Матрица — это прямоугольная таблица чисел из $m$ строк и $n$ столбцов. Говорят, что матрица имеет размер $m \times n$, и пишут $A = [a_{ij}]$, где $a_{ij}$ — элемент в строке $i$ и столбце $j$. Например, $A=\begin{bmatrix}3&-2\\4&-1\end{bmatrix}$ — квадратная матрица $2 \times 2$, у которой $a_{12}=-2$.
Особые матрицы, которые нужно знать для YÖS:- Квадратная матрица: число строк равно числу столбцов ($n \times n$).- Нулевая матрица $O$: все элементы равны $0$. Для любой матрицы $A$ того же размера $A + O = A$.- Единичная матрица $I$: квадратная матрица с единицами на главной диагонали и нулями вне её: $$I = \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}.$$ Она ведёт себя как число $1$: $AI = IA = A$ для любой квадратной матрицы $A$ того же размера.
Две матрицы равны тогда и только тогда, когда они одного размера и все соответствующие элементы совпадают. Это ключ к задачам с неизвестными параметрами: приравнивайте элементы по одному.
Матрицы одинакового размера складывают и вычитают поэлементно, а умножение матрицы на число (скаляр) выполняется умножением каждого элемента:$$(A \pm B)_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}, \qquad (kA)_{ij} = k\,a_{ij}.$$
Пример комбинированной линейной операции:$$\begin{bmatrix}3&-2\\4&-1\end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix}-1&-1\\0&2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3-(-2)&-2-(-2)\\4-0&-1-4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5&0\\4&-5\end{bmatrix}.$$
Полезные правила: $k(A+B) = kA + kB$, $(k+m)A = kA + mA$, $A - B = A + (-1)B$. Внимательно следите за знаками при отрицательном скаляре — это самый частый источник ошибок.
Произведение $AB$ определено только тогда, когда число столбцов матрицы $A$ равно числу строк матрицы $B$:$$A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = C_{m \times p}, \qquad c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj}.$$Элемент $c_{ij}$ — это сумма произведений строки $i$ матрицы $A$ на столбец $j$ матрицы $B$.
Пример с прямоугольными матрицами: если $A$ имеет размер $2 \times 3$, а $B$ — $3 \times 2$, то $AB$ — матрица $2 \times 2$, а $BA$ — $3 \times 3$: размеры разные!
Пример $2 \times 2$:$$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\cdot0+2\cdot1&1\cdot1+2\cdot0\\3\cdot0+4\cdot1&3\cdot1+4\cdot0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}.$$
Внимание: умножение матриц НЕ коммутативно: в общем случае $AB \neq BA$. Но оно ассоциативно, $(AB)C = A(BC)$, и дистрибутивно, $A(B+C) = AB + AC$.
Транспонированная матрица $A^T$ получается превращением строк $A$ в столбцы: $(A^T)_{ij} = a_{ji}$. Если $A$ имеет размер $m \times n$, то $A^T$ — размер $n \times m$. Например:$$A = \begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix} \;\Rightarrow\; A^T = \begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}.$$
Ключевые свойства:$$(A^T)^T = A, \qquad (A+B)^T = A^T + B^T, \qquad (kA)^T = kA^T, \qquad (AB)^T = B^T A^T.$$Обратите внимание на обратный порядок в $(AB)^T = B^T A^T$.
В задачах YÖS равенство вида $A^T = A$ или $A^T = B$ с элементами-параметрами решается приравниванием соответствующих элементов: элемент в позиции $(i,j)$ слева должен равняться элементу в позиции $(i,j)$ справа. Получается система обычных уравнений относительно параметров.
Для квадратной матрицы $A^2 = A \cdot A$, $A^3 = A^2 \cdot A$ и так далее; по соглашению $A^0 = I$. Степени одной матрицы перестановочны: $A^m A^n = A^{m+n}$.
В YÖS часто спрашивают большую степень, например $A^{32}$. Никогда не умножайте 32 раза — вычислите $A^2$ и $A^3$, найдите закономерность и сразу перейдите к нужному показателю. Типичные закономерности:- Треугольные матрицы с единицами на диагонали: для $A = \begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}$ получаем $A^n = \begin{bmatrix}1&na\\0&1\end{bmatrix}$ — внедиагональный элемент растёт линейно.- Циклические матрицы: иногда $A^2 = I$, или $A^3 = I$, или $A^4 = I$. Тогда показатель степени берём по модулю длины цикла: если $A^4 = I$, то $A^{2026} = A^{4 \cdot 506 + 2} = A^2$.- Выражения вида $A^2 - 3A$: просто вычислите $A^2$ напрямую, затем умножьте $A$ на $3$ и вычтите поэлементно.
