Функция $F(x)$ называется первообразной функции $f(x)$ на промежутке, если $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из этого промежутка. Если $F(x)$ — одна из первообразных, то все первообразные имеют вид $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Совокупность всех первообразных называется неопределённым интегралом:$$\int f(x)\,dx = F(x) + C, \quad \text{где } F'(x) = f(x).$$
Ключевое правило проверки: интегрирование и дифференцирование — взаимно обратные операции,$$\left(\int f(x)\,dx\right)' = f(x), \qquad \int F'(x)\,dx = F(x) + C.$$На экзамене YÖS ответ всегда можно проверить дифференцированием.
Выучите эту таблицу — почти каждый интеграл на YÖS сводится к ней:$$\int dx = x + C, \qquad \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \ (n \neq -1),$$$$\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C, \qquad \int e^x\,dx = e^x + C, \qquad \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C,$$$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C,$$$$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C, \qquad \int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C,$$$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C, \qquad \int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C.$$
Быстрые примеры: $\int 3x^8\,dx = 3\cdot\frac{x^9}{9} + C = \frac{x^9}{3} + C$; $\int \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{2} + C$ (здесь $a = 2$).
Интеграл линеен: константы выносятся за знак интеграла, а интеграл суммы равен сумме интегралов,$$\int \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)\,dx = \alpha \int f(x)\,dx + \beta \int g(x)\,dx.$$
Это позволяет интегрировать любой многочлен почленно:$$\int (2x + a)\,dx = x^2 + ax + C.$$
Внимание: для интегралов нет правила произведения и частного — $\int f g\,dx \neq \int f\,dx \cdot \int g\,dx$. Произведения требуют подстановки, интегрирования по частям или предварительного алгебраического/тригонометрического преобразования.
Если подынтегральное выражение имеет вид $f(g(x))\,g'(x)$, сделайте замену $u = g(x)$, $du = g'(x)\,dx$:$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.$$
Как распознать: один множитель — функция от некоторого выражения, другой множитель — (с точностью до константы) производная этого выражения.
Типичные шаблоны YÖS:- $\int \sin^4 x \cos x\,dx$: здесь $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$, интеграл превращается в $\int u^4\,du = \frac{u^5}{5} + C = \frac{\sin^5 x}{5} + C$.- $\int e^{\tan x} \sec^2 x\,dx$: здесь $u = \tan x$, $du = \sec^2 x\,dx$, получаем $\int e^u\,du = e^{\tan x} + C$.- Линейная замена: $\int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax + b) + C$, например $\int e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{2} + C$.
$$\int u\,dv = uv - \int v\,du.$$
Выбирайте $u$ по приоритету LIATE (логарифмическая, обратная тригонометрическая, алгебраическая, тригонометрическая, экспоненциальная): $u$ — та функция, что стоит раньше в списке; остальное — $dv$.
Типичные случаи:- $\int x e^{2x}\,dx$, $\int x^2 \sin x\,dx$ — берём $u$ = многочлен; для $x^2$ формула применяется дважды.- $\int \ln^2 x\,dx$ — берём $u = \ln^2 x$, $dv = dx$; результат $x\ln^2 x - 2(x\ln x - x) + C$, откуда $\int_1^e \ln^2 x\,dx = e - 2$.- Быстрый приём: $\int e^x\big(f(x) + f'(x)\big)dx = e^x f(x) + C$. Пример: $\int e^x(x^2 + x + 1)\,dx$: ищем $f$ с условием $f + f' = x^2 + x + 1$, то есть $f(x) = x^2 - x + 2$, и ответ $e^x(x^2 - x + 2) + C$.
Два стандартных приёма для $\int \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx$:
1. Если $\deg P \geq \deg Q$ — сначала разделите.$$\int \frac{x^2}{x^2 + 1}\,dx = \int \left(1 - \frac{1}{x^2 + 1}\right)dx = x - \arctan x + C.$$
2. Если знаменатель раскладывается на множители — используйте простейшие дроби.$$\int \frac{5}{x^2 + x - 6}\,dx = \int \frac{5}{(x + 3)(x - 2)}\,dx = \int \left(\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 3}\right)dx = \ln\left|\frac{x - 2}{x + 3}\right| + C.$$Коэффициенты находятся из $\frac{5}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+3}$: домножьте на знаменатель и подставьте $x = 2$ и $x = -3$, получится $A = 1$, $B = -1$.
Помните также логарифмический шаблон: $\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C$.
Произведение в сумму (для $\int \sin ax \cos bx\,dx$ и т.п.):$$\cos A \cos B = \tfrac{1}{2}\big[\cos(A - B) + \cos(A + B)\big], \quad \sin A \sin B = \tfrac{1}{2}\big[\cos(A - B) - \cos(A + B)\big],$$$$\sin A \cos B = \tfrac{1}{2}\big[\sin(A - B) + \sin(A + B)\big].$$Пример: $\int \cos 5x \cos x\,dx = \tfrac{1}{2}\int (\cos 4x + \cos 6x)\,dx = \frac{\sin 4x}{8} + \frac{\sin 6x}{12} + C$.
Степени $\tan x$: используйте $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$.$$\int (\tan^4 x + \tan^2 x)\,dx = \int \tan^2 x\,(\tan^2 x + 1)\,dx = \int \tan^2 x \sec^2 x\,dx = \frac{\tan^3 x}{3} + C$$(замена $u = \tan x$). Аналогично $\int \tan^2 x\,dx = \int (\sec^2 x - 1)\,dx = \tan x - x + C$.
