17''$.
Упростим $\frac{\cos x}{\csc x}+\frac{\sin x}{\sec x}$, а затем $\sec x-\sin x\tan x$. В первом выражении раскроем обратные функции: $\csc x=\frac{1}{\sin x}$, поэтому $\frac{\cos x}{\csc x}=\cos x\sin x$, и $\sec x=\frac{1}{\cos x}$, поэтому $\frac{\sin x}{\sec x}=\sin x\cos x$. Их сумма равна $2\sin x\cos x=\sin 2x$. Во втором приведём всё к знаменателю $\cos x$: $\sec x-\sin x\tan x=\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin^2 x}{\cos x}=\frac{1-\sin^2 x}{\cos x}=\frac{\cos^2 x}{\cos x}=\cos x$, используя $1-\sin^2 x=\cos^2 x$.
Найдём точное значение $\cos 15^\circ$. Запишем $15^\circ=45^\circ-30^\circ$ и применим $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$: $$\cos 15^\circ=\cos 45^\circ\cos 30^\circ+\sin 45^\circ\sin 30^\circ.$$ Подставляя спецзначения $\cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$: $$\cos 15^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$$ Тем же способом с $\sin(a-b)$ получаем $\sin 15^\circ=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
Все темы курса · Задачи по теме
Для работы тренажёра включите JavaScript.