Во множестве действительных чисел уравнение $x^2=-1$ не имеет решений: квадрат действительного числа не бывает отрицательным. Комплексные числа расширяют действительные так, что корни из отрицательных чисел существуют. На экзамене YÖS (MAT-2) эта подтема даёт быстрые «шаблонные» задачи: степени $i$, действительная и мнимая части, сопряжённое $\bar z$, модуль $|z|$, степени двучленов вида $(1+i)^n$ и тригонометрическая форма $r\,\text{cis}\,\theta$. Почти каждая задача сводится к небольшому набору правил и приёмов, собранных ниже.
Мнимая единица определяется равенствами$$i^2=-1,\qquad i=\sqrt{-1}.$$Для действительного $a>0$: $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$. Например, $\sqrt{-36}+\sqrt{-25}=6i+5i=11i$.
Комплексное число — это $z=a+bi$, где $a,b$ действительны. Здесь $\text{Re}(z)=a$ — действительная часть, $\text{Im}(z)=b$ — мнимая часть (именно коэффициент $b$, а не $bi$). Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: $a+bi=c+di \iff a=c$ и $b=d$.
Внимание: правило $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ не работает для двух отрицательных подкоренных: $\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}=(2i)(3i)=6i^2=-6$, а не $+6$.
Приём с отрицательным подкоренным: если $x<y<0$, то $x-y<0$, поэтому $\sqrt{x-y}=i\sqrt{y-x}$ — чисто мнимое число. Например, $\sqrt{x-y}=2i$ означает $x-y=(2i)^2=-4$, то есть $y-x=4$.
Степени $i$ повторяются с периодом 4:$$i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1,\quad i^5=i,\ \dots$$Поэтому $i^n$ зависит только от остатка $n$ при делении на 4:$$i^n=i^{\,n \bmod 4},\qquad i^0=1.$$Пример: $143=4\cdot 35+3$, значит $i^{143}=i^3=-i$; $172=4\cdot 43$, значит $i^{172}=1$; итого $i^{143}+i^{172}=1-i$.
Ключевое следствие: любые четыре подряд идущие степени дают ноль,$$i^k+i^{k+1}+i^{k+2}+i^{k+3}=0.$$Поэтому в сумме $\sum_{k=1}^{n} i^k$ выживают только «хвостовые» слагаемые после полных блоков по 4. Пример: $\sum_{k=1}^{73} i^k$ — так как $73=4\cdot 18+1$, первые $72$ слагаемых сокращаются, и сумма равна $i^{73}=i$.
Взвешенные суммы вида $i^2+2i^5+3i^8+\dots$: сначала приведите каждый показатель по модулю 4 ($i^2=-1$, $i^5=i$, $i^8=1$, $i^{11}=-i$, ...) — значения повторяются с периодом 4, а коэффициенты растут на 1; группируйте слагаемые блоками по четыре и считайте число полных блоков и остаток.
Операции выполняются покомпонентно или раскрытием скобок с учётом $i^2=-1$:$$(a+bi)\pm(c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i,$$$$k(a+bi)=ka+kbi\ (k\in\mathbb{R}),$$$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.$$Типовой шаблон YÖS: даны $z_1$ и $z_2$, нужно вычислить комбинацию вида $2z_1-z_2$, записать её как $a+bi$ и найти $a\cdot b$ или $a+b$. Пример: $z_1=3+2i$, $z_2=1-i$ дают $2z_1-z_2=(6+4i)-(1-i)=5+5i$, значит $a\cdot b=25$.
После любых вычислений всегда приводите ответ к стандартной форме $a+bi$, прежде чем выписывать $\text{Re}$, $\text{Im}$ или сравнивать коэффициенты.
Сопряжённое к $z=a+bi$ — это $\bar z=a-bi$ (знак мнимой части меняется). Свойства:$$\overline{z_1\pm z_2}=\bar z_1\pm\bar z_2,\qquad \overline{z_1 z_2}=\bar z_1\,\bar z_2,\qquad \overline{\left(\tfrac{z_1}{z_2}\right)}=\tfrac{\bar z_1}{\bar z_2},\qquad \bar{\bar z}=z.$$$$z+\bar z=2\,\text{Re}(z),\qquad z-\bar z=2i\,\text{Im}(z),\qquad z\bar z=a^2+b^2=|z|^2.$$Следствия: $z$ действительно $\iff z=\bar z$; $z$ чисто мнимое $\iff z=-\bar z$ (и $z\ne 0$). Произведение $z\bar z$ — всегда неотрицательное действительное число; именно это делает возможным деление.
Чтобы разделить, умножьте числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю:$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\,\bar z_2}{z_2\,\bar z_2}=\frac{z_1\,\bar z_2}{|z_2|^2}.$$Знаменатель становится действительным числом $|z_2|^2$, и результат легко разделить на $\text{Re}$ и $\text{Im}$.
