Квадратным неравенством называется неравенство вида $ax^2+bx+c>0$ (или со знаками $\ge$, $<$, $\le$), где $a\ne 0$. Ключ к решению — знание знака трёхчлена $y=ax^2+bx+c$. Этот знак полностью определяется двумя вещами: дискриминантом $D=b^2-4ac$ и знаком старшего коэффициента $a$ (направлением ветвей параболы). Если $D>0$, парабола пересекает ось $x$ в двух точках $x_1<x_2$, и трёхчлен меняет знак в этих точках. Если $D=0$, парабола касается оси в одной точке $x_0=-\frac{b}{2a}$ и знак не меняет. Если $D<0$, парабола вообще не пересекает ось, поэтому трёхчлен при всех действительных $x$ имеет знак числа $a$.
Пусть $D=b^2-4ac$, а при $D>0$ корни $x_1<x_2$.$$D>0,\ a>0:\quad ax^2+bx+c>0 \iff x<x_1 \ \text{или}\ x>x_2,\qquad ax^2+bx+c<0 \iff x_1<x<x_2$$$$D>0,\ a<0:\quad ax^2+bx+c>0 \iff x_1<x<x_2,\qquad ax^2+bx+c<0 \iff x<x_1 \ \text{или}\ x>x_2$$$$D=0:\quad ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 \ \text{имеет знак}\ a \ \text{при всех}\ x\ne -\frac{b}{2a},\ \text{а при}\ x=-\frac{b}{2a}\ \text{равен}\ 0$$$$D<0,\ a>0:\quad ax^2+bx+c>0 \ \text{при всех}\ x\in\mathbb{R};\qquad D<0,\ a<0:\quad ax^2+bx+c<0 \ \text{при всех}\ x\in\mathbb{R}$$Следствие: при $D<0$ неравенство со знаком, совпадающим со знаком $a$, имеет решение $\mathbb{R}$, а противоположное неравенство решений не имеет ($\varnothing$).
Алгоритм: 1) приведите неравенство к виду сравнения $ax^2+bx+c$ с нулём; 2) вычислите $D$; 3) если $D>0$ — найдите корни и используйте эскиз параболы; 4) если $D\le 0$ — ответ сразу следует из знака $a$. В задачах YÖS случай $D<0$ встречается очень часто. Пример: $x^2-x+1>0$: здесь $D=1-4=-3<0$ и $a=1>0$, значит трёхчлен положителен всюду и ответ $x\in\mathbb{R}$. Пример: $x^2-x+6<0$: здесь $D=1-24=-23<0$ и $a>0$, значит трёхчлен всегда положителен и отрицательным быть не может: решений нет, $\varnothing$. Не тратьте время на попытки разложить такой трёхчлен на множители — сначала проверьте $D$.
Метод интервалов решает любое неравенство вида сравнения $\frac{P(x)}{Q(x)}$ с нулём, где $P$ и $Q$ — произведения множителей. Шаги: 1) перенесите всё в одну сторону так, чтобы справа был $0$; 2) разложите числитель и знаменатель на множители; 3) найдите все нули числителя и знаменателя — это критические точки; 4) отметьте их на числовой прямой: нули числителя — закрашенные точки при $\ge,\le$ и выколотые при $>,<$; нули знаменателя — ВСЕГДА выколотые; 5) определите знак на самом правом промежутке (подставьте большое пробное значение $x$); 6) двигаясь влево, знак чередуется при переходе через точку нечётной кратности и сохраняется в точке чётной кратности; 7) выберите промежутки с нужным знаком.
Если множитель $(x-a)^n$ имеет нечётный показатель $n$, выражение меняет знак в точке $x=a$; если $n$ чётный — знак не меняется (точка лишь даёт значение $0$, если это нуль числителя). При огромных показателях важна только чётность: $(x-1)^{1938}$ ведёт себя как $(x-1)^2$, а $(2-x)^{1881}$ — как $(2-x)$. Следите за знакопостоянными множителями: $x^2+4>0$ и $x^2+x+1>0$ при всех $x$ (так как $D<0$), а $-x^2-4=-(x^2+4)<0$ при всех $x$. Такой множитель можно убрать из неравенства; если он отрицателен — поменяйте знак неравенства. Полезные разложения: $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, где второй множитель всегда положителен, и $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Наконец, чистый квадрат вида $\frac{(x-2)^2}{(x+3)^2}$ автоматически $\ge 0$: неравенство $\ge 0$ выполняется при всех $x$ из области определения, то есть при всех $x\ne -3$.
