Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить данное число? Это операция, обратная возведению в степень. На экзамене YÖS (MAT-2) задачи на логарифмы проверяют определение, алгебраические свойства, замену основания, показательные и логарифмические уравнения, а также десятичный логарифм (характеристика и мантисса). Почти каждая задача сводится к короткой цепочке стандартных преобразований, поэтому главное — идеально знать базовые тождества и всегда следить за областью определения: аргумент логарифма должен быть положительным, а основание — положительным и отличным от $1$.
Для $a>0$, $a\ne 1$ и $b>0$ логарифмом числа $b$ по основанию $a$ называется показатель степени $c$, при котором $a^c=b$:$$\log_a b = c \iff a^c = b.$$Прямые следствия: $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$, $\log_a a^k = k$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.Типичные применения определения:1) $\log_4 2 = \frac{1}{2}$, так как $4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$.2) $\log_6(3x+1) = 0 \Rightarrow 3x+1 = 6^0 = 1 \Rightarrow x = 0$.3) $\log(x+22) = 2$ (основание $10$) $\Rightarrow x+22 = 10^2 = 100 \Rightarrow x = 78$.Как только уравнение имеет вид $\log_a(\ldots) = c$, сразу переписывайте его так: аргумент равен $a^c$.
Выражение $\log_a f(x)$ определено только при одновременном выполнении трёх условий:$$f(x) > 0, \qquad a > 0, \qquad a \ne 1.$$Если основание тоже зависит от $x$, например $\log_{g(x)} f(x)$, требуем одновременно $f(x)>0$, $g(x)>0$ и $g(x)\ne 1$.На YÖS это важно в двух случаях: (1) перед решением логарифмического уравнения выпишите ОДЗ; (2) после решения подставьте каждый корень обратно и отбросьте значения, при которых аргумент неположителен или основание равно $1$. Например, в уравнении $\log_3(\log(8x)) - \log_3(\log(10x-1)) = 0$ нужно $8x>0$ и $10x-1>0$, а также $\log(8x)>0$ и $\log(10x-1)>0$, то есть $8x>1$ и $10x-1>1$, потому что внутренние логарифмы сами являются аргументами $\log_3$. Пропуск этой проверки — самый частый источник неверных ответов.
Для $a>0$, $a\ne1$ и положительных $x$, $y$:$$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \qquad \log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y,$$$$\log_a x^k = k\log_a x, \qquad \log_{a^m} x = \frac{1}{m}\log_a x.$$Объединение последних двух правил даёт самую полезную для YÖS формулу: степень аргумента уходит в числитель, степень основания — в знаменатель:$$\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m}\log_a b.$$Примеры: $\log_{25} 9 = \log_{5^2} 3^2 = \frac{2}{2}\log_5 3 = \log_5 3$; $\quad \log_5 \sqrt{5} = \log_5 5^{1/2} = \frac{1}{2}$; $\quad \log_{\sqrt7} 7 = \log_{7^{1/2}} 7 = 2$. Отсюда $\frac{\log_5\sqrt5}{\log_{\sqrt7}7} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$.
Формула замены основания (любое $c>0$, $c\ne1$):$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}, \qquad \log_a b = \frac{1}{\log_b a}.$$Из неё следует цепное (телескопическое) правило, сворачивающее длинные произведения:$$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c.$$Пример: $\log_2 5 \cdot \log_5 7 \cdot \log_7 8 = \log_2 8 = 3$, потому что промежуточные основания сокращаются.Если основания и аргументы содержат степени, сначала вынесите показатели по формуле $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m}\log_a b$, затем сворачивайте цепочку. Именно так решаются произведения вида $\log_{25}9\cdot\log_{27}16\cdot\log_4 5$ (см. разобранный пример ниже). Универсальный приём: перевести всё в натуральные логарифмы по формуле $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$ и сократить дроби.
