Предел функции описывает значение, к которому стремится $f(x)$, когда $x$ неограниченно приближается к точке $a$. Записывают $\lim_{x\to a} f(x)=L$ и говорят, что $f(x)$ стремится к $L$ при $x\to a$. Важно: функция не обязана быть определена в самой точке $a$ — важно лишь её поведение вблизи $a$. Например, $\frac{x-1}{x^2-6x+5}$ не определена при $x=1$, но предел при $x\to 1$ существует. В задачах YÖS пределы встречаются в нескольких стандартных видах: прямая подстановка, неопределённости вида $\frac{0}{0}$, пределы на бесконечности, замечательные пределы и условия непрерывности с параметрами. Левосторонний предел $\lim_{x\to a^-} f(x)$ — это значение, к которому стремится функция, когда $x$ приближается к $a$ слева (по значениям меньше $a$); правосторонний предел $\lim_{x\to a^+} f(x)$ — по значениям больше $a$. Двусторонний предел существует тогда и только тогда, когда оба односторонних предела существуют и равны: $$\lim_{x\to a} f(x)=L \iff \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=L.$$ Односторонние пределы необходимы при работе с модулем и кусочными функциями. Классический пример: $\lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=1$, а $\lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=-1$, поэтому $\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}$ не существует.
Если $\lim_{x\to a} f(x)=A$ и $\lim_{x\to a} g(x)=B$, то: $$\lim_{x\to a}\bigl(f(x)\pm g(x)\bigr)=A\pm B,\qquad \lim_{x\to a} f(x)\cdot g(x)=A\cdot B,$$ $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\ (B\neq 0),\qquad \lim_{x\to a}\bigl(f(x)\bigr)^n=A^n.$$ Многочлены и все элементарные функции непрерывны на своих областях определения, поэтому их пределы находятся прямой подстановкой. Пример: $\lim_{x\to 2}(x^3-5x+1)=2^3-5\cdot 2+1=8-10+1=-1$. Всегда сначала пробуйте подстановку; специальные приёмы нужны, только если получается неопределённость вида $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$.
Если подстановка $x=a$ даёт $\frac{0}{0}$, значит $(x-a)$ — общий множитель числителя и знаменателя. Разложите оба выражения на множители, сократите $(x-a)$ и снова подставьте. Полезные разложения: $x^2-b^2=(x-b)(x+b)$, квадратный трёхчлен через корни $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, вынесение общего множителя. Пример: $\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-6x+5}=\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{(x-1)(x-5)}=\lim_{x\to 1}\frac{1}{x-5}=-\frac{1}{4}$. Аналогично $3x^2-27=3(x-3)(x+3)$ подготавливает дробь $\frac{3x^2-27}{\sin(x-3)}$ к применению замечательного предела $\frac{\sin t}{t}\to 1$ при $t=x-3$.
Раскрывайте модуль в соответствии со стороной, с которой $x$ приближается к точке: $|x-a|=x-a$ при $x>a$ и $|x-a|=-(x-a)$ при $x<a$. Затем вычисляйте односторонний предел как обычно. Пример: в $\lim_{x\to 3^+}\frac{|x-3|+3x-9}{x^2-3x-4}$ при $x>3$ имеем $|x-3|=x-3$, поэтому числитель равен $(x-3)+3(x-3)=4(x-3)\to 0$, а знаменатель стремится к $9-9-4=-4\neq 0$; значит, предел равен $\frac{0}{-4}=0$. Если в задаче требуется двусторонний предел с модулем, сравните левый и правый результаты: если они различны (как у $\frac{|x|}{x}$ в нуле), предел не существует.
Основные замечательные пределы при $x\to 0$: $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2},$$ $$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1,\qquad \lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a.$$ Правило масштабирования: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin kx}{x}=k$ и $\lim_{x\to 0}\frac{\tan kx}{x}=k$, так как $\frac{\sin kx}{x}=k\cdot\frac{\sin kx}{kx}$. Работают и степени: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin^3 2x}{x^3}=\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}\right)^3=2^3=8$. Для выражений при $x\to\infty$ вида $2x\sin\frac{3}{4x}$ делайте замену $t=\frac{3}{4x}\to 0$: $2x\sin\frac{3}{4x}=\frac{3}{2}\cdot\frac{\sin t}{t}\to\frac{3}{2}$.
