ПараболаГрафик квадратичной функцииГрафик квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ (где $a \neq 0$) — это кривая, которая называется параболой.Направление ветвей зависит от знака старшего коэффициента $a$:

Если $a > 0$, ветви направлены вверх — у параболы есть самая нижняя точка, значит функция имеет минимум.

Если $a < 0$, ветви направлены вниз — у параболы есть самая верхняя точка, значит функция имеет максимум.

Например, $y = 2x^2 + 3x - 2$ имеет ветви вверх ($a = 2 > 0$), а $f(x) = -x^2 + 5x - 6$ — ветви вниз ($a = -1 < 0$).Парабола симметрична относительно вертикальной прямой — оси симметрии, которая проходит через её точку поворота — вершину.Вершина параболыВершина $T(r, k)$ параболы $f(x) = ax^2 + bx + c$ — это её точка поворота (в турецких экзаменах — *tepe noktası*). Её координаты:$$r = -\frac{b}{2a}, \qquad k = f(r) = \frac{4ac - b^2}{4a}$$На практике проще всего найти $k$ подстановкой $x = r$ в функцию: $k = f(r)$.Пример: для $f(x) = x^2 + 2x + 1$ с вершиной $T(r, k)$:$$r = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1, \qquad k = f(-1) = 1 - 2 + 1 = 0$$Значит $T(-1, 0)$ и произведение $r \cdot k = (-1) \cdot 0 = 0$.Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = r$.Минимум и максимум квадратичной функцииЭкстремальное значение $f(x) = ax^2 + bx + c$ всегда достигается в вершине, то есть при $x = r = -\frac{b}{2a}$:$$f_{\text{min/max}} = f\left(-\frac{b}{2a}\right) = \frac{4ac - b^2}{4a}$$

Если $a > 0$: функция имеет минимум, равный $k$, максимума нет.

Если $a < 0$: функция имеет максимум, равный $k$, минимума нет.

Быстрый алгоритм:
1. Найти $r = -\frac{b}{2a}$.
2. Найти $k = f(r)$ — это минимум (при $a > 0$) или максимум (при $a < 0$).Для $y = 2x^2 + 3x - 2$: $r = -\frac{3}{4}$, минимум равен $y\left(-\frac{3}{4}\right) = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} - 2 = -\frac{25}{8}$.Факторизованный вид и корниЕсли квадратичная функция имеет корни $x_1$ и $x_2$ (то есть $f(x_1) = f(x_2) = 0$), её можно записать в факторизованном виде:$$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$Ключевые факты:

Абсцисса вершины лежит ровно посередине между корнями: $r = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

По теореме Виета для $f(x) = ax^2 + bx + c$: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ и $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Типовая задача: если $f(x) = x^2 + bx + c$ и $f(1) = f(2) = 0$, то $f(x) = (x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$, откуда $b = -3$, $c = 2$ и $b + c = -1$.Нахождение параметра по вершине или экстремумуВо многих задачах YÖS дана вершина или значение max/min, а найти нужно неизвестный параметр. Две стандартные схемы:1. Дана абсцисса вершины. Если вершина $f(x) = ax^2 + bx + c$ находится при $x = r_0$, используйте уравнение$$-\frac{b}{2a} = r_0$$Для $f(x) = mx^2 - (2m-8)x + 1$ с вершиной при $x = -1$: $\frac{2m-8}{2m} = -1 \Rightarrow 2m - 8 = -2m \Rightarrow m = 2$.2. Дано значение max/min. Если $\max f = k_0$ (или $\min f = k_0$), сначала найдите $r = -\frac{b}{2a}$, затем решите уравнение$$f(r) = k_0$$Если вершина задана как $T(r_0, k_0)$, например $T(1, t)$ или $T(2, k)$, подставляйте: неизвестная ордината — это просто $k = f(r_0)$ после того, как параметр найден из $-\frac{b}{2a} = r_0$.Максимум произведения линейных выраженийЕсли $A$ и $B$ — линейные выражения от $x$, то их произведение $A \cdot B$ — квадратичная функция, то есть парабола. Чтобы найти $\max(A \cdot B)$ или $\min(A \cdot B)$:

Раскройте скобки или найдите корни произведения (каждый линейный множитель даёт один корень).

Экстремум находится посередине корней: $r = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

Подставьте $x = r$ в $A \cdot B$.

Полезный приём: если сумма $A + B$ постоянна, произведение $A \cdot B$ максимально при $A = B$ (это происходит ровно посередине между корнями).Для $A = 2x - 12$ и $B = -2x + 24$: сумма $A + B = 12$ постоянна, значит максимум при $A = B = 6$, откуда $\max(A \cdot B) = 36$.Парабола и прямая: пересечение и касаниеЧтобы исследовать взаимное расположение параболы $y = ax^2 + bx + c$ и прямой $y = mx + n$, приравняйте их:$$ax^2 + bx + c = mx + n \;\Rightarrow\; ax^2 + (b - m)x + (c - n) = 0$$Пусть $D$ — дискриминант этого квадратного уравнения:

$D > 0$ — прямая пересекает параболу в двух точках;

$D = 0$ — прямая касается параболы (ровно одна общая точка);

$D < 0$ — общих точек нет.

