Квадратное уравнение — это уравнение вида $$ax^2+bx+c=0,\quad a\neq 0,$$ где $a$, $b$, $c$ — действительные числа: $a$ — старший коэффициент, $b$ — коэффициент при $x$, $c$ — свободный член. Значения $x$, удовлетворяющие уравнению, называются корнями, а множество всех корней — множеством решений (solution set). Перед решением всегда приводите уравнение к стандартному виду. Частные случаи: при $b=0$ имеем $ax^2+c=0\Rightarrow x^2=-\frac{c}{a}$ (например, $x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$, множество решений $\{-2,\,2\}$); при $c=0$ имеем $x(ax+b)=0\Rightarrow x=0$ или $x=-\frac{b}{a}$.
Для уравнения $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$) дискриминант равен $$\Delta=b^2-4ac.$$ Корни находятся по формуле: $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.$$ Число действительных корней: если $\Delta>0$ — два различных действительных корня; если $\Delta=0$ — один кратный (двойной) корень $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$; если $\Delta<0$ — действительных корней нет (множество решений на $\mathbb{R}$ — $\varnothing$). Пример: для $x^2+x-1=0$ имеем $\Delta=1^2-4\cdot 1\cdot(-1)=5>0$, поэтому $x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$, множество решений $\left\{\frac{-1-\sqrt{5}}{2},\,\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right\}$.
Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$), то по теореме Виета: $$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.$$ Это позволяет работать с корнями, не находя их явно, — ключевой приём в задачах YÖS. Для приведённого уравнения $x^2+px+q=0$: $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$. Замечание: формулы Виета верны, когда корни существуют (для действительных корней нужно $\Delta\ge 0$). Знаки корней: если $\frac{c}{a}>0$, корни одного знака; если $\frac{c}{a}<0$ — разных знаков.
Пусть $S=x_1+x_2$ и $P=x_1x_2$ (по Виету). Самые частые выражения: $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=S^2-2P,$$ $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{S}{P},$$ $$(x_1-x_2)^2=S^2-4P,\qquad x_1^3+x_2^3=S^3-3PS.$$ Несимметричные комбинации также сводятся к $S$ и $P$: например, $$x_1+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1x_2+1}{x_2}.$$ Если в задаче такое значение дано для конкретного корня, используйте $x_2=\frac{P}{x_1}$ или подставьте корень в уравнение. Если в коэффициентах стоят сами корни (например, $x^2+(3x_2-5)x+2x_1=0$), запишите систему Виета: $x_1+x_2=-(3x_2-5)$ и $x_1x_2=2x_1$ — и решите её относительно $x_1$ и $x_2$.
Квадратное уравнение с корнями $x_1$ и $x_2$ (и старшим коэффициентом $1$) имеет вид $$x^2-(x_1+x_2)\,x+x_1x_2=0,\qquad\text{т.е.}\qquad x^2-Sx+P=0.$$ Эквивалентно: $a(x-x_1)(x-x_2)=0$ при любом $a\neq 0$. Пример: уравнение с корнями $2$ и $-5$: $S=-3$, $P=-10$, значит $x^2+3x-10=0$. Формула работает и «в обратную сторону»: чтобы составить новое уравнение с корнями, например, $x_1+1$ и $x_2+1$, найдите новую сумму $S'=S+2$ и новое произведение $P'=P+S+1$ и запишите $x^2-S'x+P'=0$.
Во многих задачах YÖS задан *тип* корней и требуется найти параметр. Переведите условие в неравенство или уравнение для $\Delta$: два различных действительных корня $\Leftrightarrow\Delta>0$; равные (кратные) корни $\Leftrightarrow\Delta=0$; нет действительных корней $\Leftrightarrow\Delta<0$. Пример (нет действительных корней): $x^2-5mx+25=0$ не имеет действительных корней при $\Delta=25m^2-100<0\Rightarrow m^2<4\Rightarrow -2<m<2$; если $m$ — целое, возможные значения $-1,\,0,\,1$, их сумма равна $0$. Пример (равные корни): если $x_1=x_2=4$, то по Виету $S=8$ и $P=16$, значит уравнение $x^2-8x+16=0$; эквивалентно: требуем $\Delta=0$ вместе с $-\frac{b}{2a}=4$. Если параметр входит в старший коэффициент, всегда проверяйте условие $a\neq 0$.
