Бином — это алгебраическое выражение, являющееся суммой двух слагаемых, например $a+b$. Задача о разложении бинома состоит в том, чтобы записать степень $(a+b)^n$, где $n \in \mathbb{N}$, в виде многочлена от $a$ и $b$. Для малых показателей это делается прямым перемножением, например $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$.
Для любого $n \in \mathbb{N}$ бином Ньютона утверждает, что $$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}.$$ Разложение содержит ровно $n+1$ слагаемых; при возрастании $k$ от $0$ до $n$ показатель степени $a$ убывает от $n$ до $0$, а показатель степени $b$ растёт от $0$ до $n$, и в каждом слагаемом сумма показателей равна $n$.
Биномиальные коэффициенты определяются формулой $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}, \quad 0 \le k \le n.$$ Они подчиняются правилу Паскаля $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$, позволяющему строить треугольник Паскаля: каждый элемент равен сумме двух стоящих над ним. Строки $1;\ 1\ 1;\ 1\ 2\ 1;\ 1\ 3\ 3\ 1$ дают в точности коэффициенты разложений $(a+b)^0,(a+b)^1,(a+b)^2,(a+b)^3$.
Член с индексом $k$ (отсчёт от $k=0$) в разложении $(a+b)^n$ равен $$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}.$$ Таким образом, $(k+1)$-й член получается выбором $k$. Эта формула — основной инструмент для нахождения конкретного члена, нужного коэффициента или свободного (не содержащего переменную) члена без выписывания всего разложения.
Подстановка $a=b=1$ даёт сумму всех коэффициентов: $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n.$$ Подстановка $a=1,\ b=-1$ даёт $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0$, поэтому суммы коэффициентов на чётных и нечётных местах равны и составляют по $2^{n-1}$. Коэффициенты симметричны: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, поэтому разложение читается одинаково с обоих концов.
Найдём член, содержащий $x^4$, в разложении $(x+2)^6$. Используя $T_{k+1} = \binom{6}{k} x^{6-k} 2^{k}$, требуем $6-k=4$, откуда $k=2$. Тогда $T_{3} = \binom{6}{2} x^{4} 2^{2} = 15 \cdot 4 \cdot x^4 = 60 x^4$. Значит, искомый член равен $60 x^4$.
Найдём свободный член разложения $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{8}$. Общий член равен $T_{k+1} = \binom{8}{k} x^{8-k} x^{-k} = \binom{8}{k} x^{8-2k}$. Член свободный, когда $8-2k=0$, то есть $k=4$. Следовательно, свободный член равен $\binom{8}{4} = 70$.
Найдём сумму коэффициентов многочлена $(2x-3)^5$. Сумма коэффициентов многочлена $P(x)$ равна $P(1)$. Подставляя $x=1$, получаем $(2 \cdot 1 - 3)^5 = (-1)^5 = -1$. Следовательно, сумма всех коэффициентов равна $-1$.
Все темы курса · Задачи по теме
Для работы тренажёра включите JavaScript.