Последовательность — это функция, заданная на натуральных числах: каждому индексу $n = 1, 2, 3, \dots$ соответствует член $a_n$. Формула для $a_n$ называется общим членом. На YÖS проверяются два базовых навыка:
1) Подстановка. Чтобы найти конкретный член, подставьте индекс в формулу. Если $(a_n) = (3n+7)$, то $a_{n+1} = 3(n+1) + 7 = 3n + 10$. Важно: заменяется каждое вхождение $n$ на $n+1$.
2) Поиск индекса. Если известно значение члена, приравняйте общий член к этому значению и решите уравнение относительно индекса. Если $(a_n) = \left(\frac{2n+1}{3n+4}\right)$ и $a_k = \frac{1}{2}$, то $\frac{2k+1}{3k+4} = \frac{1}{2}$, откуда $2(2k+1) = 3k+4$, то есть $4k+2 = 3k+4$, значит $k = 2$. Всегда проверяйте, что ответ — натуральное число.
Запись $\sum_{k=m}^{n} a_k$ означает сумму $a_m + a_{m+1} + \dots + a_n$: индекс $k$ пробегает все целые значения от нижней границы $m$ до верхней границы $n$, а члены складываются.
Число слагаемых: $n - m + 1$. Например, в $\sum_{k=7}^{20} a_k$ ровно $20 - 7 + 1 = 14$ слагаемых.
Буква индекса не важна: $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{i=1}^{n} a_i$. Внимательно следите за нижней границей — суммы часто начинаются с $k = 0$, а не с $k = 1$. Например, $\sum_{k=0}^{8} 2^k$ содержит $9$ слагаемых: $2^0 + 2^1 + \dots + 2^8$.
Константа: константа $c$, сложенная $n - m + 1$ раз, даёт
$$\sum_{k=m}^{n} c = c \cdot (n - m + 1)$$
Пример: $\sum_{k=1}^{5} 2 = 2 \cdot 5 = 10$.
Линейность:
$$\sum_{k=m}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=m}^{n} a_k + \sum_{k=m}^{n} b_k, \qquad \sum_{k=m}^{n} c \, a_k = c \sum_{k=m}^{n} a_k$$
Разбиение диапазона: $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{m} a_k + \sum_{k=m+1}^{n} a_k$. Это позволяет вычислять кусок суммы: $\sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{m-1} a_k$.
Нижняя граница $k = 0$: отделите слагаемое при $k = 0$. Пример: $\sum_{k=0}^{8}(k^2 - 1) = (0 - 1) + \sum_{k=1}^{8}(k^2 - 1)$.
Выучите наизусть три формулы:
$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \qquad \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$
Вместе с линейностью они покрывают большинство экзаменационных сумм. Пример: $\sum_{k=1}^{20}(2k+7) = 2 \cdot \frac{20 \cdot 21}{2} + 7 \cdot 20 = 420 + 140 = 560$.
Кусок суммы — это разность двух полных сумм. Пример:
$$4^2 + 5^2 + \dots + 20^2 = \sum_{k=1}^{20} k^2 - \sum_{k=1}^{3} k^2 = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} - \frac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6} = 2870 - 14 = 2856$$
В арифметической прогрессии каждый член отличается от предыдущего на константу $d$ (разность прогрессии):
$$a_n = a_1 + (n-1)d, \qquad S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$$
Число членов от $a_1$ до $a_n$ с шагом $d$: $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$.
Пример: $1 + 4 + 7 + \dots + 130$. Здесь $a_1 = 1$, $d = 3$, значит $n = \frac{130 - 1}{3} + 1 = 44$ и $S = \frac{(1 + 130) \cdot 44}{2} = 131 \cdot 22 = 2882$.
Знакочередующиеся суммы считаются группировкой в пары: $1 - 2 + 3 - 4 + \dots + 43 - 44 = (1-2) + (3-4) + \dots + (43-44) = 22 \cdot (-1) = -22$, так как всего $44/2 = 22$ пары, каждая равна $-1$. Если последний член без пары — выделите его отдельно.