Если задано соотношение между корнями (например, $x_1=3x_2$, $x_1-x_2=d$, $\frac{x_1}{x_2}=k$), объедините его с формулами Виета в систему. Схема для $x_1=3x_2$ в уравнении $x^2+bx+c=0$ с параметром $m$ в $b$ или $c$: из $x_1+x_2=4x_2=-b$ найдите $x_2$; затем произведение $x_1x_2=3x_2^2=c$ даёт уравнение для параметра $m$. Пример: для $x^2-8x+m=0$ при $x_1=3x_2$: $4x_2=8\Rightarrow x_2=2$, $x_1=6$, значит $m=x_1x_2=12$. Если же известно конкретное значение одного корня, просто подставьте его в уравнение — корень всегда удовлетворяет своему уравнению — а второй корень найдите по Виету.
Уравнения, «замаскированные под квадратные», решаются заменой $t=g(x)$. Биквадратное: $ax^4+bx^2+c=0\Rightarrow t=x^2$ (требуем $t\ge 0$). Показательное: в $4^x-9\cdot 2^x+8=0$ заметим, что $4^x=(2^x)^2$, поэтому при $t=2^x$ ($t>0$): $t^2-9t+8=0\Rightarrow t=1$ или $t=8\Rightarrow 2^x=1$ или $2^x=8\Rightarrow x=0$ или $x=3$. Аналогично решается $9^x-28\cdot 3^x+27=0$ с заменой $t=3^x$. Повторяющийся блок: в $\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\left(x+\frac{1}{x}\right)+1=0$ положим $t=x+\frac{1}{x}$: $(t-1)^2=0\Rightarrow t=1$, далее $x+\frac{1}{x}=1\Rightarrow x^2-x+1=0$, где $\Delta=-3<0$ — действительных корней нет. Алгоритм: сделать замену, решить квадратное уравнение относительно $t$, отбросить значения $t$, нарушающие естественное ограничение ($t>0$ для $t=a^x$; $t\ge 0$ для $t=x^2$ или $t=\sqrt{x}$; $|t|\ge 2$ для $t=x+\frac{1}{x}$), затем вернуться к $x$.
Ключевое тождество: $x^2=|x|^2$. Поэтому уравнение вида $x^2-|x|-12=0$ становится квадратным относительно $t=|x|$, где $t\ge 0$: $$t^2-t-12=0\Rightarrow (t-4)(t+3)=0\Rightarrow t=4\ \text{или}\ t=-3.$$ Так как $t=|x|\ge 0$, отбрасываем $t=-3$; тогда $|x|=4\Rightarrow x=\pm 4$. Множество решений $\{-4,\,4\}$, произведение корней равно $-16$. Альтернативный метод — разбор случаев: при $x\ge 0$ заменяем $|x|$ на $x$, при $x<0$ — на $-x$, решаем каждый случай и оставляем только корни, согласованные с условием случая. Замена $t=|x|$ быстрее, когда в уравнении есть только $x^2$ и $|x|$.
Тип 1 — квадратное относительно $\sqrt{x}$: в $x+\sqrt{x}-6=0$ положим $t=\sqrt{x}$, $t\ge 0$: $t^2+t-6=0\Rightarrow t=2$ или $t=-3$; отбрасываем $t=-3$, значит $\sqrt{x}=2\Rightarrow x=4$. Тип 2 — $\sqrt{f(x)}=g(x)$: уравнение равносильно системе $$f(x)=g(x)^2,\qquad g(x)\ge 0$$ (условие $f(x)\ge 0$ тогда выполняется автоматически). Возведение в квадрат — не равносильное преобразование: оно может породить *посторонние корни*, поэтому проверка корней обязательна. Пример: $\sqrt{2x-1}=x-2$. ОДЗ: $2x-1\ge 0\Rightarrow x\ge\frac{1}{2}$; также нужно $x-2\ge 0\Rightarrow x\ge 2$. Возводим в квадрат: $2x-1=x^2-4x+4\Rightarrow x^2-6x+5=0\Rightarrow x=1$ или $x=5$. Проверка: при $x=1$ правая часть $1-2=-1<0$ — посторонний корень, отбрасываем; при $x=5$: $\sqrt{9}=3=5-2$ — подходит. Ответ: $x=5$.