Второй замечательный предел: $$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e,\qquad \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^x=e^k,\qquad \lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t}=e.$$ Он раскрывает неопределённость $1^{\infty}$. Метод для $\lim\left(\frac{P(x)}{Q(x)}\right)^{g(x)}$, когда основание стремится к $1$: представьте основание в виде $1+\alpha(x)$, где $\alpha(x)\to 0$; тогда предел равен $e^{L}$, где $L=\lim \alpha(x)\cdot g(x)$. Пример: $\frac{4x+3}{4x+5}=1+\frac{-2}{4x+5}$, поэтому $$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{4x+3}{4x+5}\right)^{12x+3}=e^{\lim \frac{-2(12x+3)}{4x+5}}=e^{-6}.$$
При $x\to\pm\infty$ важны только старшие члены числителя и знаменателя. Для $\frac{a_n x^n+\dots}{b_m x^m+\dots}$: если $n<m$, предел равен $0$; если $n=m$ — равен $\frac{a_n}{b_m}$; если $n>m$ — бесконечен. На этом основаны задачи с параметрами. Пример: найти $a$, при котором $\lim_{x\to-\infty}\frac{(a-2)x^2+x+1}{-3x+1}=-\frac{1}{3}$. Конечный ненулевой предел требует равенства степеней, поэтому член с $x^2$ должен исчезнуть: $a-2=0$, то есть $a=2$. Тогда выражение принимает вид $\frac{x+1}{-3x+1}$ с пределом $\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$, что и требовалось.
Неопределённость $\infty-\infty$ с корнями раскрывается умножением и делением на сопряжённое выражение: $\sqrt{A}-\sqrt{B}=\frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$. Пример: $$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+2x-5}-\sqrt{4x^2+5x+2}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{(4x^2+2x-5)-(4x^2+5x+2)}{\sqrt{4x^2+2x-5}+\sqrt{4x^2+5x+2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{-3x-7}{2x+2x}=-\frac{3}{4},$$ так как при больших $x>0$ каждый корень ведёт себя как $2x$. Полезная формула для $x\to+\infty$: $$\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+b_1x+c_1}\to\frac{b-b_1}{2\sqrt{a}}.$$ Здесь $\frac{2-5}{2\cdot 2}=-\frac{3}{4}$.
Ключевые факты: при $a>1$ имеем $a^x\to\infty$ при $x\to+\infty$ и $a^x\to 0$ при $x\to-\infty$; также $\left(\frac{a}{b}\right)^x\to 0$ при $x\to-\infty$, если $\frac{a}{b}>1$. Стратегия: разделите числитель и знаменатель на член, который НЕ обращается в ноль, и используйте $q^x\to 0$. Пример: $\lim_{x\to-\infty}\frac{5^x-3^{x+2}}{5^x+3^{x-2}}$. Перепишем $3^{x+2}=9\cdot 3^x$ и $3^{x-2}=\frac{1}{9}\cdot 3^x$, затем разделим на $3^x$: $$\lim_{x\to-\infty}\frac{\left(\frac{5}{3}\right)^x-9}{\left(\frac{5}{3}\right)^x+\frac{1}{9}}=\frac{0-9}{0+\frac{1}{9}}=-81,$$ поскольку $\left(\frac{5}{3}\right)^x\to 0$ при $x\to-\infty$. При $x\to+\infty$ делить нужно, наоборот, на степень с наибольшим основанием, то есть на $5^x$.