В геометрической прогрессии каждый член получается умножением предыдущего на постоянный знаменатель $q \ne 1$:
$$a_n = a_1 q^{\,n-1}, \qquad S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$$
Самая частая экзаменационная форма — сумма степеней:
$$\sum_{k=0}^{n} q^k = 1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{q^{\,n+1} - 1}{q - 1}$$
При $q = 2$ формула особенно проста: $\sum_{k=0}^{n} 2^k = 2^{\,n+1} - 1$. Пример: $\sum_{k=0}^{8} 2^k = 2^9 - 1 = 511$ (обратите внимание: $9$ слагаемых, от $2^0$ до $2^8$).
В телескопической сумме каждое слагаемое записывается как разность $f(k) - f(k+1)$; внутренние части сокращаются, остаются только первая и последняя.
Ключевое разложение: $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$, поэтому
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$$
Логарифмический телескоп: так как $1 + \frac{1}{k} = \frac{k+1}{k}$, получаем $\sum_{k=1}^{n} \log_2\left(1 + \frac{1}{k}\right) = \log_2\left(\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdots \frac{n+1}{n}\right) = \log_2(n+1)$.
Телескопическое произведение: та же цепочка дробей сокращается: $\prod_{n=1}^{m}\left(1 + \frac{1}{n+5}\right) = \frac{7}{6} \cdot \frac{8}{7} \cdots \frac{m+6}{m+5} = \frac{m+6}{6}$.
Запись $\prod_{k=m}^{n} a_k = a_m \cdot a_{m+1} \cdots a_n$ обозначает произведение; число множителей снова равно $n - m + 1$. Свойства: $\prod (a_k b_k) = \prod a_k \cdot \prod b_k$ и $\prod_{k=m}^{n} c = c^{\,n-m+1}$.
Ноль-множитель — проверяйте первым делом! Если хотя бы один множитель равен $0$, всё произведение равно $0$. Пример: $\prod_{k=1}^{10} (2k^2 - 7k - 4)$. Раскладываем: $2k^2 - 7k - 4 = (2k+1)(k-4)$, что обращается в ноль при $k = 4$. Так как $4$ лежит в диапазоне $1 \le k \le 10$, произведение равно $0$. Аналогично $\prod \left[(k-24)(k-25)\right] = 0$, как только $k = 24$ или $k = 25$ попадает в диапазон.
Знак произведения из $-1$: $\prod_{k=m}^{n} (-1) = (-1)^{\,n-m+1}$. Пример: $\prod_{k=15}^{41} (-1) = (-1)^{27} = -1$, потому что $41 - 15 + 1 = 27$ — нечётное число. В общем случае знак произведения определяется чётностью числа отрицательных множителей.
Во вложенном (двойном) выражении вычисляйте изнутри наружу: сначала найдите внутреннюю сумму как функцию внешнего индекса, затем выполните внешнюю операцию.
Пример: $\sum_{k=1}^{4} \sum_{m=1}^{k} 2m$. Внутренняя сумма: $\sum_{m=1}^{k} 2m = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1) = k^2 + k$. Внешняя сумма:
$$\sum_{k=1}^{4} (k^2 + k) = 2 + 6 + 12 + 20 = 40$$
Та же стратегия работает, когда произведение содержит сумму, например $\prod_{n=1}^{a} \left(\sum_{k} a_k\right)$: упростите внутреннюю сумму до формулы от $n$, затем посмотрите на произведение — часто оно телескопируется или содержит ноль-множитель.
Если сумма содержит неизвестный параметр или неизвестную верхнюю границу, раскройте сумму по стандартным формулам и решите полученное уравнение.
Неизвестный параметр. $\sum_{n=1}^{20} (2 + na) = 70$. Раскрываем: $\sum_{n=1}^{20} 2 + a \sum_{n=1}^{20} n = 40 + a \cdot \frac{20 \cdot 21}{2} = 40 + 210a$. Тогда $40 + 210a = 70$, откуда $a = \frac{30}{210} = \frac{1}{7}$.