Самая частая ошибка — умножить обе части на знаменатель. Знаменатель содержит $x$, его знак неизвестен, поэтому при умножении знак неравенства то ли меняется, то ли нет — НИКОГДА так не делайте. Правильный метод: перенести всё в одну сторону и привести к одной дроби. Пример: $\frac{x}{x+2}\le\frac{1}{x}$ НЕЛЬЗЯ превращать в $x^2\le x+2$; вместо этого пишем $\frac{x}{x+2}-\frac{1}{x}\le 0$, то есть $\frac{x^2-(x+2)}{x(x+2)}\le 0$, то есть $\frac{(x-2)(x+1)}{x(x+2)}\le 0$, и применяем метод интервалов. Правило граничных точек: нули числителя включаются при знаках $\ge$ и $\le$; нули знаменателя (здесь $x=0$ и $x=-2$) исключаются ВСЕГДА, даже при $\ge$ и $\le$, потому что деление на нуль не определено.
Двойное неравенство $A\le f(x)\le B$ — это система из двух неравенств, которые должны выполняться одновременно: $f(x)\ge A$ И $f(x)\le B$. Решите каждое отдельно и пересеките ответы. Схема для $-2\le x^2-2x-5\le 10$: левая часть даёт $x^2-2x-3\ge 0$, то есть $(x-3)(x+1)\ge 0$, откуда $x\le -1$ или $x\ge 3$; правая часть даёт $x^2-2x-15\le 0$, то есть $(x-5)(x+3)\le 0$, откуда $-3\le x\le 5$. Пересечение двух множеств — итоговый ответ: $[-3,-1]\cup[3,5]$. Нельзя решать двойное неравенство с квадратичной серединой «цепочкой», как линейное.
Для $\sqrt{f(x)}<a$ при $a>0$ должны выполняться одновременно два условия: ОДЗ $f(x)\ge 0$ (подкоренное выражение неотрицательно) и, после возведения обеих неотрицательных частей в квадрат, $f(x)<a^2$. Итак, $\sqrt{f(x)}<a \iff 0\le f(x)<a^2$. Пример: $\sqrt{x^2+3x-4}<6$. ОДЗ: $x^2+3x-4\ge 0$, то есть $(x+4)(x-1)\ge 0$, откуда $x\le -4$ или $x\ge 1$. Возведение в квадрат: $x^2+3x-4<36$, то есть $x^2+3x-40<0$, то есть $(x+8)(x-5)<0$, откуда $-8<x<5$. Пересекая оба условия, получаем $x\in(-8,-4]\cup[1,5)$. Замечание: для $\sqrt{f(x)}>a$ при $a\ge 0$ ответ просто $f(x)>a^2$ (ОДЗ выполняется автоматически).
Стандартные формулировки YÖS. 1) Условие «$ax^2+bx+c>0$ при всех $x\in\mathbb{R}$» равносильно $a>0$ и $D<0$ (парабола ветвями вверх целиком над осью). Аналогично отрицательность при всех $x$ равносильна $a<0$ и $D<0$. 2) Уравнение имеет два различных действительных корня $\iff D>0$; не имеет действительных корней $\iff D<0$; имеет кратный корень $\iff D=0$. Пример: найти все $m$, при которых $x^2-(m+2)x+7>0$ для любого $x$. Здесь $a=1>0$, поэтому нужно $D<0$: $(m+2)^2-4\cdot 7<0$, то есть $(m+2)^2<28$, то есть $|m+2|<2\sqrt{7}$, откуда $-2-2\sqrt{7}<m<-2+2\sqrt{7}$. Если же требуется два различных корня уравнения $x^2-(m+2)x+7=0$, решаем $(m+2)^2>28$: $m<-2-2\sqrt{7}$ или $m>-2+2\sqrt{7}$.
Во многих задачах YÖS спрашивают, сколько целых $x\in\mathbb{Z}$ удовлетворяет неравенству, или просят найти сумму всех целых решений. Порядок действий: полностью решите неравенство, затем аккуратно выпишите целые числа внутри каждого промежутка ответа. Внимательно следите за концами: конец входит в список, только если промежуток в нём замкнут (закрашенная точка); нули знаменателя не входят никогда. Пример: если множество решений $[-3,-1]\cup[3,5]$, то целые решения — это $-3,-2,-1,3,4,5$, а их сумма $(-3-2-1)+(3+4+5)=-6+12=6$. Приём для скорости: сумма подряд идущих целых чисел от $-n$ до $n$ равна $0$, поэтому вклад даёт только «несимметричный хвост».