Чётные степени $\sin, \cos$: понижайте степень формулами $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$, $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.
Определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ — это число (при $f \geq 0$ равен площади под графиком от $a$ до $b$). Он вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: если $F' = f$, то$$\int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a).$$Константа $C$ сокращается, поэтому в определённых интегралах её не пишут.
Примеры:$$\int_2^4 \frac{dx}{x} = \ln x \Big|_2^4 = \ln 4 - \ln 2 = \ln 2;$$$$\int_0^3 (x - 3)^2\,dx = \frac{(x - 3)^3}{3}\Big|_0^3 = 0 - \frac{(-3)^3}{3} = 9.$$
Ключевые свойства:$$\int_a^a f\,dx = 0, \qquad \int_a^b f\,dx = -\int_b^a f\,dx, \qquad \int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx.$$
Симметрия на $[-a, a]$: если $f$ нечётна, то $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$; если $f$ чётна, то $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$. Пример: $\int_{-1}^{1} x^3 \cos x\,dx = 0$ (нечётная подынтегральная функция) — считать ничего не нужно.
Кусочные функции: разбивайте отрезок в точках смены формулы. Если $f(x) = x + 1$ при $x < 0$ и $f(x) = x^2 + 1$ при $x \geq 0$, то$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \int_{-1}^{0} (x + 1)\,dx + \int_0^1 (x^2 + 1)\,dx = \frac{1}{2} + \frac{4}{3} = \frac{11}{6}.$$Тем же разбиением обрабатывается $|x|$: сначала распишите модуль кусочно.
Если $f$ непрерывна, то$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x), \qquad \frac{d}{dx}\int_x^a f(t)\,dt = -f(x).$$
Общее правило с функциями в пределах (цепное правило):$$\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f\big(v(x)\big)\,v'(x) - f\big(u(x)\big)\,u'(x).$$
Важно: вычислять сам интеграл не нужно — просто подставьте предел в $f$ и умножьте на его производную. Именно это проверяют задачи YÖS вида $f(x) = \int_x^3 (2t^2 - 3)\,dt$, найти $f'(1)$.
Задача. Дано $\int_{-2}^{0} (2x + a)\,dx = -2$. Найдите $a$.
Решение.Шаг 1. Находим первообразную: $\int (2x + a)\,dx = x^2 + ax$.Шаг 2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:$$\int_{-2}^{0} (2x + a)\,dx = \big(x^2 + ax\big)\Big|_{-2}^{0} = 0 - \big((-2)^2 + a(-2)\big) = -(4 - 2a) = 2a - 4.$$Шаг 3. Решаем уравнение: $2a - 4 = -2$, откуда $2a = 2$ и $a = 1$.
Ответ: $a = 1$.
Задача. Вычислите $\int \sin^4 x \cos x\,dx$.
Решение.Шаг 1. Замечаем, что $\cos x$ — производная от $\sin x$: идеальная ситуация для замены.Шаг 2. Пусть $u = \sin x$; тогда $du = \cos x\,dx$.Шаг 3. Интеграл превращается в$$\int u^4\,du = \frac{u^5}{5} + C.$$Шаг 4. Возвращаемся к $x$: ответ $\frac{\sin^5 x}{5} + C$.
Проверка: $\left(\frac{\sin^5 x}{5}\right)' = \sin^4 x \cos x$. Верно.
Та же идея даёт $\int e^{\tan x}\sec^2 x\,dx = e^{\tan x} + C$ при $u = \tan x$, $du = \sec^2 x\,dx$.
Задача. Вычислите $\int x e^{2x}\,dx$.
Решение.Шаг 1. По LIATE алгебраический множитель — это $u$: берём $u = x$, $dv = e^{2x}\,dx$.Шаг 2. Тогда $du = dx$ и $v = \int e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{2}$.Шаг 3. Применяем $\int u\,dv = uv - \int v\,du$:$$\int x e^{2x}\,dx = \frac{x e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}\,dx = \frac{x e^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} + C = \frac{e^{2x}}{4}(2x - 1) + C.$$
Ответ: $\frac{e^{2x}}{4}(2x - 1) + C$.
Для $\int x^2 \sin x\,dx$ та же схема применяется дважды: сначала $u = x^2$, затем $u = x$; результат $-x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$.
Задача. Пусть $f(x) = \int_x^3 (2t^2 - 3)\,dt$. Найдите $f'(1)$.
Решение.Шаг 1. Переменная $x$ стоит в нижнем пределе, поэтому меняем пределы местами и знак:$$f(x) = -\int_3^x (2t^2 - 3)\,dt.$$Шаг 2. По теореме о производной интеграла $\frac{d}{dx}\int_3^x (2t^2 - 3)\,dt = 2x^2 - 3$, следовательно$$f'(x) = -(2x^2 - 3) = 3 - 2x^2.$$Шаг 3. Подставляем $x = 1$: $f'(1) = 3 - 2 = 1$.
Ответ: $f'(1) = 1$. Заметьте: сам интеграл мы не вычисляли — лишь подставили предел в подынтегральную функцию.
Все темы курса · Задачи по теме
Для работы тренажёра включите JavaScript.