Полезные шаблоны:$$\frac{1}{i}=-i,\qquad \frac{1+i}{1-i}=i,\qquad \frac{1-i}{1+i}=-i.$$Стратегия для выражений вида $z=\dfrac{(1+2i)(1-i)}{3-i}$ или $\dfrac{i}{(1-i)(2+i)}$: сначала перемножьте скобки в числителе (или знаменателе), чтобы получить одну дробь $\frac{p+qi}{c+di}$, затем домножьте на $\frac{c-di}{c-di}$ и выпишите $\text{Re}(z)$ и $\text{Im}(z)$.
Модуль числа $z=a+bi$ — это расстояние от начала координат до точки $(a,b)$:$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$$Свойства (выучите — они экономят минуты на экзамене):$$|z|=|\bar z|=|-z|,\qquad |z_1z_2|=|z_1|\,|z_2|,\qquad \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|},\qquad |z^n|=|z|^n,\qquad z\bar z=|z|^2.$$Классический приём YÖS: для действительного $x$$$\left|\frac{1+ix}{1-ix}\right|=\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}=1$$— дробь упрощать не нужно: числитель и знаменатель сопряжены, поэтому их модули равны.
Для выражений вида $|z_1-2z_2|$ с данными $z_1,z_2$: сначала вычислите комплексное число $z_1-2z_2=a+bi$, затем возьмите $\sqrt{a^2+b^2}$. Модуль суммы НЕ равен сумме модулей; верно лишь неравенство треугольника $|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|$.
Универсальный метод: подставьте $z=x+yi$, $\bar z=x-yi$, раскройте скобки и приведите уравнение к виду $A+Bi=C+Di$. Затем приравняйте части: $A=C$ и $B=D$ — одно комплексное уравнение даёт систему двух действительных уравнений относительно $x,y$.
Пример постановки для $i\bar z+1=2(1-z)$: так как $i\bar z=i(x-yi)=y+xi$, левая часть равна $(y+1)+xi$, а правая — $(2-2x)-2yi$; приравнивание частей даёт $y+1=2-2x$ и $x=-2y$ (полное решение — в примерах ниже).
Геометрические уравнения: $|z-z_0|=r$ задаёт окружность радиуса $r$ с центром $z_0$. Если в уравнении есть $\bar z$, используйте $|\bar w|=|w|$: например,$$|\bar z+i-1|=10 \iff |\overline{\bar z+i-1}|=10 \iff |z-i-1|=10,$$то есть окружность радиуса $10$ с центром $1+i$ (точка $(1,1)$). Типовые вопросы: центр, радиус или максимум/минимум $|z|$ на окружности: $|z|_{\max}=|z_0|+r$, $|z|_{\min}=\bigl||z_0|-r\bigr|$.
Никогда не раскрывайте $(1+i)^n$ почленно — сначала возведите в квадрат:$$(1+i)^2=1+2i+i^2=2i,\qquad (1-i)^2=-2i.$$Цепочки, которые следуют сразу:$$(1+i)^4=(2i)^2=-4,\qquad (1-i)^4=-4,\qquad (1+i)^8=16.$$Стратегия для $z^n$: запишите $n=2m$ (или $n=2m+1$) и используйте $z^n=(z^2)^m$ или $z^n=(z^2)^m\cdot z$. Пример: для $z=1+i$$$z^6=(z^2)^3=(2i)^3=8i^3=-8i.$$Та же идея работает для других частых оснований: $(\sqrt3+i)^2=2+2\sqrt3\,i$, а для больших степеней переходите к тригонометрической форме (следующий раздел). Быстрая проверка через модули: $|z^6|=|z|^6=(\sqrt2)^6=8$, что согласуется с $|-8i|=8$.
Каждое ненулевое $z=a+bi$ записывается в тригонометрической (полярной) форме:$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\,\text{cis}\,\theta,\qquad r=|z|=\sqrt{a^2+b^2},\ \ \tan\theta=\frac{b}{a},$$где $\theta$ (аргумент) выбирается по четверти точки $(a,b)$.
Умножение и деление действуют на модули и углы:$$r_1\,\text{cis}\,\alpha\cdot r_2\,\text{cis}\,\beta=r_1r_2\,\text{cis}(\alpha+\beta),\qquad \frac{r_1\,\text{cis}\,\alpha}{r_2\,\text{cis}\,\beta}=\frac{r_1}{r_2}\,\text{cis}(\alpha-\beta).$$Формула Муавра: $(r\,\text{cis}\,\theta)^n=r^n\,\text{cis}(n\theta)$.