Функция $f$ непрерывна в точке $x=a$, если выполнены три условия: (1) $f(a)$ определено; (2) $\lim_{x\to a} f(x)$ существует, то есть $\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)$; (3) $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$. У кусочной функции подозрительны только точки смены формулы. Задачи с параметрами: запишите равенства $$\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a)$$ и решите полученную систему относительно параметров (например, $m$ и $n$), затем вычислите требуемую величину, например $m\cdot n$. Элементарные функции (многочлены, $\sin$, $\cos$, $e^x$, корни на своих областях определения) непрерывны всюду, где определены, — это и обосновывает прямую подстановку.
Если подстановка даёт $\frac{c}{0}$ при $c\neq 0$, предел не является конечным: функция неограниченно растёт вблизи точки, и нужно проверить знак с каждой стороны. Пример: $\lim_{x\to 0}\frac{x-2}{x^5}$. Числитель стремится к $-2\neq 0$; знаменатель $x^5\to 0$ и меняет знак в нуле. При $x\to 0^+$: $x^5>0$, дробь стремится к $-\infty$; при $x\to 0^-$: $x^5<0$, дробь стремится к $+\infty$. Односторонние пределы бесконечны и различны, поэтому предел не существует (функция расходится). В тестовых ответах такие случаи формулируются как «предел не существует» или «стремится к бесконечности» — в зависимости от того, согласованы ли стороны.
Пример 1. $\lim_{x\to 2}(x^3-5x+1)$. Многочлен непрерывен, поэтому подставляем: $8-10+1=-1$. Пример 2. $\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-6x+5}$. Подстановка даёт $\frac{0}{0}$. Раскладываем: $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$, сокращаем $(x-1)$: $\lim_{x\to 1}\frac{1}{x-5}=\frac{1}{1-5}=-\frac{1}{4}$. Пример 3. $\lim_{x\to 3}\frac{3x^2-27}{\sin(x-3)}$. Снова $\frac{0}{0}$. Раскладываем числитель: $3x^2-27=3(x-3)(x+3)$, вводим $t=x-3\to 0$: $$\lim_{x\to 3}\frac{3(x-3)(x+3)}{\sin(x-3)}=\lim_{t\to 0}\frac{t}{\sin t}\cdot 3(x+3)=1\cdot 3\cdot 6=18.$$
Пример 1. $\lim_{x\to 0}\frac{\tan 6x+\sin 8x}{2x}$. Разбиваем дробь: $\frac{\tan 6x}{2x}+\frac{\sin 8x}{2x}\to\frac{6}{2}+\frac{8}{2}=3+4=7$. Пример 2. $\lim_{x\to 0}\frac{x\cos x}{e^{2x}-1}$. Записываем как $\cos x\cdot\frac{2x}{e^{2x}-1}\cdot\frac{1}{2}$; так как $\frac{e^{2x}-1}{2x}\to 1$ и $\cos x\to 1$, предел равен $\frac{1}{2}$. Пример 3. $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$ — сразу по стандартной формуле. Пример 4. $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{4x+3}{4x+5}\right)^{12x+3}$: основание $=1+\frac{-2}{4x+5}$, произведение с показателем $\frac{-2(12x+3)}{4x+5}\to\frac{-24x}{4x}=-6$, значит ответ $e^{-6}$.
Пусть $$f(x)=\begin{cases} mx+n, & x<2 \\ 3, & x=2 \\ nx^2-m, & x>2 \end{cases}$$ и известно, что $\lim_{x\to 2} f(x)=f(2)$. Найдите $m\cdot n$. Решение. Непрерывность в точке $x=2$ требует совпадения левого предела, правого предела и значения: левый предел $\lim_{x\to 2^-}(mx+n)=2m+n$; правый предел $\lim_{x\to 2^+}(nx^2-m)=4n-m$; значение $f(2)=3$. Система $2m+n=3$ и $4n-m=3$ даёт $n=3-2m$, откуда $4(3-2m)-m=3$, то есть $12-9m=3$, значит $m=1$ и $n=1$. Следовательно, $m\cdot n=1$. Эта схема — приравнять односторонние пределы к значению функции и решить систему относительно параметров — работает во всех задачах данного типа.
Все темы курса · Задачи по теме
Для работы тренажёра включите JavaScript.