Всегда проверяйте закономерность на одной дополнительной степени (например, убедитесь, что $A^3 = A^2 \cdot A$), прежде чем обобщать.
Если $f(x) = a_k x^k + \dots + a_1 x + a_0$ — многочлен, а $A$ — квадратная матрица, то $f(A)$ определяется заменой $x$ на $A$ и — очень важно — заменой свободного члена $a_0$ на $a_0 I$:$$f(x) = x^2 - 3x + 2 \quad\Longrightarrow\quad f(A) = A^2 - 3A + 2I.$$
Почему $2I$, а не просто число $2$? Потому что каждое слагаемое суммы должно быть матрицей одного размера; константа $a_0$ соответствует $a_0 x^0 = a_0 \cdot 1$, а матричный аналог единицы — единичная матрица $I$.
План вычисления: сначала найдите $A^2$ по правилу «строка на столбец», затем $3A$ умножением на скаляр, затем $2I = \begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}$ и, наконец, соедините всё поэлементно. Забыть $I$ в свободном члене — классическая ловушка в таких задачах.
Определитель матрицы $2 \times 2$ — это число$$\det A = \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$$— произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.
Элементами могут быть любые выражения, правило не меняется:- Тригонометрические: $\begin{vmatrix}\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\end{vmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1.$- С мнимой единицей: $\begin{vmatrix}1&i\\i&1\end{vmatrix} = 1 - i^2 = 1-(-1) = 2.$- Показательные: $\begin{vmatrix}e^{2x}&e^{3x}\\e^{3x}&e^{4x}\end{vmatrix} = e^{2x}e^{4x} - e^{3x}e^{3x} = e^{6x} - e^{6x} = 0.$- С параметром: $\begin{vmatrix}t&2\\3&t-1\end{vmatrix} = t(t-1) - 6 = t^2 - t - 6$ — далее решаем полученное уравнение относительно $t$.
После раскрытия всегда упрощайте с помощью тождеств ($\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, $i^2 = -1$, свойства степеней).
Разложение по первой строке сводит определитель $3 \times 3$ к трём определителям $2 \times 2$:$$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} = a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}.$$Знаки чередуются в шахматном порядке $+,-,+$; знак позиции $(i,j)$ равен $(-1)^{i+j}$. Раскладывать можно по любой строке или столбцу — выбирайте ту, где больше нулей.
Правило Саррюса (только для $3 \times 3$): припишите первые два столбца справа, затем сложите три произведения диагоналей, идущих вправо-вниз, и вычтите три произведения диагоналей, идущих вправо-вверх:$$\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}.$$Оба метода всегда дают одинаковый ответ; используйте тот, который быстрее для данных элементов.
Эти свойства превращают громоздкие определители в простые:1. $\det(A^T) = \det A$ — каждое свойство строк верно и для столбцов.2. Перестановка двух строк (или столбцов) меняет знак определителя.3. Если две строки (или столбца) равны или пропорциональны, определитель равен $0$.4. Общий множитель одной строки выносится за знак определителя: умножение одной строки на $k$ умножает определитель на $k$. Отсюда для матрицы $n \times n$: $\det(kA) = k^n \det A$.5. Прибавление к строке другой строки, умноженной на число, не меняет определитель. Это главный вычислительный приём.6. $\det(AB) = \det A \cdot \det B$, причём $\det I = 1$; поэтому $\det(A^n) = (\det A)^n$.
Классическое применение свойства 5 в YÖS — вычесть столбец из столбца до перемножения больших чисел:$$\begin{vmatrix}1995&1999\\1991&1995\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1995&1999-1995\\1991&1995-1991\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1995&4\\1991&4\end{vmatrix} = 4(1995-1991) = 16.$$А по свойству 3 определитель $3 \times 3$, у которого вторая строка, например, вдвое больше первой, сразу равен $0$ — без всякого разложения.
Обратная матрица к квадратной матрице $A$ — это матрица $A^{-1}$, удовлетворяющая$$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I.$$Она существует тогда и только тогда, когда $\det A \neq 0$. Если $\det A = 0$, матрица называется вырожденной (необратимой) — именно это условие используется в задачах «при каком значении параметра матрица не имеет обратной».
Для матрицы $2 \times 2$ есть готовая формула:$$A = \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \quad\Longrightarrow\quad A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}.$$Рецепт: поменять местами диагональные элементы $a$ и $d$, сменить знаки у $b$ и $c$, разделить на определитель.
Полезные факты: $(A^{-1})^{-1} = A$, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ (обратный порядок), $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A}$.