Два особых основания имеют собственные обозначения: натуральный логарифм $\ln x = \log_e x$ (основание $e \approx 2.718$) и десятичный логарифм $\log x = \log_{10} x$. Полезные значения: $\ln e = 1$, $\log 10 = 1$, $\log 100 = 2$, $\log 0.01 = -2$.Любой десятичный логарифм можно представить в виде$$\log x = n + m,$$где целое $n$ — характеристика, а $m \in [0,1)$ — мантисса. Если $\log x = 3.162453$, то характеристика равна $3$, мантисса $0.162453$; в числе $x$ будет $3+1 = 4$ цифры до запятой.Ключевой приём с отрицательными значениями: $\log\frac{1}{x} = -\log x$. При $\log x = 3.162453$ получаем $\log\frac{1}{x} = -3.162453 = -4 + 0.837547$: характеристика $-4$, мантисса $0.837547$ (мантисса обязана лежать в $[0,1)$, поэтому занимаем единицу у целой части). Аналогично из $-\log(x^2) = 2.44$ следует $2\log x = -2.44$, то есть $\log x = -1.22 = -2 + 0.78$.
На YÖS встречаются три стандартные ситуации.1) Обе части сводятся к одному основанию: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x)$.2) Уравнение линейно или квадратично относительно $a^x$: делаем замену $t = a^x$, $t>0$. Помните правило сдвига $a^{x\pm k} = a^x \cdot a^{\pm k}$.Пример: $18\cdot2^x + 5\cdot2^{x-1} - 164 = 0$. Так как $2^{x-1} = \frac{2^x}{2}$, положим $t = 2^x$: $18t + \frac{5t}{2} = 164 \Rightarrow \frac{41t}{2} = 164 \Rightarrow t = 8 = 2^3$, значит $x = 3$.3) Если основания не приводятся друг к другу, логарифмируем обе части: $e^{x-1} = 3 \Rightarrow x - 1 = \ln 3 \Rightarrow x = 1 + \ln 3$. В общем виде $a^{f(x)} = b \Rightarrow f(x) = \log_a b$. После замены $t = a^x$ обязательно отбрасывайте корни с $t \le 0$: показательная функция строго положительна.
Стандартные приёмы:1) $\log_a f(x) = c \Rightarrow f(x) = a^c$ (по определению).2) $\log_a f(x) = \log_a g(x) \Rightarrow f(x) = g(x)$ — верно только внутри ОДЗ, поэтому после решения проверяем $f(x)>0$ и $g(x)>0$.3) Если уравнение полиномиально относительно $\log_a x$, делаем замену $t = \log_a x$.Пример с вложенными логарифмами: $\log_3(\log(8x)) - \log_3(\log(10x-1)) = 0$. Переносим одно слагаемое вправо: $\log_3(\log(8x)) = \log_3(\log(10x-1))$, откуда $\log(8x) = \log(10x-1)$, значит $8x = 10x - 1$ и $x = \frac{1}{2}$. Проверка ОДЗ: $8x = 4 > 1$, поэтому $\log(8x) = \log 4 > 0$; $10x-1 = 4 > 1$, поэтому $\log(10x-1) > 0$ — все логарифмы определены, корень подходит.Правило: сначала решаем, затем проверяем каждый кандидат по всем исходным логарифмам; посторонние корни обычно появляются после перемножения или возведения аргументов в квадрат.
Приём симметрии. Для положительных $a$, $b$:$$a^{\ln b} = b^{\ln a},$$так как $\ln(a^{\ln b}) = \ln b \cdot \ln a = \ln a \cdot \ln b = \ln(b^{\ln a})$. То же верно для любого основания: $a^{\log_c b} = b^{\log_c a}$.Применение: $3^{\ln x} + 2x^{\ln 3} - 9 = 0$. Поскольку $x^{\ln 3} = 3^{\ln x}$, положим $t = 3^{\ln x} > 0$: $t + 2t - 9 = 0 \Rightarrow t = 3$. Тогда $3^{\ln x} = 3^1 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e$.Логарифмирование. Когда неизвестное стоит и в основании, и в показателе, как в $x^{\log_2 x} = 32x^4$, берём $\log_2$ (или $\ln$) от обеих частей; уравнение становится квадратным относительно $\log_2 x$. После замены $t = \log_2 x$ помогает теорема Виета: если $t_1 + t_2 = s$, то произведение корней по $x$ равно $x_1 x_2 = 2^{t_1}\cdot 2^{t_2} = 2^{s}$.
