Многочлены — одна из самых частых тем в разделе YÖS MAT-2. Типичные вопросы: определить, при каких условиях выражение является многочленом (условия на показатели), восстановить $P(x)$ по сдвинутому аргументу вида $P(x-3)$ или $P(2-x)$, вычислить особые значения $P(1)$ (сумма коэффициентов) и $P(0)$ (свободный член), найти остаток по теореме Безу, разделить на квадратный трёхчлен вида $x^2-1$, применить равенство многочленов для сравнения коэффициентов, разложить кубический многочлен и найти целые корни, использовать правила степени, например $der[P\cdot Q]=der\,P+der\,Q$. Практически каждая экзаменационная задача сводится к небольшому набору правил, разобранных ниже, — выучите их и отрабатывайте подстановки.
Многочлен от одной переменной — это выражение $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0,\qquad a_n\neq 0,$$ где коэффициенты $a_i$ — действительные числа, а каждый показатель степени $x$ — натуральное число (целое неотрицательное: $0,1,2,\dots$). Число $n$ называется степенью многочлена и обозначается $\deg P$ (в турецких источниках $der[P(x)]$); $a_n$ — старший коэффициент, $a_0$ — свободный член. Ключевое условие: выражение является многочленом, только если в нём нет отрицательных показателей (например, $x^{-2}$), дробных показателей (например, $x^{1/2}=\sqrt{x}$) и переменной в знаменателе. Ненулевая константа — многочлен степени $0$.
Задача. $P(x)=x^{\frac{12}{m}}+x^{m-4}-3x+1$ является многочленом. Найдите сумму всех возможных значений $m$.
Решение. Каждый показатель степени должен быть натуральным числом.
1) $\frac{12}{m}\in\mathbb{N}$, значит $m$ — положительный делитель числа $12$: $m\in\{1,2,3,4,6,12\}$.2) $m-4\in\mathbb{N}$, значит $m-4\ge 0$, то есть $m\ge 4$.
Оба условия вместе дают $m\in\{4,6,12\}$. Проверка: $\frac{12}{4}=3$, $\frac{12}{6}=2$, $\frac{12}{12}=1$ и $m-4=0,\,2,\,8$ — все числа натуральные.
Ответ: $4+6+12=22$.
Для $P(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$:$$P(1)=a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0 \quad\text{(сумма всех коэффициентов)}$$$$P(0)=a_0 \quad\text{(свободный член)}$$$$\frac{P(1)+P(-1)}{2}=\text{сумма коэффициентов при чётных степенях},\qquad \frac{P(1)-P(-1)}{2}=\text{при нечётных}.$$Если многочлен задан со сдвинутым аргументом, подберите $x$ так, чтобы аргумент стал нужным значением: для $P(x-3)$ сумма коэффициентов многочлена $P$ получается при $x=4$ (тогда $x-3=1$), а свободный член — при $x=3$ (тогда $x-3=0$).
Пример: $P(x)=3x^{11}-4x^7+kx$ и $P(1)=0$. Тогда $3-4+k=0$, откуда $k=1$.
Чтобы восстановить $P(x)$, когда $P$ задан от сдвинутого аргумента, введите новую переменную, равную этому аргументу.
Пример: $P(x-3)=x^2-4x+3$. Пусть $t=x-3$, тогда $x=t+3$. Подставляем:$$P(t)=(t+3)^2-4(t+3)+3=t^2+6t+9-4t-12+3=t^2+2t.$$Следовательно, $P(x)=x^2+2x$.
То же самое работает и для убывающего аргумента: для $P(2-x)$ положим $t=2-x$, тогда $x=2-t$. Быстрый приём: если нужно только одно значение, например $P(5)$, не ищите весь многочлен — подберите $x$ так, чтобы аргумент стал равен $5$ (для $P(x-3)$ возьмите $x=8$).
Для ненулевых многочленов $P$ и $Q$:$$der[P(x)\cdot Q(x)]=der[P(x)]+der[Q(x)]$$$$der\big[P\big(Q(x)\big)\big]=der[P(x)]\cdot der[Q(x)]$$$$der\big[P(x)^k\big]=k\cdot der[P(x)],\qquad der[P(x)\pm Q(x)]\le\max\big(der[P(x)],\,der[Q(x)]\big).$$Заметьте, что $der[P(x-3)]=der[P(x)]$: сдвиг аргумента не меняет степень.
Параметрический пример: если $der[P(x)\cdot Q(x)]=7n+3$ и $der[P(x)]=3n+1$, то $$der[Q(x)]=(7n+3)-(3n+1)=4n+2.$$
При делении $P(x)$ на ненулевой многочлен $B(x)$ существуют единственные частное $Q(x)$ и остаток $R(x)$: $$P(x)=B(x)\cdot Q(x)+R(x),\qquad der[R(x)]<der[B(x)].$$Теорема Безу (теорема об остатке): остаток от деления $P(x)$ на $x-a$ равен $P(a)$. В частности, остаток при делении на $x+3$ равен $P(-3)$, потому что $x+3=x-(-3)$.
Критерий делимости: $P(x)$ делится на $x-a$ тогда и только тогда, когда $P(a)=0$, то есть $a$ — корень $P$. Так, «$P(x)$ делится на $x-2$» означает в точности $P(2)=0$.