Условие касания: $D = 0$. Это ключевое уравнение в задачах вида «прямая $y = 3x + 1$ касается $y = x^2 - kx + 10$; найдите $k$» — обычно получается квадратное уравнение относительно параметра, и часто спрашивают сумму его решений (по Виета: сумма значений $k$ равна $-\frac{b}{a}$ этого уравнения).Точки пересечения с осями координатДля параболы $y = ax^2 + bx + c$:

Пересечение с осью $y$: подставьте $x = 0$, получится точка $(0, c)$. Такая точка всегда ровно одна.

Пересечение с осью $x$: подставьте $y = 0$ и решите $ax^2 + bx + c = 0$. Число точек определяется дискриминантом $D = b^2 - 4ac$:

$D > 0$ — две точки $(x_1, 0)$ и $(x_2, 0)$;

$D = 0$ — одна точка: парабола касается оси $x$ своей вершиной;

$D < 0$ — парабола не пересекает ось $x$.

Замечание: если $D = 0$, то $f(x) = a(x - r)^2$, и минимальное (или максимальное) значение функции равно $0$. Пример: $f(x) = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$ касается оси $x$ в точке $(-1, 0)$.Пример 1: значения минимума и максимумаЗадача. Найдите минимальное значение $f(x) = x^2 - 4x + 3$ и максимальное значение $g(x) = -x^2 + 5x - 6$.Решение.Для $f(x) = x^2 - 4x + 3$: здесь $a = 1 > 0$, значит у функции есть минимум.$$r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2, \qquad f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$$Значит $\min f = -1$.Для $g(x) = -x^2 + 5x - 6$: здесь $a = -1 < 0$, значит у функции есть максимум.$$r = -\frac{5}{2 \cdot (-1)} = \frac{5}{2}, \qquad g\left(\frac{5}{2}\right) = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} - 6 = \frac{1}{4}$$Значит $\max g = \frac{1}{4}$.Ответ: $\min f = -1$, $\max g = \frac{1}{4}$.Пример 2: параметр из значения максимумаЗадача. Максимальное значение $f(x) = -x^2 + 8x + n$ равно $3$. Найдите $n$.Решение.Так как $a = -1 < 0$, у функции действительно есть максимум, достигаемый при$$r = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = 4$$Максимальное значение равно$$f(4) = -16 + 32 + n = 16 + n$$По условию $16 + n = 3$, откуда$$n = -13$$Ответ: $n = -13$.Та же схема работает для любой задачи вида «$\max f = 4$, найдите $m$»: найдите $r$, подставьте, приравняйте $f(r)$ к данному значению.Пример 3: параметр по положению вершиныЗадача. Вершина параболы $f(x) = mx^2 - (2m - 8)x + 1$ находится при $x = -1$. Найдите $m$.Решение.Здесь $a = m$ и $b = -(2m - 8)$. Абсцисса вершины:$$r = -\frac{b}{2a} = \frac{2m - 8}{2m}$$По условию $r = -1$:$$\frac{2m - 8}{2m} = -1 \;\Rightarrow\; 2m - 8 = -2m \;\Rightarrow\; 4m = 8 \;\Rightarrow\; m = 2$$Ответ: $m = 2$.Проверка: при $m = 2$ получаем $f(x) = 2x^2 + 4x + 1$ и $r = -\frac{4}{4} = -1$. Верно. Если бы в задаче также спрашивали ординату вершины $T(-1, k)$, мы бы вычислили $k = f(-1) = 2 - 4 + 1 = -1$.Пример 4: максимум произведенияЗадача. Даны $A = 2x - 12$ и $B = -2x + 24$. Найдите максимальное значение $A \cdot B$.Решение.Произведение — квадратичная функция от $x$:$$A \cdot B = (2x - 12)(-2x + 24) = -4x^2 + 72x - 288$$Так как $a = -4 < 0$, произведение имеет максимум. Его корни: $x_1 = 6$ (из $A = 0$) и $x_2 = 12$ (из $B = 0$), значит вершина посередине:$$r = \frac{6 + 12}{2} = 9$$При $x = 9$: $A = 2 \cdot 9 - 12 = 6$ и $B = -2 \cdot 9 + 24 = 6$, следовательно$$\max(A \cdot B) = 6 \cdot 6 = 36$$Ответ: $36$.Приём: сумма $A + B = 12$ постоянна, поэтому максимум произведения достигается при $A = B = 6$, что сразу даёт $36$. В комбинированных задачах вида $\max(B) + \min(A)$ на заданном промежутке вычисляйте каждую величину отдельно тем же методом вершины или по концам промежутка.Пример 5: касание прямой и параболыЗадача. Прямая $y = 3x + 1$ касается параболы $y = x^2 - kx + 10$. Найдите сумму всех возможных значений $k$.Решение.Приравняем выражения:$$x^2 - kx + 10 = 3x + 1 \;\Rightarrow\; x^2 - (k + 3)x + 9 = 0$$Касание означает ровно одну общую точку, то есть $D = 0$:$$D = (k + 3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = (k + 3)^2 - 36 = 0$$Отсюда $(k + 3)^2 = 36$, значит $k + 3 = 6$ или $k + 3 = -6$, то есть$$k_1 = 3, \qquad k_2 = -9$$Сумма всех значений: $k_1 + k_2 = 3 + (-9) = -6$.Ответ: $-6$.Все темы курса · Задачи по темеДля работы тренажёра включите JavaScript.