Сумма логарифмов сворачивается в логарифм произведения, и наоборот. Два шаблона YÖS:1) Произведение степеней. $\log_3(3^1\cdot 3^2\cdot \ldots \cdot 3^n) = \log_3 3^{1+2+\ldots+n} = \frac{n(n+1)}{2}$. Если это равно $15$, то $\frac{n(n+1)}{2} = 15 \Rightarrow n(n+1) = 30 \Rightarrow n = 5$.2) Телескопическая сумма. Так как $1 + \frac{1}{k} = \frac{k+1}{k}$:$$\sum_{k=1}^{n}\log_2\left(1+\frac{1}{k}\right) = \log_2\left(\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\ldots\cdot\frac{n+1}{n}\right) = \log_2(n+1),$$поскольку всё сокращается, кроме первого знаменателя и последнего числителя. Например, сумма до $k = 31$ равна $\log_2 32 = 5$.Стратегия: увидев сумму логарифмов с одним основанием, объединяйте её в один логарифм произведения и ищите сокращения.
Вычислим $\log_{25}9\cdot\log_{27}16\cdot\log_4 5$.Шаг 1. Выносим показатели из каждого множителя по формуле $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m}\log_a b$:$$\log_{25}9 = \log_{5^2}3^2 = \log_5 3, \qquad \log_{27}16 = \log_{3^3}2^4 = \frac{4}{3}\log_3 2, \qquad \log_4 5 = \log_{2^2}5 = \frac{1}{2}\log_2 5.$$Шаг 2. Собираем константы и сворачиваем цепочку:$$\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\log_5 3\cdot\log_3 2\cdot\log_2 5 = \frac{2}{3}\cdot\log_5 5 = \frac{2}{3}.$$Здесь $\log_5 3\cdot\log_3 2 = \log_5 2$, а затем $\log_5 2\cdot\log_2 5 = 1$.Ответ: $\frac{2}{3}$.
Решим $18\cdot2^x+5\cdot2^{x-1}-164=0$.Шаг 1. Выражаем все степени через $2^x$: $2^{x-1} = \frac{2^x}{2}$.Шаг 2. Замена $t = 2^x$ (при этом $t > 0$):$$18t + \frac{5t}{2} - 164 = 0 \Rightarrow \frac{36t + 5t}{2} = 164 \Rightarrow 41t = 328 \Rightarrow t = 8.$$Шаг 3. Возвращаемся к $x$: $2^x = 8 = 2^3$, откуда $x = 3$.Шаг 4. Проверка: $18\cdot 8 + 5\cdot 4 - 164 = 144 + 20 - 164 = 0$. Верно.Ответ: $x = 3$. Тот же шаблон с основанием $e$: $e^{x-1} = 3 \Rightarrow x - 1 = \ln 3 \Rightarrow x = 1 + \ln 3$.
Найдём произведение корней уравнения $x^{\log_2 x}=32x^4$ (ОДЗ: $x>0$).Шаг 1. Логарифмируем обе части по основанию $2$:$$\log_2 x \cdot \log_2 x = \log_2 32 + 4\log_2 x \Rightarrow (\log_2 x)^2 = 5 + 4\log_2 x.$$Шаг 2. Замена $t = \log_2 x$:$$t^2 - 4t - 5 = 0 \Rightarrow (t-5)(t+1) = 0 \Rightarrow t_1 = 5,\ t_2 = -1.$$Шаг 3. Возвращаемся к $x$: $x_1 = 2^5 = 32$, $x_2 = 2^{-1} = \frac{1}{2}$; оба положительны, оба подходят.Шаг 4. Произведение корней: $x_1 x_2 = 2^{5}\cdot2^{-1} = 2^{4} = 16$. Быстрый путь: по Виету $t_1 + t_2 = 4$, поэтому $x_1x_2 = 2^{t_1+t_2} = 2^4 = 16$.Ответ: $16$.
Дано $\log x = 3.162453$; найдём характеристику и мантиссу $\log\frac{1}{x}$.Шаг 1. По свойству степени: $\log\frac{1}{x} = -\log x = -3.162453$.Шаг 2. Мантисса обязана лежать в $[0,1)$, поэтому нельзя просто взять $-3$ и $-0.162453$. Занимаем единицу у целой части:$$-3.162453 = -4 + (1 - 0.162453) = -4 + 0.837547.$$Шаг 3. Значит, характеристика равна $-4$, мантисса равна $0.837547$.Тот же приём работает в обратных задачах: если $-\log(x^2) = 2.44$, то $2\log x = -2.44$, откуда $\log x = -1.22 = -2 + 0.78$: характеристика $-2$, мантисса $0.78$, и $x = 10^{-1.22}$.
Все темы курса · Задачи по теме
Для работы тренажёра включите JavaScript.