Задача. $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2+x-1=0$. Найдите $x_1^2+x_2^2$ и $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$. Решение. Шаг 1. Проверяем существование действительных корней: $\Delta=1+4=5>0$. Шаг 2. По Виету: $S=x_1+x_2=-1$, $P=x_1x_2=-1$. Шаг 3. $$x_1^2+x_2^2=S^2-2P=(-1)^2-2\cdot(-1)=1+2=3.$$ Шаг 4. $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{S}{P}=\frac{-1}{-1}=1.$$ Ответ: $x_1^2+x_2^2=3$, $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=1$. Обратите внимание: сами иррациональные корни мы не вычисляли.
Задача. Корни уравнения $2x^2-x+p^2+3p=0$ удовлетворяют условию $x_1\cdot x_2=5$, где $p\in\mathbb{R}^+$. Найдите $p$. Решение. Шаг 1. По Виету для $ax^2+bx+c=0$: $x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{p^2+3p}{2}$. Шаг 2. Приравниваем к $5$: $$\frac{p^2+3p}{2}=5\Rightarrow p^2+3p-10=0.$$ Шаг 3. Решаем относительно $p$: $\Delta=9+40=49$, откуда $p=\frac{-3\pm 7}{2}$, т.е. $p=2$ или $p=-5$. Шаг 4. Условие $p\in\mathbb{R}^+$ оставляет только $p=2$. Ответ: $p=2$.
Задача. Решите $9^x-28\cdot 3^x+27=0$ и найдите сумму корней. Решение. Шаг 1. Так как $9^x=(3^x)^2$, делаем замену $t=3^x$, $t>0$: $$t^2-28t+27=0.$$ Шаг 2. По Виету (или разложением): $(t-1)(t-27)=0\Rightarrow t=1$ или $t=27$; оба значения положительны — оба подходят. Шаг 3. Возвращаемся к $x$: $3^x=1\Rightarrow x=0$; $3^x=27=3^3\Rightarrow x=3$. Шаг 4. Множество решений: $\{0,\,3\}$; сумма корней равна $3$. Ответ: $x\in\{0,\,3\}$, сумма $=3$. Уравнение $4^x-9\cdot 2^x+8=0$ решается точно так же с заменой $t=2^x$: $t=1$ или $t=8$, откуда $x=0$ или $x=3$.
Задача. Решите $x+\sqrt{x}-6=0$. Решение. Шаг 1. ОДЗ: $x\ge 0$. Шаг 2. Замена $t=\sqrt{x}$, тогда $x=t^2$ и $t\ge 0$: $$t^2+t-6=0.$$ Шаг 3. Разложение: $(t+3)(t-2)=0\Rightarrow t=-3$ или $t=2$. Так как $t=\sqrt{x}\ge 0$, отбрасываем $t=-3$. Шаг 4. Возвращаемся к $x$: $\sqrt{x}=2\Rightarrow x=4$. Шаг 5. Проверка в исходном уравнении: $4+\sqrt{4}-6=4+2-6=0$ — верно. Ответ: $x=4$, множество решений $\{4\}$. Типичная ловушка — принять $x=9$ (из $t=-3$, $t^2=9$) за корень; проверьте: $9+3-6=6\neq 0$, это посторонний корень. Именно поэтому ограничение на $t$ и финальная проверка обязательны.
Все темы курса · Задачи по теме
Для работы тренажёра включите JavaScript.