Неизвестная верхняя граница. $\sum_{k=7}^{n} (k+3) = 46$. Слагаемые: $10, 11, 12, \dots$ При небольших суммах просто складывайте: $10 + 11 + 12 + 13 = 46$ — четыре слагаемых, значит $n = 7 + 4 - 1 = 10$. При больших суммах используйте $S = \frac{(a_1 + a_n) \cdot (n - m + 1)}{2}$ и решайте квадратное уравнение; оставляйте только натуральный корень, не меньший нижней границы.
Задача. Дана последовательность $(a_n) = \left(\frac{2n+1}{3n+4}\right)$. Известно, что $a_k = \frac{1}{2}$. Найдите $k$.
Решение.
Шаг 1. Подставляем $n = k$ и приравниваем общий член к $\frac{1}{2}$: $\frac{2k+1}{3k+4} = \frac{1}{2}$.
Шаг 2. Перемножаем крест-накрест: $2(2k+1) = 3k+4$, то есть $4k + 2 = 3k + 4$.
Шаг 3. Решаем: $k = 2$.
Шаг 4. Проверка: $a_2 = \frac{2 \cdot 2 + 1}{3 \cdot 2 + 4} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Ответ: $k = 2$.
Аналогично, для $(a_n) = (3n+7)$ следующий член получается подстановкой $n+1$: $a_{n+1} = 3(n+1) + 7 = 3n + 10$.
Задача. Вычислите $\sum_{k=0}^{8} (k^2 - 1)$.
Шаг 1. Считаем слагаемые: от $k = 0$ до $k = 8$ их $8 - 0 + 1 = 9$.
Шаг 2. Используем линейность: $\sum_{k=0}^{8} (k^2 - 1) = \sum_{k=0}^{8} k^2 - \sum_{k=0}^{8} 1 = \sum_{k=0}^{8} k^2 - 9$.
Шаг 3. Слагаемое при $k = 0$ даёт $0$ в сумме квадратов, поэтому $\sum_{k=0}^{8} k^2 = \sum_{k=1}^{8} k^2 = \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = 204$.
Шаг 4. Итог: $204 - 9 = 195$. Ответ: $195$.
Тем же методом: $\sum_{k=1}^{20}(2k+7) = 2 \cdot \frac{20 \cdot 21}{2} + 7 \cdot 20 = 560$.
Задача A. Вычислите $\sum_{k=1}^{15} \log_2\left(1 + \frac{1}{k}\right)$.
Шаг 1. Преобразуем: $1 + \frac{1}{k} = \frac{k+1}{k}$, а сумма логарифмов — это логарифм произведения.
Шаг 2. Произведение телескопируется: $\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdots \frac{16}{15} = 16$.
Шаг 3. $\log_2 16 = 4$. Ответ: $4$.
Задача B. Вычислите $\prod_{k=15}^{41} (-1)$.
Шаг 1. Число множителей: $41 - 15 + 1 = 27$.
Шаг 2. $(-1)^{27} = -1$, так как $27$ нечётно. Ответ: $-1$.
Задача A. Известно, что $\sum_{n=1}^{20} (2 + na) = 70$. Найдите $a$.
Шаг 1. Разбиваем по линейности: $\sum_{n=1}^{20} 2 + a \sum_{n=1}^{20} n$.
Шаг 2. Считаем части: $\sum_{n=1}^{20} 2 = 40$ и $\sum_{n=1}^{20} n = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$.
Шаг 3. Решаем $40 + 210a = 70$: $210a = 30$, значит $a = \frac{1}{7}$. Ответ: $a = \frac{1}{7}$.
Задача B. Вычислите $\sum_{k=1}^{4} \sum_{m=1}^{k} 2m$.
Шаг 1. Внутренняя сумма: $\sum_{m=1}^{k} 2m = k(k+1)$.
Шаг 2. Внешняя сумма: $\sum_{k=1}^{4} k(k+1) = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 = 2 + 6 + 12 + 20 = 40$. Ответ: $40$.
Все темы курса · Задачи по теме
Для работы тренажёра включите JavaScript.