Быстрая проверка: умножьте найденную $A^{-1}$ на $A$ — должна получиться $I$.
Чтобы решить уравнение вида $AB = C$ относительно неизвестной матрицы $B$, умножьте обе части на $A^{-1}$ слева:$$AB = C \;\Longrightarrow\; A^{-1}(AB) = A^{-1}C \;\Longrightarrow\; B = A^{-1}C.$$Для $XA = C$ умножайте справа: $X = CA^{-1}$. Сторона важна, потому что умножение некоммутативно — $A^{-1}C$ и $CA^{-1}$ в общем случае различны!
Если неизвестная матрица мала, есть альтернатива: записать $B = \begin{bmatrix}x&y\\z&t\end{bmatrix}$, перемножить и приравнять элементы.
Алгебраические тождества работают для матриц, когда участвует только одна матрица (и $I$), поскольку $A$ перестановочна сама с собой и с $I$:$$(A-I)(A+I) = A^2 + AI - IA - I^2 = A^2 - I.$$Вместе с $\det(XY) = \det X \cdot \det Y$ это даёт часто проверяемое тождество$$\det\big((A-I)(A+I)\big) = \det(A-I)\cdot\det(A+I) = \det(A^2 - I).$$Но осторожно: $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$, что НЕ равно $A^2 + 2AB + B^2$, если $AB \neq BA$.
Задача. Даны $A=\begin{bmatrix}3&-2\\4&-1\end{bmatrix}$ и $B=\begin{bmatrix}-1&-1\\0&2\end{bmatrix}$. Найдите $C = A - 2B$, а затем $CB$.
Шаг 1. Вычислим $2B$, умножив каждый элемент на $2$:$$2B = \begin{bmatrix}-2&-2\\0&4\end{bmatrix}.$$
Шаг 2. Вычтем поэлементно:$$C = A - 2B = \begin{bmatrix}3-(-2)&-2-(-2)\\4-0&-1-4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5&0\\4&-5\end{bmatrix}.$$
Шаг 3. Умножим $C$ на $B$ по правилу «строка на столбец»:$$CB = \begin{bmatrix}5&0\\4&-5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&-1\\0&2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\cdot(-1)+0\cdot0 & 5\cdot(-1)+0\cdot2\\ 4\cdot(-1)+(-5)\cdot0 & 4\cdot(-1)+(-5)\cdot2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-5&-5\\-4&-14\end{bmatrix}.$$
Ответ: $C = \begin{bmatrix}5&0\\4&-5\end{bmatrix}$, $CB = \begin{bmatrix}-5&-5\\-4&-14\end{bmatrix}$.
Задача. Для $A = \begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}$ найдите $A^{32}$.
Шаг 1. Вычислим первые степени:$$A^2 = \begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&-2\\0&1\end{bmatrix}, \qquad A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix}1&-3\\0&1\end{bmatrix}.$$
Шаг 2. Замечаем закономерность: меняется только правый верхний элемент, и он равен $-n$:$$A^n = \begin{bmatrix}1&-n\\0&1\end{bmatrix}.$$Проверка по индукции: $A^{n+1} = A^n \cdot A = \begin{bmatrix}1&-n\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&-(n+1)\\0&1\end{bmatrix}$ — закономерность подтверждается.
Шаг 3. Подставим $n = 32$:$$A^{32} = \begin{bmatrix}1&-32\\0&1\end{bmatrix}.$$
Ответ: $A^{32} = \begin{bmatrix}1&-32\\0&1\end{bmatrix}$.
Задача. Пусть $f(x) = x^2 - 3x + 2$ и $A = \begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$. Найдите $f(A)$.
Шаг 1. Запишем матричный вариант многочлена (константа превращается в $2I$):$$f(A) = A^2 - 3A + 2I.$$
Шаг 2. Вычислим $A^2$:$$A^2 = \begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\cdot2+1\cdot0 & 2\cdot1+1\cdot1\\ 0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4&3\\0&1\end{bmatrix}.$$
Шаг 3. Вычислим $3A$ и $2I$:$$3A = \begin{bmatrix}6&3\\0&3\end{bmatrix}, \qquad 2I = \begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}.$$
Шаг 4. Соединим поэлементно:$$f(A) = \begin{bmatrix}4-6+2 & 3-3+0\\ 0-0+0 & 1-3+2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix} = O.$$
Ответ: $f(A) = O$ (нулевая матрица). Это не случайность: $f(x) = (x-1)(x-2)$, а диагональные элементы треугольной матрицы $A$ равны именно $2$ и $1$, поэтому $(A-I)(A-2I) = O$.
Все темы курса · Задачи по теме
Для работы тренажёра включите JavaScript.