Задача. Решите: а) $x^2-x+1>0$; б) $x^2-x+6<0$.Решение а). Шаг 1: считаем дискриминант: $D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=-3<0$. Шаг 2: так как $a=1>0$ и $D<0$, парабола целиком лежит выше оси $x$, поэтому $x^2-x+1>0$ при любом действительном $x$. Ответ: $x\in\mathbb{R}$, то есть $(-\infty,+\infty)$.Решение б). Шаг 1: $D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 6=1-24=-23<0$. Шаг 2: из $a=1>0$ и $D<0$ следует, что трёхчлен строго положителен при всех $x$, значит отрицательным он не бывает. Ответ: решений нет, $\varnothing$.
Задача. Решите $\frac{x}{x+2}\le\frac{1}{x}$.Шаг 1. НЕ умножаем на $x(x+2)$ — его знак неизвестен. Переносим всё влево: $\frac{x}{x+2}-\frac{1}{x}\le 0$.Шаг 2. Общий знаменатель: $\frac{x\cdot x-(x+2)}{x(x+2)}\le 0$, то есть $\frac{x^2-x-2}{x(x+2)}\le 0$.Шаг 3. Раскладываем числитель: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, получаем $\frac{(x-2)(x+1)}{x(x+2)}\le 0$.Шаг 4. Критические точки: нули числителя $x=-1$ и $x=2$ (закрашены, так как знак $\le$); нули знаменателя $x=-2$ и $x=0$ (исключаются всегда). Все кратности нечётные, знак чередуется: при $x>2$ дробь положительна, на $(0,2)$ отрицательна, на $(-1,0)$ положительна, на $(-2,-1)$ отрицательна, при $x<-2$ положительна.Шаг 5. Нужно $\le 0$: отрицательные промежутки плюс нули числителя. Ответ: $x\in(-2,-1]\cup(0,2]$.
Задача. Решите $\frac{(2-x)^{1881}(x-1)^{1938}}{(x+1)^{55}(x^2-9)}\ge 0$.Шаг 1. Важна только чётность показателей: $1881$ и $55$ нечётные (знак меняется), $1938$ чётный (знак не меняется). Разложим: $x^2-9=(x-3)(x+3)$.Шаг 2. Критические точки: нули числителя $x=2$ (нечётная кратность) и $x=1$ (чётная) — кандидаты на включение, так как знак $\ge$; нули знаменателя $x=-1$, $x=3$, $x=-3$ (все нечётной кратности) — исключаются всегда.Шаг 3. Знак на самом правом промежутке $x>3$: $(2-x)^{1881}<0$, $(x-1)^{1938}>0$, $(x+1)^{55}>0$, $x^2-9>0$, значит вся дробь отрицательна.Шаг 4. Двигаемся влево: в точке $x=3$ (нечётная) знак меняется на плюс на $(2,3)$; в $x=2$ (нечётная) — на минус на $(1,2)$; в $x=1$ (чётная) знак НЕ меняется и остаётся минусом на $(-1,1)$; в $x=-1$ (нечётная) меняется на плюс на $(-3,-1)$; в $x=-3$ (нечётная) — на минус при $x<-3$.Шаг 5. Нужно $\ge 0$: положительные промежутки $(-3,-1)$ и $(2,3)$, плюс нули числителя, где дробь определена: $x=2$ (включается) и изолированная точка $x=1$ (там дробь равна $0$). Точки $-3,-1,3$ исключены. Ответ: $x\in(-3,-1)\cup\{1\}\cup[2,3)$.
Задача. Решите $-2\le x^2-2x-5\le 10$ и найдите сумму всех целых решений.Шаг 1. Разбиваем на систему: $x^2-2x-5\ge -2$ и $x^2-2x-5\le 10$.Шаг 2. Левое неравенство: $x^2-2x-3\ge 0$, то есть $(x-3)(x+1)\ge 0$, откуда $x\le -1$ или $x\ge 3$.Шаг 3. Правое неравенство: $x^2-2x-15\le 0$, то есть $(x-5)(x+3)\le 0$, откуда $-3\le x\le 5$.Шаг 4. Пересекаем: $\big((-\infty,-1]\cup[3,+\infty)\big)\cap[-3,5]=[-3,-1]\cup[3,5]$.Шаг 5. Целые решения: $-3,-2,-1,3,4,5$. Их сумма: $(-3)+(-2)+(-1)+3+4+5=6$. Ответ: $x\in[-3,-1]\cup[3,5]$; сумма целых решений равна $6$.
Все темы курса · Задачи по теме
Для работы тренажёра включите JavaScript.