В экзамене YÖS типичная задача даёт тождество вида $$\frac{2x-1}{x^2-3x-4}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+1}$$ и просит найти значение $A+B$, $A-2B$, $A\cdot B$ и т.п. Этот приём называется разложением на простейшие дроби: сложная рациональная дробь записывается как сумма простых дробей, знаменатели которых — множители исходного знаменателя. Это операция, обратная сложению дробей с общим знаменателем. Для решения таких задач нужны два навыка: (1) разложить знаменатель на линейные множители и (2) найти неизвестные постоянные $A$ и $B$. Ниже оба навыка разобраны по шагам.
Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$, то $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).$$ Корни находят через дискриминант: $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, либо (при $a=1$) по теореме Виета: $$x_1+x_2=-b,\qquad x_1\cdot x_2=c.$$ Пример: для $x^2-3x-4$ ищем два числа с суммой $3$ и произведением $-4$; это $4$ и $-1$, поэтому $x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$. Отдельно запомните формулу разности квадратов: $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ например $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
Определение. Если знаменатель раскладывается на *различные* линейные множители, дробь представляется в виде суммы простейших дробей — по одной на каждый множитель, с неизвестной постоянной в числителе: $$\frac{px+q}{(x-x_1)(x-x_2)}=\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}.$$ Это тождество: оно должно выполняться при *любом* допустимом $x$ — именно это позволяет найти $A$ и $B$. Умножив обе части на знаменатель, получаем ключевое рабочее равенство: $$px+q=A(x-x_2)+B(x-x_1).$$ Все методы нахождения $A$ и $B$ начинаются с этого равенства.
Так как равенство $px+q=A(x-x_2)+B(x-x_1)$ верно при любом $x$, можно подставлять *самые удобные* значения — корни знаменателя. Подстановка $x=x_1$ обнуляет слагаемое с $B$ (ведь $x_1-x_1=0$) и даёт уравнение для $A$ в одно действие; подстановка $x=x_2$ так же мгновенно даёт $B$. Это самый быстрый метод — используйте его на экзамене по умолчанию. Его также называют методом «закрытия» (cover-up): чтобы найти $A$, закройте множитель $(x-x_1)$ в исходной дроби и вычислите оставшееся при $x=x_1$: $$A=\frac{px_1+q}{x_1-x_2},\qquad B=\frac{px_2+q}{x_2-x_1}.$$ Система уравнений не нужна.
Раскроем скобки в правой части $px+q=A(x-x_2)+B(x-x_1)$ и сгруппируем по степеням $x$: $$px+q=(A+B)\,x-(Ax_2+Bx_1).$$ Два многочлена тождественно равны, только если равны коэффициенты при одинаковых степенях. Получаем систему: $$A+B=p,\qquad -(Ax_2+Bx_1)=q.$$ Решаем её относительно $A$ и $B$. Этот метод чуть длиннее подстановки, но универсален и особенно удобен, когда в вопросе спрашивают именно *комбинацию* вида $A+B$ — часто первое уравнение системы уже содержит ответ! Совет: используйте сравнение коэффициентов как быструю проверку значений, найденных методом 1.
Определение. Если знаменатель содержит *кратный* линейный множитель, в разложение нужно включить каждую степень этого множителя — от первой до кратности: $$\frac{px+q}{(x+a)^2}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{(x+a)^2}.$$ Типичная ошибка — написать только $\frac{B}{(x+a)^2}$: этого недостаточно! Умножая на $(x+a)^2$, получаем $$px+q=A(x+a)+B.$$ Как найти постоянные: подставьте корень $x=-a$ — сразу получится $B=q-pa$; затем сравните коэффициенты при $x$ — получится $A=p$. То есть при кратном корне оба метода естественно *комбинируются*: подстановка даёт $B$, сравнение коэффициентов даёт $A$.
Если знаменатель, например, $2x^2-x-1$, сначала разложите его. Корни равны $x=1$ и $x=-\frac{1}{2}$, поэтому $2x^2-x-1=2(x-1)\left(x+\frac{1}{2}\right)=(x-1)(2x+1)$. В задачах YÖS разложение обычно записано именно с таким множителем: $$\frac{2x+3}{2x^2-x-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+1}.$$ Техника не меняется: умножаем на $(x-1)(2x+1)$, получаем $2x+3=A(2x+1)+B(x-1)$, затем подставляем корни $x=1$ и $x=-\frac{1}{2}$. Два предупреждения: (1) корень множителя $2x+1$ — это $x=-\frac{1}{2}$, а не $-1$; (2) быстрое правило $A+B=p$ здесь не работает: сравнение коэффициентов при $x$ теперь даёт $2A+B=p$.