Если многочлен задан от сдвинутого аргумента (например, $P(x-2)$), сначала подберите $x$, при котором аргумент станет нужным числом: чтобы получить $P(3)$ из $P(x-2)$, возьмите $x=5$.
При делении на многочлен степени $2$ остаток имеет степень не выше $1$, поэтому его можно записать как $R(x)=ax+b$:$$P(x)=(x^2-1)\cdot Q(x)+ax+b.$$Так как $x^2-1=(x-1)(x+1)$, подставим корни $x=1$ и $x=-1$ (слагаемое с $Q$ обнуляется):$$P(1)=a+b,\qquad P(-1)=-a+b.$$Из этой системы находим $a$ и $b$.
Мини-пример: остаток от деления $P(x)$ на $x-1$ равен $5$, а на $x+1$ равен $1$. Тогда $a+b=5$ и $-a+b=1$, откуда $b=3$, $a=2$, и остаток при делении на $x^2-1$ равен $2x+3$. Тот же метод работает для $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ и т. д.
Два многочлена равны (тождественно, при всех $x$) тогда и только тогда, когда совпадают коэффициенты при одинаковых степенях $x$. Если $P(x)=Q(x)$ при всех $x$, сравнивайте коэффициенты при $x^n$, $x^{n-1}$, ... и свободные члены по отдельности. Также можно подставлять удобные значения $x$, получая уравнения.
Пример: $(x^3+6)P(x)+6x=ax^3+2ax+b+3$ выполняется при всех $x$. Правая часть имеет степень $3$, а слева стоит $x^3\cdot P(x)$, поэтому $P(x)=c$ — константа. Левая часть превращается в $cx^3+6x+6c$. Сравниваем коэффициенты: при $x^3$: $c=a$; при $x^1$: $6=2a$, откуда $a=3$ и $c=3$; свободные члены: $6c=b+3$, откуда $b=15$. Значит, $a+b=18$.
Признак целого корня: если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена. Поэтому для поиска целых корней уравнения $x^3+3x^2-4x-12=0$ проверяем делители числа $12$: $\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12$.
Часто быстрее работает группировка:$$x^3+3x^2-4x-12=x^2(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x^2-4)=(x+3)(x-2)(x+2).$$Корни: $x=-3$, $x=2$, $x=-2$; произведение целых корней равно $(-3)\cdot 2\cdot(-2)=12$.
Общая схема: найдите один корень $a$ (перебором делителей свободного члена), затем разделите на $x-a$ (уголком или схемой Горнера) и разложите оставшийся квадратный трёхчлен.
$$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2,\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\qquad (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$Ключевой приём в задачах на многочлены — узнавать полный куб внутри многочлена:$$x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3,\qquad x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3,$$ а также полный квадрат $x^2-6x+9=(x-3)^2$. Это превращает вычисление $P$ в иррациональных точках вида $\sqrt[3]{10}-1$ в одну строку.
Задача. $P(2-x)=x^2+2x+1$. Найдите $P(x)$ и вычислите $P(5)$.
Решение. Пусть $t=2-x$, тогда $x=2-t$. Подставляем:$$P(t)=(2-t)^2+2(2-t)+1=4-4t+t^2+4-2t+1=t^2-6t+9=(t-3)^2.$$Следовательно, $P(x)=(x-3)^2$ и $P(5)=(5-3)^2=4$.
Быстрая проверка без нахождения $P$: чтобы получить $P(5)$ напрямую, подберём $x$ из условия $2-x=5$, то есть $x=-3$. Тогда $P(5)=(-3)^2+2\cdot(-3)+1=9-6+1=4$. Ответы совпадают.
Ответ: $P(x)=(x-3)^2$, $P(5)=4$.
Задача. При всех $x$ выполняется $P(x-2)+P(x+2)=4x+2$. Найдите остаток от деления $P(x)$ на $x-3$.
Решение. Правая часть имеет степень $1$, а сдвиг аргумента не меняет степень, поэтому $P$ — линейный многочлен: $P(x)=mx+c$. Тогда$$P(x-2)+P(x+2)=m(x-2)+c+m(x+2)+c=2mx+2c.$$Сравнивая с $4x+2$: $2m=4$ и $2c=2$, откуда $m=2$, $c=1$ и $P(x)=2x+1$.
По теореме Безу остаток при делении на $x-3$ равен $P(3)=2\cdot 3+1=7$.
Полезный приём для таких тождеств: подстановка удачного $x$ сразу даёт значения. Например, при $x=2$ получаем $P(0)+P(4)=10$, вообще не находя $P$.
Ответ: $7$.
Задача. $P(x)=x^3+3x^2+3x+1$. Вычислите $P\big(\sqrt[3]{10}-1\big)$.
Решение. Узнаём формулу сокращённого умножения $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ при $a=x$, $b=1$:$$P(x)=x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3.$$Теперь подставим $x=\sqrt[3]{10}-1$:$$P\big(\sqrt[3]{10}-1\big)=\big(\sqrt[3]{10}-1+1\big)^3=\big(\sqrt[3]{10}\big)^3=10.$$Вывод: прежде чем подставлять «неудобное» число, попробуйте свернуть многочлен в степень двучлена — задачи YÖS устроены так, что иррациональные части сокращаются.
Ответ: $10$.
Все темы курса · Задачи по теме
Для работы тренажёра включите JavaScript.