Типовой шаблон YÖS: если $z_1=\text{cis}\,\alpha$, $z_2=\text{cis}\,\beta$, $z_3=\text{cis}\,\gamma$, то выражение вида $\dfrac{z_1z_3}{z_2}$ равно просто $\text{cis}(\alpha-\beta+\gamma)$ — углы числителя складываются, углы знаменателя вычитаются.
Опорные значения: $\text{cis}\,0=1$, $\text{cis}\,90^\circ=i$, $\text{cis}\,180^\circ=-1$, $\text{cis}\,270^\circ=-i$, а также $1+i=\sqrt2\,\text{cis}\,45^\circ$.
Задача A. Вычислите $i^{143}+i^{172}$.
Шаг 1. Приведите показатели по модулю 4: $143=4\cdot 35+3$, значит $i^{143}=i^3=-i$.Шаг 2. $172=4\cdot 43+0$, значит $i^{172}=i^0=1$.Шаг 3. Сложите: $i^{143}+i^{172}=-i+1=1-i$.
Задача B. Вычислите $S=\sum_{k=1}^{73} i^k=i+i^2+\dots+i^{73}$.
Шаг 1. Любые четыре подряд идущие степени в сумме дают ноль: $i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0$.Шаг 2. $73=4\cdot 18+1$: первые $72$ слагаемых образуют $18$ полных нулевых блоков.Шаг 3. Выживает только последнее слагаемое: $S=i^{73}=i^{4\cdot 18+1}=i$.
Ответ: $1-i$ и $i$.
Задача. Найдите $\text{Re}(z)$, если $z=\dfrac{(1+2i)(1-i)}{3-i}$.
Шаг 1. Раскройте числитель:$$(1+2i)(1-i)=1-i+2i-2i^2=1+i+2=3+i.$$Шаг 2. Домножьте на сопряжённое к знаменателю:$$z=\frac{3+i}{3-i}\cdot\frac{3+i}{3+i}=\frac{(3+i)^2}{3^2+1^2}=\frac{9+6i+i^2}{10}=\frac{8+6i}{10}.$$Шаг 3. Запишите в стандартной форме: $z=\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{5}i$.
Ответ: $\text{Re}(z)=\dfrac{4}{5}$ (и $\text{Im}(z)=\dfrac{3}{5}$).
Те же три шага решают $\dfrac{i}{(1-i)(2+i)}$: сначала $(1-i)(2+i)=3-i$, затем $z=\dfrac{i}{3-i}=\dfrac{i(3+i)}{10}=\dfrac{-1+3i}{10}$, значит $\text{Im}(z)=\dfrac{3}{10}$.
Задача. Комплексное число $z$ удовлетворяет уравнению $i\bar z+1=2(1-z)$. Найдите $\text{Re}(z)$.
Шаг 1. Пусть $z=x+yi$, тогда $\bar z=x-yi$.Шаг 2. Левая часть: $i\bar z+1=i(x-yi)+1=ix-yi^2+1=(y+1)+xi$.Шаг 3. Правая часть: $2(1-z)=2-2x-2yi=(2-2x)+(-2y)i$.Шаг 4. Приравняйте действительные и мнимые части:$$y+1=2-2x,\qquad x=-2y.$$Шаг 5. Подставьте $y=-\dfrac{x}{2}$ в первое уравнение: $-\dfrac{x}{2}+1=2-2x$, откуда $\dfrac{3x}{2}=1$, значит $x=\dfrac{2}{3}$, $y=-\dfrac{1}{3}$.
Проверка: $z=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}i$ даёт $i\bar z+1=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}i$ и $2(1-z)=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}i$. Верно.
Ответ: $\text{Re}(z)=\dfrac{2}{3}$.
Задача A. Для $z=1+i$ вычислите $z^6$.
Шаг 1. Сначала квадрат: $z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=2i$.Шаг 2. Тогда $z^6=(z^2)^3=(2i)^3=8i^3=-8i$.Шаг 3. Проверка через модули: $|z|=\sqrt2$, значит $|z^6|=(\sqrt2)^6=8=|-8i|$. Сходится.
Альтернатива через Муавра: $z=\sqrt2\,\text{cis}\,45^\circ$, значит $z^6=(\sqrt2)^6\,\text{cis}\,270^\circ=8(-i)=-8i$.
Задача B. Пусть $z_1=\text{cis}\,80^\circ$, $z_2=\text{cis}\,35^\circ$, $z_3=\text{cis}\,45^\circ$. Вычислите $w=\dfrac{z_1z_3}{z_2}$.
Шаг 1. При умножении углы складываются, при делении вычитаются: $w=\text{cis}(80^\circ+45^\circ-35^\circ)=\text{cis}\,90^\circ$.Шаг 2. $\text{cis}\,90^\circ=\cos 90^\circ+i\sin 90^\circ=i$.
Ответы: $z^6=-8i$ и $w=i$.
Все темы курса · Задачи по теме
Для работы тренажёра включите JavaScript.