Если оба знаменателя справа нормированы (коэффициент при $x$ равен $1$) и множители различны, то $$\frac{px+q}{(x-x_1)(x-x_2)}=\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}\ \Rightarrow\ A+B=p,$$ то есть $A+B$ равно коэффициенту при $x$ в числителе — мгновенно, без вычислений. Проверка: $\frac{2x-1}{(x-4)(x+1)}$ даёт $A+B=2$. Оговорки: (1) если множитель равен $2x+1$ (не нормирован), правило превращается в $2A+B=p$; (2) для кратного корня $\frac{px+q}{(x+a)^2}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{(x+a)^2}$ правило имеет вид $A=p$, а для $A+B$ придётся найти и $B$; (3) если спрашивают $A-2B$ или $A\cdot B$, всё равно нужно найти обе постоянные. Используйте это правило для экономии времени или для проверки ответа.
Задача. Дано $$\frac{2x-1}{x^2-3x-4}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+1},$$ найти $A+B$.
Шаг 1. Раскладываем знаменатель. По Виета: сумма корней $3$, произведение $-4$, значит корни $4$ и $-1$: $x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$.
Шаг 2. Умножаем обе части на $(x-4)(x+1)$: $$2x-1=A(x+1)+B(x-4).$$
Шаг 3. Подставляем корни. При $x=4$: $\ 8-1=A\cdot 5$, откуда $A=\frac{7}{5}$. При $x=-1$: $\ -2-1=B\cdot(-5)$, откуда $B=\frac{3}{5}$.
Шаг 4. Ответ. $A+B=\frac{7}{5}+\frac{3}{5}=2$.
Проверка по быстрому правилу: оба множителя нормированы, поэтому $A+B$ должно равняться коэффициенту при $x$ в числителе, то есть $2$. Совпадает.
Задача. Дано $$\frac{5x-2}{x^2-4}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2},$$ найти $A-2B$.
Шаг 1. Раскладываем: разность квадратов, $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
Шаг 2. Рабочее равенство: $$5x-2=A(x+2)+B(x-2).$$
Шаг 3. Сравниваем коэффициенты. Раскрываем скобки: $5x-2=(A+B)x+(2A-2B)$. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях: $$A+B=5,\qquad 2A-2B=-2\ \Rightarrow\ A-B=-1.$$ Складывая уравнения: $2A=4$, значит $A=2$ и $B=3$.
Шаг 4. Ответ. $A-2B=2-6=-4$.
Проверка подстановкой: при $x=2$: $10-2=4A$, откуда $A=2$; при $x=-2$: $-12=-4B$, откуда $B=3$. Значения совпадают.
Задача. Дано $$\frac{x+3}{(x+2)^2}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{(x+2)^2},$$ найти $A+B$.
Обратите внимание на постановку: корень $x=-2$ кратный, поэтому в разложении присутствуют обе степени $(x+2)$.
Шаг 1. Умножаем обе части на $(x+2)^2$: $$x+3=A(x+2)+B.$$
Шаг 2. Подставляем корень $x=-2$: $\ -2+3=A\cdot 0+B$, значит $B=1$.
Шаг 3. Сравниваем коэффициенты при $x$: слева коэффициент равен $1$, справа — $A$, значит $A=1$. (Можно и подставить любое другое значение, например $x=0$: $3=2A+B=2A+1$, снова $A=1$.)
Шаг 4. Ответ. $A+B=1+1=2$.
Заметьте: здесь коэффициенту при $x$ в числителе равно $A$ (а не $A+B$) — быстрое правило для различных нормированных множителей на кратные корни не переносится.
Задача. Дано $$\frac{2x+3}{2x^2-x-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+1},$$ найти $A$ и $B$.
Шаг 1. Раскладываем знаменатель. Корни $2x^2-x-1=0$: дискриминант $D=1+8=9$, значит $x=\frac{1\pm 3}{4}$, то есть $x=1$ и $x=-\frac{1}{2}$. Отсюда $2x^2-x-1=(x-1)(2x+1)$ (раскройте скобки для проверки).
Шаг 2. Рабочее равенство: $$2x+3=A(2x+1)+B(x-1).$$
Шаг 3. Подставляем корни. При $x=1$: $\ 5=3A$, откуда $A=\frac{5}{3}$. При $x=-\frac{1}{2}$: $\ 2=B\left(-\frac{3}{2}\right)$, откуда $B=-\frac{4}{3}$.
Шаг 4. Проверка по коэффициентам: $2A+B=\frac{10}{3}-\frac{4}{3}=2$ (коэффициент при $x$) и $A-B=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}=3$ (свободный член). Всё сходится. Обратите внимание: здесь $2A+B=2$, а не $A+B$ — ненормированный множитель меняет быстрое правило.
Все темы курса · Задачи по теме
Для работы тренажёра включите JavaScript.